概率论与数理统计教程第四版(沈恒范)(超全免费版).docx

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1、概率论与数理统计教程第四版（沉恒范）公式（全）2012-6-27第1章 随机事件及其概率。）排 列组合公 式加1P一,从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。Cn=.、|从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。根 nm - n）0）加法和乘法 原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，那么这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，那么这件事可由mXn种方法来完成。Q ） 一些常见排 77|重复排列

2、和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题）随机试验和 lA-fc -Lrtth ZrL如果一个试验在相同条件F可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，那么称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。随机事件6）基本领件、样 本空间和 事件在 个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这/组事件，它具有如 下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的局部事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本领件，用来表示。基本领件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。一个事件就是由。中

3、的局部点（基本领件）组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是。的子集。为必然事件，0为不可能事件。不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（。）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。6）事件的关系 与运算关系：如果事件A的组成局部也是事件B的组成局部，（A发生必有事件B发生）： AB如果同时有A u B , BA ,那么称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=BOA、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的局部所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AH,它表示A发生而B不发生

4、的事件。A、B同时发生：A B,或者AB。A B=0,那么表小A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。1概率论与数理统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-2710连续型对于二维随机向量匕=(x,y),如果存在非负函数/(X, )(-00 x +00-co y +oo),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X, Y) |axb,cyd 有P(X,y) g Z) = fJ f(x,y)dxdy,D那么称己为连续型随机向量；并称f(x,y)为1=(X, Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f (x, y)具有下面两个性

5、质：(1) f (x, y) 20; M+-f(x,y)dxdy = V00 000)二维随机变 量的本质匕(X =x,y = y) =(X =x Y = y)0)联合分布函 数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x, y)=PXx,Yy称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函 数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(3 ,CO )|-ooX(CO )X-ooy(CO )(的概率为函数值的一个实值函 1212数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F (x3 j) x 时，有F (x ,y) 2F(x ,y);当

6、y y 时，有F(x, y ) NF(x, y ); 212I2121(3) F (x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0)；(4) F(-oo,-oo) = F(-oo, y) = F(x,-oo) = 0, F(+oo,+oo) = 1.(5)对于 x x , y 0. 22211211)离散型与连 续型的关系尸(X = x, Y = y) P(x Xx + dx, y Yy + dy)y)dxdy概率论与数理统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-270)边经分布:离散型X的边缘分布为p =P(x

7、= x) = z p &J=12 )； iijY的边缘分布为 7p =P(Y=y ) = z P 亿斤12 )ojjiji连续型X的边缘分布密度为f (x) =Jf(x,y)dy；X-ooY的边缘分布密度为/ (y)=产y-oo6)条件分布离散型在x=X1的条件下，Y取值的条件分布为 pP(Y = y X = x)= fj P/在Y=y的条件下，X取值的条件分布为 jp(x=x I Y =y ) = % ,Jp.J连续型在Y=y的条件下，X的条件分布密度为 /(%)，)I y) ；/ (y)Y在X二X的条件下，Y的条件分布密度为 f(x, y)/(V M)= r ( Xf (%)X0)独立性一

8、般型F(X, Y)=F (x)F (y)离散型p = p p ij， *j有零不独立连续型f (x, y)=f (x) f (y) XY直接判断，充要条件：可别离变量正概率密度区间为矩形二维正态分 布11 x-n 2 p( -)(v-ny-|1|-12 +|2 /(%, y)=e 2(1廿八 oo北1 % 打，2g O # - p 2 12P =0随机变量的 函数假设X,X,X,X，X相互独立,h,g为连续函数,那么： 12m m+1nh (X , X,X )和g (X，X )相互独立。 12mm+1n特例：假设X与Y独立，那么：h (X)和g (Y)独立。例如：假设X与Y独立，那么：3X+1

9、和5Y-2独立。11概率论与数理统计教程第四版（沉恒范）公式（全）2012-6-27（8）二维 设随机向量（X, Y）的分布密度函数为均匀分布r 1（x，V）。y）=0,o01P l 1是5个参数，那么称(X, Y)服从二维正态分 12,12布，记为(X, Y)N(pi,NO2Q2,p). 12, 12由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN (|Ll,O2),y N(|LIO2). 112, 2但是假设XN (日，0 2)1N(|LIO2), (X, Y)未必是二维正态分布。112, 2(10)函数 分布Z=X+Y根据定义计算：F = P(Zz) = P

