概率论与数理统计期末总复习小结.docx

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1、第二、三、四章随机变量的分布及数字特征习题课一、小结1 .一维随机变量的概率分布随机变量X的分布函数F(x) = px x(-00 x pt00统计量u =x _o I yin拒绝域U -IIi-a检验假设/ ：四 ui-a6未知，关于日的检验3检验）统计量上工产s* /CL1- 2(一 1)统计量t =拒绝域/一(h-1)i-a检验假设H ： |1 t (- 1)1 一a日未知，关于0 2的检验（ 为 2检验）检验假设检验假设H ： 02 =02统计量1J DSI拒绝域 2 % 2 ( _ 1 )或者a_1-2X202统计量为 2(1) S*2拒绝域 x2 X2(/1- 1)a检验假设H ：

2、 02 % 2 ( n-1)i-a5.两个正态总体N（|i1用下侧分位数）5.两个正态总体N（|i1用下侧分位数）,02）、N，02）均值的假设检验3检验，拒绝域均采 2统计量SIV统计量SIVX Y拒绝域|t t ( + - 2)4al 2I -2统计量统计量拒绝域/一/( + - 2)i-a 12拒绝域 ( + -2)i-a 126.两个正态总体N，2）、1（51采用下侧分位数）Ng。2）方差的假设检验（尸检验，拒绝域均22检验假设H ： O 2 = O 2012F 。2 012检验假设H : a 2 (J 2012统计量产=1 拒绝域尸尸（- 1, -1）或者Q *nCt 12统计量 S

3、 ,2F= -1-2统计量 S *2F = -1-S*22拒绝域F F (n - 1, 7：- i-a 12注 检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.二、习题1. 10部机床独立工作，因检修等原因，每部机床停机的概率为0.2,那么同时有3部机床 停机的概率为（）.【。3 023 087或0201】102设总体X服从分布，X,X 是一个样本，那么两个无偏估计量127113d =_x + X ,工=X +X中有效的是（）.【Q1 2 1 2 22 4 1 4 213 .假设总体X服从N（r,1），由来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,那么（1的双侧0.95置信区间（

4、=1.96 ）为（）,【（4.804, 5.196）0.9754 .设随机变量X的方差为2,那么根据切比雪夫不等式有P X -EX 2. 1/25 .在假设检验问题中，显著性水平a的意义是（）A原假设H成立，经检验被拒绝的概率； oB原假设H成立，经检验不能拒绝的概率； oC.原假设H不成立，经检验被拒绝的概率； o。原假设”不成立，经检验不能拒绝的概率.【A】.设总体XN（|i,o2）,其中口，o 2未知，X ,X、X是取自X的一个样本, 123那么以下表达式中不是统计量的是()A. X + X +X ; B.max( X, X , X); 1231233 X2C. 1 D. X-2|H.

5、C O 21i=A. 设随机变量X与y都服从标准正态分布N (0,1),那么以下各式中正确的选项是()A X2/Y2服从F分布；B. X2+V2服从为 2分布；C. X 2和Y2都服从 2分布；D. X+Y服从正态分布.C8.设X,X 2, ,X是来自总体X的一个样本，DX =6,记F= -2 X ，ni = n_S*2 = Z (X - X”，以下命题中正确的选项是()n - 1i=A. S*是o的无偏估计量；B. S*是。的极大似然估计量；C. S*与X相互独立；D. S*2是O 2的无偏估计量.D9.设。X=4，。丫= 2 且 X与y 不相关，贝 IO(3X2丫)=()A. 6； B.

6、16； C. 28； D. 44. D 1().袋中装有N只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为，试求从该袋中任 取一球为白球的概率.解用X表示袋中的白球数，那么EX = n = H kP(X =k)k=设A=取出白球,由全概率公式P(A) = X P(X =攵)尸(A | X = k) = P(X=k)Nk=0k=。=f k P(X = k)=.NNk=l(0+ l)%6,0x 0是未知参数,11.设总体X的分布密度为p(x)= 0 = 7 2/-15-2因为 y UQ5),故 P(Y22)= 0.6, P(y F (9, 9) = 6.54或者尸尸 (9, 9)= 0995o.o

