2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.doc

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1、2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）2015年全国统一高考数学试卷文科新课标含解析版未经允许 请勿转载 2015年全国统一高考数学试卷文科新课标一、选取题:此题共1小题，每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.5分已经知道集合A=x|x3n2，N,=,8,10，1,14,则集合中元素的个数为未经许可 请勿转载A.54CD.2分已经知道点A0,1,B3，2,向量4,3，则向量 A.,47，4.，4D1，435分已经知道复数满足i=1i，则 A.2B.iC2i.2+i4.5分如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这个数为一组勾股数

2、从1，2,3，,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 未经许可 请勿转载A.BC.D.55分已经知道椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线:y8的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=未经许可 请勿转载3B.6C9D1265分九章算术是我们国家古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺问：积及为米几何？“其意思为：在屋内墙角处堆放米如此图，米堆为一个圆锥的四分之一,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已经知道1斛米的体积约为1立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有 未经许可

3、请勿转载.1斛B22斛36斛D.66斛.5分已经知道an是公差为1的等差数列，n为an的前项和,若S=4，则a1= 未经许可 请勿转载A.C.D2.5分函数fxosx的部分图象如以以下图,则fx的单调递减区间为 k，k，B2k,2k+，k.k，k+,kzD,k+,k9分执行如以以下图的程序框图,如果输入的t=0.01，则输出的n= A.5B.6C.7D80.5分已经知道函数fx，且fa3,则a= AB.D.11分圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如以以下图若该几何体的表面积为6+2，则= 未经许可 请勿转载A2C.4.1.5分设函数y=f的

4、图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，且f2+f4=1，则a= 未经许可 请勿转载AB1C2D.4二、此题共小题，每题分.13.5分在数列an中,a1=,an+=2n，为a的前n项和，若n=16,则 .未经许可 请勿转载14分已经知道函数fx=a+1的图象在点1，f1处的切线过点2，7,则a= .未经许可 请勿转载15.5分若x,y满足约束条件,则=3xy的最大值为 .16分已经知道F是双曲线C：x2=1的右焦点,是C的左支上一点,A0,当APF周长最小时,该三角形的面积为 .未经许可 请勿转载 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.172分已经知道a,c分别是B内角A,B，的

5、对边,sn2=2sAsin未经许可 请勿转载若a=b,求cosB;设B=90，且=,求AC的面积18.12分如此图,四边形ABC为菱形,为C与D的交点，BE平面ABCD证明：平面E平面BE;若ABC=20，EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.9.1分某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x单位:千元对年销售量y单位：和年利润z单位:千元的影响，对近年的年宣传费xi和年销售量y=1，2，8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值未经许可 请勿转载xi2wixiwyi46.6566.828.81.64918表中i=i,=根据散点图判断，y=a+bx与yc+

6、d哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由未经许可 请勿转载根据的判断结果及表中数据,建立关于x的回归方程；已经知道这种产品的年利润z与、y的关系为z=.2yx.根据的结果回答以下问题:i年宣传费x=4时，年销售量及年利润的预报值是多少?i年宣传费为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据u v1,u2v2.n,其回归线v=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,=.未经许可 请勿转载20.2分已经知道过点A0,1且斜率为k的直线与圆:223=交于点M、N两点未经许可 请勿转载1求的取值范围；2若=12，其中O为坐标原点,求|2112分设函数fx=e2xa

7、lnx.讨论fx的导函数fx零点的个数;证明:当a0时，fx2a+aln.四、请考生在第、3、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分【选修-1:几何证明选讲】未经许可 请勿转载210分如此图,AB是O的直径,A是O的切线，BC交O于点E.若D为的中点,证明:DE是的切线；若O=C,求CB的大小五、【选修4-4：坐标系与参数方程】3.在直角坐标系xOy中，直线C1:x2，圆2：12+y2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.未经许可 请勿转载求C1,C2的极坐标方程;若直线C的极坐标方程为=R,设C与C3的交点为M，N,求C2N的面积 六、【选修4-5:不等式选讲】2