10、(X + YQ,AM = 2 Hd0,u 0.X.我们称随机变量w服从自由度为n的 2分布，记为w 2仇），其中+00一 二1e-xdx.o所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。为2分布满足可加性：设Y -X 2（n ）,ii那么z = Xy%2（ + n +）.i12ki=1t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且xn（oj）, y %2（），可以证明函数的概率密度为（-00 t +00）.我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt（n）。t 仇）=-t5）1-aa14概率论与数理统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-27F分布F分布设

11、 x % 2()，y % 2 5),且XinF=可一的概率密度函数为Yin2我们称随机变量F服从第一个自由度为n ,1 的F分布，记为Ff (n , n ).1221y 27x与y独立，可以证明彳n1+yn270,y0第二个自由度为n 2(1) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为 P(X = x )=p, kkk=l, 2, , n,E(X) = S x p k k k=1(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密 度为f(x),E( X) =xfx)dx-oo(要求绝对收敛)函数的期望Y=g (X)E(y) ga)p k k k

12、=1Y=g (X) fE(Y)=J g(x)f(x)dx 十00方差 D(X)=EX-E(X)2, 标准差b(X)=M(X),D(X)=Zx -E(X)2p kkkD(X) = Tx - E(X)2f(x)dx-0015概率论与数理统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-2716矩对于正整数k,称随机变量X 的k次幕的数学期望为X的k 阶原点矩，记为，即v 二E(X0 二乙 xk p , ki iik=l,2,.对于正整数k,称随机变量X 与E (X)差的k次嘉的数学期望为X的k阶中心矩，记为日， k即|Li =E(X E(Xk k二 Z(x E(Xkp*IIik=l,2,.对于正整数

13、k,称随机变量X的 k次嘉的数学期望为X的k阶原点 矩，记为V即v 二E(Xk)=卜f(x)dx、 k00k=l, 2,.对于正整数k,称随机变量X与 E (X)差的k次事的数学期望为X的k阶中心矩，记为日,即 kpi =E(X -E(X)k k= J+x 石(X)k,f(x)公，00k=l, 2,切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X) = 方差D (X)=。2,那么对于 任意正数,有以下切比雪夫不等式/、02P(|X-日 ) NI NAN-V均匀分布。(a, b)a + b2b- d)212指数分布破九)1T1九2正态分布NM，0 2)ro 2%2分布n2n1分布0n (n2) n

14、-2(5)二维 随机 变量 的数 字特 征期望E(X) = x p i / z=1仇 y)= z y p j ,j j=i-KOE(X)= ixf (x)dx X-ooE(Y)=(y)dy-00函数的期望EG(X,Y) =ZZ G(x pi J iJi JEG(X,Y) =G(x, y) fx,y)dxdyCO -8方差D(X) =Z x E(X)2Pi io(y)= Zx E(y)2P jjD(X)=lx-E(X)2f (x)dxX -ooD(Y) = ty-E(Y)2f 仞)dy Y-co17概率论与数理统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-27协方差对于随机变量X与Y,称它们的

15、二阶混合中心矩日 为X与Y的协方 11差或相关矩，记为o 或cov(x,y),即 XYO =日=E(x-E(x)(y-E(y), XY11与记号o 相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为o XYXX与。O YY相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X) 0, D(Y)0,那么称 XYX)第(丫)为X与Y的相关系数，记作P(有时可简记为P )oXYI P I wi,当| p |二1 时，称x 与 y完全相关：p(x =+。)=1正相关,当p = 1时(0),完全相关厂P = 1时( 切比雪 夫大数 定律设随机变量X , X ,相互独立，均具有有限方差，且被同一 12常数c所界：D