7、o5F (9,9)6.540.9951因为 F =1 . 4 9 t (18) = 2.8784 ,0.995由于T| = 4.2954 2.8784 ,故拒绝假设H ,即认为两种方法均值有差异.0协方差定义与性质相关系数的定义与性质不相关的充要条件5.极限定理切比雪夫不等式大数定律中心极限定理二、习题1 .每次试验成功的概率为p ( 0 p 1 ),重复进行试验直到第n次才取得r ( 1 r n第n次才取得r ( 1 r n)次成功的概率是【B】PL2,设随机变量XN( |Li,cy 2)，那么随着0 2的增大，概率p)P X - |i C(A)(A)单调增大(B)单调减小(0 保持不变(0

8、 保持不变(D)增减不定3.设两个独立的随机变量X与Y的分布函数分别3.设两个独立的随机变量X与Y的分布函数分别F (x), x(A),(y),那么Z = max x , 丫的分布函数是【C】 Fz(z) = maxFx(zXF(z)(B)F (z)=max F (z) , F (ZXYz)|(C)Fz(z) = Fx(z).F(z)(D)都不是【第2页共4页】4,设随机变量XyX2, X9相互独立且同分布，EX =A ,9QX =3 (i = 1,2, ,9),令S=z x ,那么对任意的e0,有 i =1B(A) P (5- 1 1 -8 2(B) P (5- 1 1 -8 2(C) ps

9、-9 1 - 9(C) P 5-9 1 -(D) P S-1 1-82 9 J 25.某事件的概率为1/4,如果试验8次，那么该事件就【D】(A)一定出现两次(B)一定出现6次(C)至少出现1次(D)出现次数不能确定6,设两个相互独立的随机变量X与丫的方差分别是DX = 4, DY =2,那么随机变量3X -47的方差是 ,【68】7,设有5枚1分硬币、3枚2分硬币和2枚5分的硬币，从中任取5枚.求取出金额超过1角的概率为,【0.5】8.设X与丫相互独立且都服从5(1,0.5)，那么px = y=. 0,5 1I 1_ , x 0,1,3249.设随机变量X的概率密度为/(%) =9.设随机变

10、量X的概率密度为/(%) =,xw3,6,右0,其他.px = 23，贝也的取值范围是10,设随机变量x与y的相关系数为0.5 , ex = y = o,EX2 = EY2 = 2,那么E(X + Y)2 =. L611 .盒中放有6个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时， 从中任取2个来用，比赛后放回盒中；第二次比赛时再从盒中任【第3页共4页】 取2个.(1)求第二次取出的两球都是新球的概率；(2)假设第二次取出的两球都是新球，那么第一次取出的两 球是一新一旧的概率.(1)0.16； (2)0.671.设X服从区间(0,1)上的均匀分布，求(1)7 = ex的分布密度；丫 = 21n X的分

11、布密度.(1)1 z人(y)=广。,】0, 其它.12 .假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50克，标准差为5克,设每100个螺丝钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100 克的概率；假设这样的螺丝钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重 量超过5100克的概率.(2) = 0.9772 ，(2.59) = 0.995.(1)0,02275 ; (2) 0,995 114.假定到某服务单位办事的等待时间X (单位：分钟)服从以，为参数的指数分布，而某人等待时间超过15分钟就会离去.1()设此人一个月要去该处10次，试求：此人离去的概率;一个月里至少有两次离去的概率.【第4页共4页

12、】0.2231；(2) 0.689915.设(x, y)在区域。内服从均匀分布,W1,求关于X和y的边缘分布密度；x与y是否相互独立，为什么?求x与y的协方差Cov(xf y).-2y30 y 15其它.小、 / 2 x ,0 x 1 /(x)=J; fX 0,其它 y不独立；(x,y)=36【第5页共4页】第五、六、七章习题课，、小结（一）样本与抽样分布1 .基本概念总体、个体、样本、样本容量简单随机样本：假设样本X ,X , ,X满足：它们相互独立，且与总体X具 12n有相同的分布.统计量：样本X , X , , X 的函数 g(x , X ,12n12,X ），且不含任何未知参数.样本数

