2022年高等数学.docx

《2022年高等数学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学.docx（84页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案第十二章无穷级数教学目的：1、懂得无穷级数收敛、发散以及和的概念.2、明白无穷级数基本性质及收敛的必要条件.3、把握几何级数和p-级数的收敛性.4、把握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法.5、把握交叉级数的莱布尼茨定理,会估量交叉级数的截断误差.6、明白无穷级数确定收敛与条件收敛的概念以及确定收敛与条件收敛的关系.7、懂得函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念,明白函数项级数的一样收敛性概念,明白函数项级数和函数的性质.8、把握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法,明白幂级数在

2、其收敛区间内的一些基本性质.9、会利用幂级数的性质求和10、明白函数绽开为泰勒级数的充分必要条件.11、会利用基本初等函数的麦克劳林绽开式将一些简洁的函数间接绽开成幂级数.12、懂得函数绽开为傅里叶级数的狄利克雷条件.13、把握将定义在区间 , 上的函数绽开为傅里叶级数的方法.14、会将定义在区间0 , 上的函数绽开为正弦或余弦级数.15、会将定义在区间 l, l上的函数绽开为傅里叶级数.教学重点：1、级 数 收 敛 的 定 义 及 条 件2 、判 定 正 项 级 数 的 收 敛 与 发 散3 、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.4 、泰 勒 级 数5 、函 数 展 开 成 傅 立 叶

3、 级 数 .教学难点 ：1 、 级 数 收 敛 的 定 义 及 条 件2 、 判 定 正 项 级 数 的 收 敛 与 发 散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.4 、 泰 勒 级 数 .5 、 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案12 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常

4、数项无穷级数一般的,给定一个数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案u1 u2 u3un就由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做（常数项无穷级数简称（常数项级数记为un即n 1unu1u2u3unn 1其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项级数的部分和作级数un 的前 n 项和n 1nsnuiu1u2u3uni 1可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品_精品资料_称为级数un 的部分和n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_级数敛散性定义假如级数un 的部分和数列n 1 sn 有极限 s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即lim snsn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称无穷级数un 收敛这时极限s 叫做这级数的和n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sunn 1u1u2u3un可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品_精品资料_假如 sn 没有极限就称无穷级数un 发散n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余项当级数un 收敛时其部分和s n 是级数n 1un 的和 s 的近似值它们之间的差值n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品

7、教学教案rn s sn un 1 un 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做级数un 的余项n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 争论等比级数几何级数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aq nn 0aaqaq 2aq n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的敛散性其中 a 0 q 叫做级数的公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：假如 q 1就部分和2n 1aaqnaaqn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_snaaqaqaq1q1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

8、- - - 欢迎下载精品_精品资料_当 |q| 1 时由于lim sna所以此时级数aqn 收敛其和为a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1qn 01q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 |q|1 时由于lim snn所以此时级数aq n 发散n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 |q | 1就当 q 1 时 snna因此级数aqn 发散n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 q1 时级数naqn 成为0可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_a a a a时 |q| 1 时由于 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于a 或零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 sn 的极限不存在从而这时级数aqn 也发散n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述假如 |q| 1就级数aq n 收敛其和为an 01q假如 |q| 1就级数aqn 发散n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仅当 |q | 1 时几何级数aqn a0收敛其和为an 01q可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案例 2 证明级数1 3 5（ 2n-1）是发散的证 此级数的前n 项部分和为sn1352n1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显lim sn n因此所给级数是发散的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 判别无穷级数1111可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_1 2的收敛性2 33 4nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 由 于un因此sn1nn11111nn111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22 33 4nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1从而lim snn1122lim 1n113n11n11 11n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以这级数收敛它的和是1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示un1nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、收敛级

12、数的基本性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1 假如级数un 收敛于和s就它的各项同乘以一个常数k 所得的级数n 1kun 也收敛n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且其和为ks可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设nun 与1nkun 的部分和分别为sn 与n就1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wor

13、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnnlimnku1ku2kunk limnu1u2unk lim snksn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这说明级数kun 收敛且和为 ksn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后,它的收敛性不会转变.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 2 假如级数un 、n 1nvn 分别收敛于和s、就级数1unvn 也收敛且其和为sn 1可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：假如un、vn、unvn 的部分和分别为sn、n 、n 1n1n1n就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnlimnn u1v1u2v2 unvn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim u1u2nun v1v2vn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnsnn s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质 3 在级数中去掉、加上或转变有限项不会转变级