8、.已经知道函数x=x+|a|,.当a=时，求不等式fx1的解集；若fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.2015年全国统一高考数学试卷文科新课标参考答案:：:与试题解析一、选取题：此题共12小题,每题分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的15分已经知道集合A=x=n+2,nN，B,8，1,12，14,则集合AB中元素的个数为 未经许可 请勿转载A.5B.43.2【考试点】1:交集及其运算【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解.【解答】解:A=x|x=3n+2,=2，,，1，1，17，则A=8，14，故集合中元素的个数为2个,故选：D【点评】此题

9、主要考查集合的基本运算,比较基础 .5分已经知道点0，3，2,向量=4,，则向量=7，4B.7,.1，4.1，4【考试点】9J：平面向量的坐标运算.【专题】5：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之.【解答】解：由已经知道点A0，1,3,2,得到=3，1，向量=4,3,则向量=7，4；故选:A.【点评】此题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系,顺序不可颠倒未经许可 请勿转载 3分已经知道复数z满足1=+，则= A.i+C.2iD2+i【考试点】A5：复数的运算【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由已经知道等式变形，然后利用复数代

10、数形式的乘除运算化简求得z1,进一步求得z【解答】解：由z1i=1+i，得z1=，z=2i.故选:C.【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.4分如果个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从,2,3，4，中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 未经许可 请勿转载AB.D.【考试点】C:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【专题】5I:概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件,再找到勾股数,根据概率公式计算即可【解答】解：从1,2，,4,5中任取个不同的数，有，2，1，2，,2，5,1,，1，3,5,52,3，4,2,3，5，2,4，

11、5，4,5共10种，未经许可 请勿转载其中只有3，5为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为.故选:.【点评】此题考查了古典概型概率的问题,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件,属于基础题. 5.5分已经知道椭圆的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C:y28x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= 未经许可 请勿转载A3B6C【考试点】：直线与圆锥曲线的综合；K：圆锥曲线的综合.【专题】5:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A,坐标，即可求解所求结果.未经许可 请勿转载【解答】解

12、：椭圆的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点c，0与抛物线C:y2=8x的焦点2，0重合,未经许可 请勿转载可得c=,a=，2=,椭圆的标准方程为:，抛物线的准线方程为:x=2,由,解得y=3，所以A2,3，B2,3.|B|6.故选:B【点评】此题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.6.分九章算术是我们国家古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺.问:积及为米几何？“其意思为:在屋内墙角处堆放米如此图,米堆为一个圆锥的四分之一,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已经知道1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周

13、率约为，估算出堆放的米约有 未经许可 请勿转载A14斛B.22斛C36斛.66斛【考试点】F：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】5:空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解:设圆锥的底面半径为r，则=8,解得=,故米堆的体积为25，斛米的体积约为1.62立方，222,故选:B【点评】此题主要考查椎体的体积的计算，比较基础. 7.5分已经知道an是公差为的等差数列,为an的前n项和,若8=4S4,则a1 未经许可 请勿转载.C.0.2【考试点】3：等差数列的性质.【专题】11:计算题；4:定义法;4：等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列的通项公式及其前项和公式即

14、可得出.【解答】解：an是公差为1的等差数列,S4，8a1+1=4a1,解得1=则a10=+91=.故选:B.【点评】此题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.5分函数fxco+的部分图象如以以下图，则fx的单调递减区间为 A.，k+,B2k,2k,kzCk,+,kzD.,2k,kz【考试点】HA:余弦函数的单调性.【专题】57:三角函数的图像与性质【分析】由周期求出,由五点法作图求出，可得fx的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得fx的减区间.未经许可 请勿转载【解答】解：由函数=cosx+的部分图象,可得函数的周期为=2=2，=，x=cx+未经

15、许可 请勿转载再根据函数的图象以及五点法作图，可得+,z,即=，fx=cosx+.由2k+2k+，求得k2+,故fx的单调递减区间为，k,未经许可 请勿转载故选:D【点评】此题主要考查由函数=Ainx+的部分图象求解析式，由周期求出,由五点法作图求出的值;还考查了余弦函数的单调性，属于基础题.未经许可 请勿转载9.分执行如以以下图的程序框图，如果输入的=01,则输出的n= A.B6C.7D8【考试点】EF：程序框图【专题】K：算法和程序框图【分析】由已经知道中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况,可得答案:.未经许可

