第17讲双参数最值问题.docx

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1、第17讲双参数最值问题一 ,问题综述函数中双参数的最值问题是指形如下面的问题：函数/(x)满足/(%)=/e1 - /(O)X+ -X2;(1)求/(X)的解析式及单调区间；(2)假设/(x)? X2 ax+ b ,求(。+1)6 的最大值.二,典例分析类型1: 一字并肩型【例1】(2012年高考全国卷1)函数/(x)满足/(x)=/炉-/(O)x+ -x2 ；(1)求/(x)的解析式及单调区间；(2)假设/(X)?!工2以+b,求(。+ 1)，2的最大值.【解析】(1)f(x) =- f(O)x + r=f(x)=尸(1L /(O) + L令=1 得：y(o)= i+)(0)7，(M-= f

2、，a)= e得：小+ #*(幻=/，3“1+ g(x) = +1 0 = y = g(x)在 xw R上单调递增f(x) 0 = f(Q) x O,/Xx) 0 =八 0) xx2 -cix + b 0 W hx) = ex - (tz +1)当Q + l0=丁 = /2(X)在工/?上单调递增X f -00 时，/z(x) - TO 与 (x) 2 0 矛盾当 a +1 0时，(x) 0xln(6z +1),(x) v0ox0(a + )h 0)令 F(x) = x2 -x2 In x(x 0)；那么 Fx) = x(l - 2 In x)Fx () o 0 x &, Fr(x) () o

3、x&当 X = G 时，尸(X)max=.当= G时，m+i)的最大值为.2解法2：由题意可知，原命题等价于：e 2(a + l)x + b,设(x) = e, y =(Q + l)x + b, 对于直线加：y = (a + l)x + ，总存在y = /z(无)的切线/满足：Im,且/在根的上方, 设切点为,贝I/的方程为y = dx + d -k，/7 _|_ 1 / ，可得(Q + 1 旌,be1- te1设0(%) = /1一。,只要3 + 1)。小于等于0(%)的最小值即可,求导易得。(龙)最小值为刍，故(。+1)6的最大值为J 22类型2： 一主一从型【例2 】函数 /(X)=白2

4、 + 2办,g(%) = 3/ In % + b,假设 6 0,2, (x) = /(x) + g(x) - (2a - b)x 在(0,4)上为 单调函数，求。的取值范围.【解析】由题意可知(x) = x +宜- 那么(x)0或“(幻2。恒成立， X当初(x)0时，X +9人(0,所以X +至4人， XXQ 2因为丸0,2,只需%+土0,又因为工(0,4),所以。不存在.x当(x)2。时，x + 9 之0,所以X +见之人， XXQ 2因为40,2,只需工+422,所以3/ 2x(2 %)恒成立， x因为工(0,4),所以3/21,解得：且或心且.33综上，。的取值范围为-立或423.33类

5、型3：综合应用【例3】(2018届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考)函数/(x) = lnx + (e-4)x-2/2,h其中e为自然对数的底数，假设不等式工)工。对工0,小)恒成立，那么2的最小值等于a【解析】对X(0,+CO)恒成立,对X(0,+CO)恒成立,【解法1】(小题小做)(2b、lnx + (e-a)x-2b0 即 lnx + exa x + I a )直线y = a(2八x a，在函数y = lnx + ex图象的上方,x +竺在x轴上的截距为 a )2ba( ，函数y = lnx + er与x轴的交点为一,0 ，nil lb b、 1.1那么二室n/W故(小皿

6、=-五【解法2】(小题大做)lnx + (e-a)x 2b/(e2/?) = (e-0,与/(x)0恒成立相矛盾，因此e.令 f，(x) = 0 n x =- a-e时广(力0, /(x)单调递增;1,4-00 a-e时r(x)。，/co单调递减;所以/(L=/0, B|J Inl-2Z?-l-2/7, a-e1u i所以 b 2 (1 + ln(6z e),于是一2(1 + ln(a ,aln(6z-e)-4 g(a) = -(1 + (a-e)(a e),那么 g(Q)= ?再令 ()=In (q - e) -，那么人在(e,+oo)上为增函数，且，2(2e) = 0,当 (e,2e)时,

7、h(a)0 , gQ) 0 , g(Q)0, /(x)单调递增;所以ge)l-g(2e) = -5,于是y,当且仅当:时等号成立故昌mi-1 b = -a 2e【解法3(小题巧做)In x + (e d)x- 2Z? W 0 对 x (0, +8)恒成立,令 /(x) = In x + (e o)x 2b,取X = J,便有下面说明等号可以取到，从而有(与min=二- e a 2ea 2ea = 2e1当 时，/(x) = lnx-ex + 2 , f (x)=e ,( 当0,-时，/r(x) 0 , /(x)单调递增；当 一,+oc 时，/(%)Aa9 4等与b2-,x +,(lnx + e

8、x)对照，只需令lnx + ex = 0 ,便有尤=,那么22e12e12eb2 2e进而得(一)min =a【例4】/(x) = ln(x + 2)-f+x + c ,假设/(x)在区间0,向上单调，求Z?的取值范围.【解析】假设/(x)在区间。，向上单调，有两种可能: 令/(%) 二一2x + 0得 22x ,在0,何上恒成立 x + 2x + 2而y = 2x 匚在。,向 上单调递增，最大值为2机-,b 2m -x + 2m + 2m + 2令尸(x) = 2x + b W 0 得 b W 2x,x+2x+2而y = 2x-1在0间上单调递增，最小为产 x + 22故 b 2 2m1 +