16、 (Xj)C(i=1,2,)，那么对于任意的正数 ,有limP00TT/=1特殊情形：假设x , X ,具有相同的数学期望E (X )二口, 12I那么上式成为limni=伯努利 大数定 律设u是n次独立试验中事件A发生的次数，P是事件A在 每次试验中发生的概率，那么对于任意的正数 ,有lim R)=Lzz00伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim P00辛钦大数定律这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设X, X,，X,是相互独立同分布的随机变量序列，且E 12n=U,那么对于任意的正数有limI = 1.00ni=19概率论与数理

17、统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-27Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC) = (AB)C AU (BUC) = (AUB) UC分配率：(AB) UC=(AUC) n (BUC) (AUB) nC= (AC) U (BC)oo8 A = A德摩根率：,=i- A B = A B9 A B = A B设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),假设满 足以下三个条件：1 OWP(A)W1,2 P(Q) =10 二概 3对于两两互不相容的f件4有的公理化“乙定义t AJ= P(A.) i=

18、1;=1常称为可列(完全)可加性。那么称P(A)为事件人的概率。1 Q= co,co co ),12 n2 尸(0)=P(CD ) =P()=o1 2 0)古 设任一事件A,它是由co ,co co组成的，那么有典1 2w概型p(A)二(3 ) (CO )(CO ) = P(CO ) + P(3 ) + P(C0 )12in12mmA所包含的基本领件数=基本领件总数假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，那么称此随机试验为几何概型。9)几对任一事件A,何概型L(A)尸(A)=o其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

19、(D 加法 P (A+B)= P (A) +P (B) -P (AB)公式当 P(AB)=O 时，P (A+B)=P (A)+P (B)P (A-B) =P (A) -P (AB) 减法 当 B u A 时,P (A-B)=P(A)-P (B)公式当 A= Q 时，P(8)=l P(B) 条件定义设A、B是两个事件，且P(A)O,那么称P(AB)P(A)为事件A发生条件下，事P(AB)（2）中心极限定 理O 2n列维一 林德伯 格定理设随机变量X , X ,相互独立，服从同一分布，且具有 12相 同 的 数 学 期 望和 方差：E（X ） = |AO（X ） = O2w0/ = 12 ）,那么

20、随机变量 kkZ X 一码 kY= k=U4Jno的分布函数FJx）对任意的实数x,有W XJ蛆次limlim = xeidt.77-00 8Q。2兀-CO此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗 一拉普 拉斯定 理设随机变量x为具有参数n, p（Opl）的二项分布，那么对于 n任意实数X,有 X - np112=limr x =xe 2dt.n yjnp（i p）J2 兀-oo（3）二项定理假设当Nf oo时,不变），那么NkM_- T Ckpk Q - p）n-k（N 00）.CnnN超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理假设当 00时,叩九0 ,那么 九kCk pk （1 一

21、 p）n-k （n f 00）. k其中 k=0, 1, 2, , n,。 二项分布的极限分布为泊松分布。概率论与数理统计教程第四版（沉恒范）公式（全）2012-6-27其中 k=0, 1, 2, , n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1 ）数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单兀称为样品（或个体）。20概率论与数理统计教程第四版（沉恒范）公式（全）2012-6-2721样本我们把从总体中抽取的局部样品X , X , , X称为

22、样本。样本 12n中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下， 总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变 量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x ,，元表示n个随机变量（样本）；在具体的一次 12n抽取之后，X ,，工表示n个具体的数值（样本值）。我们 12n称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设X , X , , X为总体的一个样本，称 12np = ）=0,8那么称6为e的一致估计量（或相合估计量）。假设为e的无偏估计，且。，那么n为e的一致估计。只要总体的E（X）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。0

23、 区 间估计置信区 间和置 信度M T 十设总体x含有一个待估的未知参数e o如果我们从样本工，乂，入出 12n发，找出两个统计量。（x,x,）与1112ne =。（X ,羽，） （0 0 ）,使得区间0 ,0 以2212n12121-（0a 1）的概率包含这个待估参数e,即P0 6 9 = 1a,12那么称区间付f 为9的置信区间，1-a为该区间的置信度（或置12信水平）。单止态总体的 期望和 方差的 区间估 计设x,x,，元为总体XN（N，o 2）的一个样本，在置信度为1a 12n下，我们来确定日和0 2的置信区间2,0 o具体步骤如下：12（1）选择样本函数；（ii）由置信度1a ，查表