16、请勿转载【解答】解:第一次执行循环体后,m=,=1,不满足退出循环的条件；再次执行循环体后,S=,m=,=,不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，=，,n=3,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后，S=,m=,n=，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S,m=,n=5,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S,m=，n=6,不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S,=，n=7,满足退出循环的条件;故输出的n值为7，故选:C【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 0.分已经知道函数fx=,且f=3,则f6= .C.D【考试点】3：

17、函数的值【专题】11:计算题；51：函数的性质及应用【分析】利用分段函数，求出a，再求f6a【解答】解:由题意,a1时，12=3，无解；a1时,lg2a+=3,=7，f6a=1=211=故选:A【点评】此题考查分段函数，考查学生的计算能力,比较基础 115分圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如以以下图.若该几何体的表面积为6+20，则r=未经许可 请勿转载.1B2C.4D8【考试点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】Q：立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,

18、截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,其表面积为：4+2r2r2r2r+r2=5r22，又该几何体的表面积为120,5+4r2=16+20,解得r2，故选:B【点评】此题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力，注意解题方法的积累,属于中档题 .5分设函数yx的图象与2a的图象关于y=对称，且f2+4=1，则a= 未经许可 请勿转载.1B.1C2D.4【考试点】A：函数的图象与图象的变换【专题】26：开放型;51：函数的性质及应用.【分析】先求出与y2+a的反函数的解析式，再由题意x的图象与y=2+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f的解析式,问题得以解决未经许可

19、 请勿转载【解答】解:与2x+a的图象关于y=x对称的图象是y2xa的反函数,y=log2ax0,即gx=oga,x0函数fx的图象与y=2x+a的图象关于=x对称,fx=g=lox+，代入可得k2=2kck，b2=2ac，=b，a=c,由余弦定理可得：cos=II由可得:b=2ac,B=90，且=，2+c2=22ac，解得=SABC=1.【点评】此题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.未经许可 请勿转载1812分如此图,四边形ABD为菱形，为C与BD的交点，E平面ABCD证明:平面EC平面BD；若ABC=10，AE,三棱锥ACD的体积为

20、，求该三棱锥的侧面积【考试点】E：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY:平面与平面垂直.【专题】5F：空间位置关系与距离.【分析】根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC平面E;根据三棱锥的条件公式，进行计算即可.【解答】证明：四边形ABCD为菱形,CD,BE平面ACD,ACB，则A平面，A平面AC,平面AEC平面BED；解:设AB=x,在菱形ABCD中，由ABC=，得AG=GC=,B=GD=,BE平面AC，BEBG,则EB为直角三角形，G=AAG=x，则BE=x，三棱锥AD的体积V=，解得x2，即AB=，AB=120，C2=2+BC22ABBcosAC=4+2=2，即AC=,在三个直角三

21、角形B，EB，EC中,斜边AEEC=E，AEC，A为等腰三角形，则A2+EC2AC2=1，即2AE=12，AE2=,则E=,从而得AE=EC=ED=,EAC的面积S=3,在等腰三角形EA中,过E作EFA于F，则AE=，AF=,则EF=，EAD的面积和ED的面积均为=，故该三棱锥的侧面积为3+【点评】此题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式9.12分某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x单位：千元对年销售量单位：t和年利润z单位：千元的影响，对近年的年宣传费x和年销售量yi=,2,数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的

22、值.未经许可 请勿转载iwi2xiiwiy46.65636.289.81.6146108.8表中i=i,根据散点图判断,a+bx与y=cd哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由未经许可 请勿转载根据的判断结果及表中数据，建立关于x的回归方程;已经知道这种产品的年利润z与、y的关系为z=02y.根据的结果回答以下问题：i年宣传费9时,年销售量及年利润的预报值是多少?ii年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据1 v1,u2 v2.un n，其回归线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,.未经许可 请勿转载【考试点】K：线性回归方程【专

23、题】I:概率与统计【分析】根据散点图,即可判断出,先建立中间量w=，建立y关于的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；i年宣传费x=49时，代入到回归方程,计算即可，i求出预报值得方程,根据函数的性质，即可求出【解答】解:由散点图可以判断,=cd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;令w=,先建立关于w的线性回归方程,由于=6,=5666.8=100.，所以y关于w的线性回归方程为=00.66,因此y关于的回归方程为=100.668，由知，当x=9时,年销售量y的预报值=100.6+68=6.6,年利润的预报值576.0.=6632，根据的结果可知，年利润的预报值=0.2100