9、 2故 b 2 2m1 + 2或人工-3时/(x)在0,向上单调.【方法小结】导数与函数中的单参数问题，可以使用的方法有分类讨论，参变别离，数形结合，放缩变形， 还有一些特殊技巧，比方：特殊值代入缩小分类讨论的范围，设而不求或整体代换或隐零点，必要性探路 等。那么双参问题，其中可用代入消元法消一参化单参的问题本文不予讨论，本文主要讨论两个参数地位 平等，不分主次，或者地位不平等，一主一次型的.解题中，我们发现，此类问题解决方法仍然来自于单 参函数，分类讨论，参变别离，数形结合等，只是复杂程度有所增加，这需要学生要有更大的耐心梳理题 目中的逻辑关系，对存在任意等问题，合理的转化化归，分类讨论.三

10、、巩固练习.函数/(x) = x + + b(xwO),其中。/尺,假设对于任意的 x成立，求b的取值范围.上恒；，2 ,不等式/(x)。，假设函数/(X)有三个互不相同的零点0,西,工2，且西，假设对任意的工民，,恒成立，求2的取值范围.4 .函数/G) = x,函数g(x) = (x) + sinx是区间-1上的减函数.(I)求力的最大值；(II)假设g(x)|x2| ,假设 3/(4) + 3/ 一 3。+力恒成立，求实数人的取值范围.5 .设函数“X)= / +36：2 +3cx存在两个极值点百、X2 ,且为 -1,0,与1,2.证明：一力+ 6 .函数f(x) = x-nx，假设/(

11、x) + ox + b20恒成立，那么的最小值为.四.练习参考答案Q + 11.解：易知，/(幻在pl上的最大值为/(；)与/的较大者，对于任意的；，2 ,不等式/(x)101f 391 1h-4aF1 17在“1上恒成立，当且仅当八4“，即 一 4,对任意的-,2成立.从而得L4/(1)10b9-aL247所以满足条件的b的取值范围是(华,勺.43|2.解：f(x) = anx,不等式/(x) 2m+ x对所有的。 0,- , x(l,/都成立，那么MnxNm + x对所有的as 0,： ,都成立，31即mQlnx-x,所有的0,； , 工(1,/_|都成立， 令 m)= QInx-x ,那

12、么 h(a)是一次函数，m0,所以(4)在4G 0,-上单调递增，/z(6Z)min = /z(0) = -x ,所以根一人对所有的工。,建都成立.因为所以/x1，所以根（X）min =-/.3.解：由题设/（X）=1（一， +工+加2 - 1） = 一_1%0 一 ）0： 一%2）i4所以方程一+%+m2 -1 =。有两个相异的实根X,%2，故%|+入2=3，且A = 1+q（m2 1）2。,解得根一!（舍）， 23因为王 玉+工2 =3 ,故工2-1，假设此1尤2,贝I/=一1。一5）（1一）20，而/（内）=。，不合题意;假设那么对任意的工假设那么对任意的工xpx2,有 X-X12O,

13、x-x2八1）恒成立的充要条件是1）=疗-；，解得?（机手, 综上，加的取值范围是（；,4.解：(I) /(x) = x, g(x) = Ax-hsinx , g(x)在一1川上单调递减，所以 g(x) = X + cosx。40 (其中/14一1)恒成立,4 KA) = (t+1)2 +12+ sin 1 +1 0(2 -1),r + l0t 0恒成立，所以/0 5.解：fx) = (x2 + 2x-a)ex = 0,即噌+2/-=0,由题意两根为不入2，所以2=-。%+%=-2,又因为1% +九2|n|x/2|所以一2qA = 4 + 4a0,所以一 1vq八_1逝或 =0.2a(-1,0

14、)0（0,经） 乙yj5 1 2(甲2)2g（。）+00+g()/极大值极小值/g又 g(0) = 0, g =6/-8, g(a)max =6/-8 ,所以 6/_8.6 .证明：/(x) = 3/+6bx + 3c ,由题意可知：方程/(x) = 0有两个根芯,马，且内口,2,那么 f-r)之 o/(o) o, /,(1) o，c2h-c0由此可得c的约束条件：,可知一2。0,c -4b - 4由题意可知 fx2) = 3xl +6区2 +3c = 0 ,故区2 =xl c J2?1 3c于是，/(X2) = %2 +3bx； +3o2+冷*2，由于1,2,而c0,故-4 + 30/(工2

15、)一，+ 主，而2 c0,那么 gx) = 0 + )_I. X(1 )当l+Q(2)当1 +。0,即。1时，g(x)在0, 上单调递减，在 ,+oo上单调递增， 1 r Cl yb所以 Z? + 1 之一ln(a + l),那么一 a令Mx)二叱(x0)由所以/2(x)在(O,e)上单调递减, 所以/2/x) = /z(e) =，所C+ 1In (a + 1)+ 14 + 10,niin /1eq + 1e角军法 2： /(%) + ax + h0l + lnxK(a + l)x + + l = (c直线)，=( + 1) + 史在x轴上的截距为-四 6Z + 1JQ + 1。+1e/ b + 1)Z + l) XHI,函数y = l + lnx与x轴的交点为一,0 , le )因此只需即,故1的最小值为一1.