13、字特征: 样本均值还1X X样本左阶原点矩A =l.Zx, k：n 1Z=1样本左阶原点矩A =l.Zx, k：n 1Z=1样本方差S2 = LX（X -彳）2,修正样本方差S,2= .7）2；样本Z阶中心矩3 = X (X - X) A-A n i/=1定理 假设总体X的期望为口，方差为o 2, X,X, ,X是来自总体X的简 12ncy 9单随机样本，贝IIex=1,QX=2*2=0 2 n.抽样分布定理1 （生成原理）独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量；独立的标准正态变量的平方和X X2服从自由度为的厂分布;设U , V相互独立，且UN（0,1），V%2（）， 贝（I服从自由度

14、VV/ n为“的?分布；设U，丫相互独立，且U%2（加），丫%2（），那么尸=U n服从自由度 Vin为（加/）的尸分布.假设乂 %2(),贝！j EX = ， DX=2n定理2 （一个正态总体抽样分布）设X ,X , ,x是来自正态总体N（n, 02）的简单随机样本，那么 12n(D 又N(、,)1n/o( /2 1 )S ,2O % 2 % 2 ( 一 1 )(5 2与5 2相互独立； (5)7 =与牛/一1).S/fn定理3 （两个正态总体抽样分布）设x,x , ,x与丫广，,r是分别来自 1 2n1 2n1 2正态总体N（R2 2）和N（n,o 2）的简单随机样本，且这两个样本相互独立

15、，那么 1122(1) F =/o：Fn -1S *2 / O 2122当时,(J 2- Q 2 -(5 2当时,(J 2- Q 2 -(5 2其中Co_ (- 1)5 2 +( 1)S*2S2 + S2卬 + 一 2 + 一 212123 .分位数设px %=01,称工为乂的0下侧分位数；设pxx =a,称X为 aaaax的a上侧分位数.它们的关系是：X （上）=X （下）.a1-CI会画N（0,1）、/、为2、b分布的密度曲线，会查它们的分 位数表，其中F （,）= 1一（颠倒自由度，查表取倒数）.112 F （ 77 , /2 ）a 21（二）参数估计1.点估计方法矩估计法：用样本原点（

16、中心）矩及其函数估计总体相应原点（中心）矩 及其函数.例如 估id一个参数0 ,令q = EX，解出。；估计两个参数。，0，令一X=EX,& X2 = EX2,解出0 ,0.1 2n1 2/=i最大似然估计法：选取参数，使样本X ,X , ,X取值X ,x , ,x的概率12n12n（密度）最大.其步骤如下：写出似然函数L（e ）= px = xpx = X px = X （离散型）,I 122n ni（0）= /（x,o）/（x ,0）（连续型）；12n取对数In L（0）；求出InL（O）（即L（。）的最大值点。=心（4）6的最大似然估计为葭.点估计的评价标准无偏性：0 = 0 ;有效性：

17、0；=0；=。且加；00那么称0：比0；有效；一致性（相合性）：假设limP3 -0 J=1，那么称。是。的一致估计量. I nn.区间估计“概念 假设00 =a 那么称60 ）为参数e的置信概率为1.a的1212置信区间.概率意义 等式pt 。0八=-a表示随机区间方8）包含参数的1212概率为1 - a.置信概率1-a反映可靠性，越大越好;置信区间0）的长度8-0人反映1221精确度，越小越好.求置信区间的原那么：对于给定的置信概率1使置信区间60 ）的长4.一个正态总体N（pi,O2）均值与方差的置信区间（其中分位数均为下侧分位数）:O 2，g的置信区间为fW 。；20 2未知，口的置信

18、区间为手/ （一 1） a的置信区间为1-2nE ( X -日)2iX2 ()1-0-2n )Z (Xj _ R ) 2i =1的置信区间为图券a1-2（三）假设检验1 ,小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生.2 假设检验的步骤：提出待检假设H和备择假设H ； 01选择检验统计量并确定其分布；根据给定的显著水平a,查概率分布表，确定否认域；利用样本值计算统计量的值并判断其是否落入否认域，假设是，那么拒绝H , o否那么接受”.03两类错误 ”真而拒绝0P Te W HoH ,称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率 o假而接受0,称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率记作4.一个正态总体N（）i 2）参数的假设检验（拒绝域均采用下侧分位数）6，关于口的检验（U检验）检验假设”：四=从 统计量U =检验假设”：四=从 统计量U =严拒绝域o /i.a2