24、.668x=x+16+2.2,未经许可 请勿转载当=68时，即当=4.24时，年利润的预报值最大【点评】此题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是此题的关键，属于中档题.20分已经知道过点A0，1且斜率为k的直线l与圆C:x2+y21交于点、N两点未经许可 请勿转载1求k的取值范围；2若=12，其中O为坐标原点,求|MN【考试点】9：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系.【专题】26：开放型；5：直线与圆【分析】1由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得的值,可得满足条件的的范围.未经许可 请勿转载2由题意可得,经过

25、点M、N、A的直线方程为y=kx1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解【解答】由题意可得，直线l的斜率存在,设过点，的直线方程：y=kx+1，即:y+1=0由已经知道可得圆C的圆心C的坐标，3,半径=1.故由1,故当0恒成立，故f没有零点，当a0时,y=e2x为单调递增，y单调递增,f在，+单调递增，又a0，假设存在b满足0bln时,且b,0,故当0时,导函数x存在唯一的零点，由知，可设导函数在0，上的唯一零点为0,当x0，x时,f0，故x在0，x0单调递减，在x0单调递增,所欲当xx0时，x取得最小值,最小值为fx0,由于,所以fx0=+2ax+an2a+n故当a0时，2a+aln.【点评】

26、此题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题. 四、请考生在第22、23、4题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-:几何证明选讲】未经许可 请勿转载22.分如此图,是的直径,AC是的切线，BC交于点E若D为A的中点，证明:DE是O的切线;若OCE，求CB的大小【考试点】N：圆的切线的判定定理的证明.【专题】5B:直线与圆.【分析】连接A和OE,由三角形和圆的知识易得ED=90，可得D是O的切线；设E=1,A=,由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值,可得所求角度【解答】解：连接E，由已经知道得AC，ACAB，在RTABC中，由

27、已经知道可得E=DC,DEDE,连接OE,则OBE=OEB,又ACB+AC=0,E+OEB0，OE=90，E是O的切线；设CE=，Ex,由已经知道得AB2，E=,由射影定理可得AECEE，2=，即x+x212=0，解方程可得x=ACB=60【点评】此题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识,属基础题五、【选修4-4:坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中，直线C:2,圆C2：x12+y1,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.未经许可 请勿转载求C1,2的极坐标方程；若直线C3的极坐标方程为=R,设C2与3的交点为，,求C2MN的面积.【考试点】4：简单曲线的极坐标方程【

28、专题】5S：坐标系和参数方程【分析】由条件根据x=cos，y=sin求得C1，C2的极坐标方程把直线C3的极坐标方程代入23+4=0,求得1和2的值，结合圆的半径可得C2MCN,从而求得CMN的面积2MC2N的值.未经许可 请勿转载【解答】解:由于=cos，y=in，C1:=2的极坐标方程为 co=，故C：x1+y21的极坐标方程为:cs12sn22=1,化简可得22o+in+40把直线C3的极坐标方程R代入圆C2：x2+y22=1，可得22cos+sin+4=0，求得2,2=,|N|=|12|=，由于圆C的半径为,C2MC2，C2M的面积为CM2N=.【点评】此题主要考查简单曲线的极坐标方程

29、,点的极坐标的定义，属于基础题. 六、【选修45：不等式选讲】24.已经知道函数fx=|x1|2|xa|，a.当a1时,求不等式fx1的解集;若fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围【考试点】5：绝对值不等式的解法【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】当a1时,把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求化简函数x的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得fx的图象与轴围成的三角形面积；再根据fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得的取值范围.未经许可 请勿转载【解答】解:当a=时,不等式f1，即+12|x1|,即，或，或解求得x，解求得x,解求得12.综上可得，原不等式的解集为,函数x=|x+12|x|，由此求得fx的图象与x轴的交点 ，,2a+1,0,故fx的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点a，a+1，由AB的面积大于6，可得2a+1a+16,求得故要求的的范围为2,+.【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.