24、找分位数；（iii）导出置信区间2o12方差，估计均值(i)选择样本函数4= f N(0,l).o /# 0(ii)查表找分位数Pl- 尤-口 (5 1X A o , X + A o L诉25概率论与数理统计教程第四版(沉恒范)公式(全)2012-6-27未知方差，估计均值未知方差，估计均值(D选择样本函数(ii)查表找分位数( S / 赤)(iii)导出置信区间x -九一x+九一 I方差的区间估计_ 拒 C(i)选择样本函数(H - 1)52W =K 2 ( _ 1).02(ii)查表找分位数J入 (1)S2 八a.10 22V 07(iii)导出。的置信区间第八章假设检验基本思想假设检验的

25、统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H是否成立。我们先假定H是成立的。如果根据这个假 00定导致了一个不合理的事件发生，那就说明原来的假定H是不正确的，我们拒0绝接受H ；如果由此没有导出不合理的现象，那么不能拒绝接受H ,我们称H是 000相容的。与H相对的假设称为备择假设，用H表示。01这里所说的小概率事件就是事件KeR,其概率就是检验水平a,通 a常我们取a=0.05,有时也取0.01或0.10。基本步骤假设检验的基本步骤如下：(D提出零假设H；0(ii)选择统计量K；(iii)对于检验水平a查表找分位数人；(iv)由样本值X

26、 , %计算统计量之值K；12将病与入进行比拟，作出判断：当|皮|入(或女 九)时否认H,否那么认为H00相容。26概率论与数理统计教程第四版（沉恒范）公式（全）2012-6-27两类错误第一类错误当H为真时，而样本值却落入了否认域，按照我们规定的 0检验法那么，应当否认Ho这时，我们把客观上H成立判为00H为不成立（即否认了真实的假设），称这种错误为“以真 0当假”的错误或第一类错误，记a为犯此类错误的概率，即P否认H |H为真二a； 00此处的a恰好为检验水平。第二类错误当H为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的 1检验法那么，应当接受H。这时，我们把客观上H。不成立判00为H成立

27、（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假 0当真”的错误或第二类错误，记P为犯此类错误的概率，即P接受H |H为真二p o 01两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当 容量n 一定时，a变小，那么P变大；相反地，P变小，那么a变大。取定a要想使P变小，那么必须增加样本容量。在实际使用时.，通常人们只能控制犯第一类错误的概 率，即给定显著性水平a。a大小的选取应根据实际情况而 定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，贝 应把a取得很小，如0.01,甚至0.001。反之,那么应把a取得 大些。单正态总体均值和方差的假设检验27条件零假设统计量对应样本 函数分布

28、否认域0 2H :日二日00U= %一打 o /乐 0N (0, 1)卬匕 2H ： |Ll U1-aH ： |Ll|Ll00u t a(n-1)1 2H00t t (n -1) 1-aH ： |Ll|Ll00t-t (n -1) 1-OC未知0 2H ：O2=O2 0(一 1)52w =G 2 0K 2 ( 一 1)W K2 (/? -1)2概率论与数理统计教程第四版（沉恒范）公式（全）2012-6-27H :c 2 K 2 (- 1 ) 1-aH 2cy200W P( B/A)=l-P(B/A) 乘法公式乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/ A)更一般地，对事件A , A ,A ,假

29、设P(A AA )0,那么有 12n1 Zn-l尸(A 4a)=尸(4)p( 41俨必仇)尸爪 |44 o 独立性两个事件的独立性设事件8、B满足P(AB) = P(A)P(B),那么称事件4 8是相互独立的。假设事件4超独立喇霜那么有P(B | A)= P(B)P(/4)P(A)假设事件,、B相互独立，那么可得到不与口、人与豆、式与6也都相互独 立。必然事件Q和不可能事件。与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P (AB)=P (A) P(B)； P (BC) =P (B) P(C)； P (CA) =P (C) P (A)并且同时满足 P (ABC) =P (A) P (B) P (C)那么A、B、C相互独立。对于