15、数的收敛性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比如级数1111是收敛的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22 33 4nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加一项后级数98951111也是收敛的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22 33 4n n1减一项后级数111也是收敛的3 44 5nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 4 假如级数un 收敛就对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意假如加括号后所成的级数收敛就不能确定去括号后原先的级数

16、也收敛例如级数（ 11+（ 1 1 +收敛于零但级数 1 11 1却是发散的推论假如加括号后所成的级数发散就原先级数也发散级数收敛的必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 5 假如un 收敛就它的一般项un 趋于零即lim un0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

17、料_n 1n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 ： 设级数un 的部分和为sn且n 1lim sns就n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim unlim snsn 1lim snlimsn 1ss0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0nnn留意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例如调和级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n 1n111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_尽管它的一般项lim 10 ,但它

18、是发散的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn由于假如级数1 收敛且其和为s sn 是它的部分和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显有lim snns 及 limns2ns于是 limns2nsn 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但另一方面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s2nsn11n1n21112n2n2n112n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 limns2nsn 0冲突这冲突说明级数1 必定发散n 1

19、 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数,称为正项级数.正项级数是一类特别重要的级数,关于正项级数有列重要结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1 正项级数un 收敛的充分必要条件它的部分和数列s n 有界n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证设级数u1u2un可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案是一个正项级数.其部分和为sn明显 sn 是一个单调增加数列,如部分和数列sn 有界就依据单调有界数列必有极限的准就,可知级数un 收敛.反之如级数un 收敛,就部分和数列sn 有极限,依据有极限的数列是有界数列的性质可知s n 有界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 2 比较审敛法 设nun 和1vn 都是正项级数且 un vn n 1 2如级数n 1vn 收n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_敛就级数

21、un 收敛反之如级数n 1un 发散就级数n 1vn 发散n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证设级数vn 收敛于和就级数n 1un 的部分和n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sn u1 u2un v1v2vnn1, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即部分和数列 sn 有界由定理 1 知级数un 收敛n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反之设级数un 发散就级数n 1vn 必发散n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

22、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于如级数vn 收敛由上已证明的结论将有级数n 1un 也收敛与假设冲突n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论设nun 和1nvn 都是正项级数假如级数1vn 收敛且存在自然数N使当n N 时有n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_un kvnk0成立就级数un 收敛假如级数n 1vn 发散且当 n N 时有 un kvnk 0成立n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

23、欢迎下载精品_精品资料_就级数un 发散n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 争论 p 级数111111n 1 n p2p3 p4pnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案的收敛性其中常数p 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 设 p 1这时1n p1而调和级数n1 发散由比较审敛法知n

24、1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 p 1 时级数1发散n 1 n p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 p 1此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn pn11 n p dxn1n 1 x p dx1p1 n11 p 11n p 1 n 2, 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于级数n 2 n11p 11n p 1其部分和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sn

25、112p 1 1 1p213 p 11 1pn1n1 p 111n1 p 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 为 lim sn nlim 1n11n1 p 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以级数n 2 n11 p 11n p 1 收敛从而依据比较审敛法的推论1 可知级数n1当1 n p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 1 时收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述p 级数1n 1 n p当 p 1 时收敛当 p 1 时发散可

26、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示级数1n2 n111 p 11n p 1 的部分和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sn112 p 1 2 p 113 p 1 n p 111n1 p 11n1 p 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 为 lim sn nlim 1n11n1 p 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以级数n 2 n11 p

27、 11n p 1 收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 级数的收敛性p 级数1n 1 n p当 p1 时收敛当 p 1 时发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2

28、证明级数n 11nn是发散的1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 因 为1nn111n1 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而级数111n 1 n1231是发散的n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理 3比较审敛法的极限形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设un 和n 1nvn 都是正项级数1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 假如

29、lim un nvnl 0 l且级数vn 收敛就级数n 1un 收敛n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 假如lim unl0或 lim un且级数v发散就级数u发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nvnnvnnnn 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明由极限的定义可知对1 l存在自然数N当 n N 时有不等式2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 lun2vnl1 l2即 1

30、 lvnun 23 lvn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再依据比较审敛法的推论1即得所要证的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 判别级数tan 1n 1n的收敛性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 因 为limntan 1n1n1而级数1 发散n 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据比较审敛法的极限形式级数tann 11 发散n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

31、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 42 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 判别级数n 1 2 n1112n的收敛性1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 因 为lim2n12n11而级数1收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n14n2n 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据比较审敛法的极限形式级数n 1 2 n1收敛12 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 4 比值审敛法达朗贝尔判别法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如正项级数un 的后项与前项之比值的极限等于n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limun 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nun就当