江阴暑假家教班.doc

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1、列二元一次方程组解应用题的技巧一、 列二元一次方程组解应用题的步骤 弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数； 找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系； 根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组； 解这个二元一次方程组，求出未知数的值； 检查所得结果的正确性及合理性； 写出答案 例1 甲、乙两人的收入之比为43，支出之比为85，一年间两人各储存了500元，求两人的年收入各是多少？ 分析：二、 弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数；设甲乙的收入为4x、3x；甲乙的支出为8y、5y找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系

2、； 甲的年收入数甲的年支出数500， 乙的年收入数乙的年支出数500 根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组 4x-8y=500 3x-5y=500二、设未知数的几种常见方法 （1）设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个 例2 李红用甲、乙两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元已知这两种储蓄的年利率的和为3.24，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？甲 2.25和乙0.99 公民应交利息所得税利息金额20 分析：设甲、乙这两种形式储蓄的年利率分别为x、y本题要求两个未知量就需设

3、两个未知数，关键是抓住两个相等关系： 甲种形式储蓄年利率乙种形式储蓄年利率3.24；（甲种形式储蓄所得利息乙种形式储蓄所得利息）（120）43.92 根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组（2）设间接未知数：即设的不是所求量有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程 例3 、甲、乙两厂计划在上月共生产机床360台，结果甲厂完成了计划的112，乙厂完成了计划的110，两厂共生产了机床400台，问上月两厂各超额生产了机床多少台？ 甲、乙两厂分别超额生产了机床24台和16台 直接设：未知数，即设上月甲厂超额生产了机床x台，乙厂超额

4、生产了机床y台，根据题意，得 间接设：上月份甲厂计划生产机床x台，乙厂计划生产机床y台，根据题意，得 （3）少设未知数：有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解 例4 怎样把45分成甲、乙、丙、丁四个数，使甲数加2，乙数减2，丙数加倍，丁数减半的结果相等？ 甲数为8，乙数为12，丙数为5，丁数为20分析：如果用四元一次方程组来解，显然太繁注意到“甲数加2，乙数减2”后正好相等，可知：乙数甲数4；又由“丙数加倍，丁数减半”后正好相等，可知：丁数丙数4因此只需设甲数和丙数这两个未知数，就便于列出方程组了 解 设甲数为x，丙数为y，则乙数为x

5、4，丁数为4y，根据题意，得 （4）多设未知数：有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数 例5 甲车和乙车共坐了93人，乙车和丙车共坐了96人，丙车和丁车共坐了98人，问甲车和丁车共坐了多少人？ 甲车和丁车共坐了95人 分析：本题只需求甲车和丁车乘坐的人数之和，但是若以这个量为未知数，列方程比较困难因此，我们不妨设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数作为辅助未知数，列出方程组来求解 解 设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数分别为x、y、z、u，根据题意，得 三、 列方程组解应用题的常见题型 （1）和差倍分问

6、题： 解这类问题的基本等量关系式是：较大量较小量多余量，总量倍数一倍量 例6 第一个容器有49L水，第二个容器有56L水，若将第二个容器里的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是该容器的一半。若将第一个容器里的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一，求两容器的容量。第一个容器的容量为63L，第二个容器的容量为84L 解 ： 设第一个容器的容量为xL，第二个容器的容量为y L，那么第二个容器倒给第一个容器（x49）L，剩下56（x49）L水，第一个容器倒给第二个容器（y56）L，剩下49（y56）L水，于是根据题意，得 （2） 产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系式是

7、：加工总量成比例 例7某车间有28名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个，一个螺丝装配两个螺母，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，才能使每天的产品正好配套？ 应安排12人生产螺丝，16人生产螺母解 ：设每天安排x人生产螺丝，y人生产螺母，那么每天能生产螺丝12x个，螺母18y个，于是根据题意，得 （3）速度问题： 解这类问题的基本关系式是：路程速度时间 一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题例8 某人从甲地骑车出发，先以12km/h的速度下山坡，后以9kmh的速度过公路到达乙地，共用55min；返回时，按原路先以8kmh的速度过公路，后以4kmh

8、的速度上山坡回到甲地，共用1h30min，问甲地到乙地共多少千米？ 甲地到乙地共9km解 ：设甲地到乙地山坡路为x km，公路为y km根据题意，得 例9 一列快车长70m，一列慢车长80m，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，需要1min；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车，只需要12s，问快车和慢车的速度各是多少？快车的速度是7.5ms，慢车的速度是5ms 解 ：设快车的速度是x ms，慢车的速度是y ms，根据题意，得 （3） 例10 甲、乙两人在200m的环形跑道上练习竞走，乙的速度比甲快，当他们都从某地同时背向行走时，每隔30s种相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇

9、一次，求甲、乙两人的竞走速度甲的速度为175mmin，乙的速度为225m/min解 ：设甲的速度为xmmin，乙的速度为ymmin，根据题意，得 （4） 航速问题：此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为： 顺流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速 逆流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速 例11 甲轮从A码头顺流而下，乙轮从B码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于中点，而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的2倍，已知水流速度是4kmh，求两轮在静水中的速度 甲轮在静水中的速度为20kmh，乙轮在静水中的速度为28kmh 解 设甲轮在静水中的速度为x km/h，乙轮在静水

10、中的速度为y kmh，根据题意，得 （5） 工程问题： 解这类问题的基本关系式是：工作量工作效率工作时间 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题 例12 一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？ 甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个 解 ：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得 例13 .一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成按原定计划，这项工程要求在7天内完成，现在甲、乙两队先合做若干

11、天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务问甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？ 甲、乙两队先合做了4天，丙队加入后又做了2天 解 ：设甲、乙两队先合做了x天，丙队加入后又做了y天，根据题意，得 （6） 增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量（1增长率）增长后的量， 原量（1减少率）减少后的量 例14 某中学校办工厂今年总收入比总支出多30000元，计划明年总收入比总支出多69600元，已知计划明年总收入比今年增加20，总支出比今年减少8，求今年的总收入和总支出 今年的总收入为元，总支出为元 解:设今年的总收入为x元，总支出为y元，根据题意

12、，得 （7） 盈亏问题： 解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量 例15 为了迎接新学期开学，某服装厂赶制一批校服，要求必须在规定时间内完成，在生产过程中，如果每天生产50套，这将还差100套不能如期完成任务；如果每天生产56套，就可以超额完成80套，问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成？ 原计划生产1600套校服，原计划规定生产30天 解 ：设原计划生产x套校服，原计划规定生产y天，根据题意，得 （8）数字问题：（8） 解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示如当n为整数时，奇数可表示为2n1（或2n1），偶数可表示为2n等有

13、关两位数的基本等量关系式为：两位数十位数字10个位数字 例16 一个两位数的个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对换，所得的新两位数与原两位数相加的和为143，求这个两位数 这个两位数为49 解： 设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意，得 （9） 几何问题： 解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 例17 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为54，第二个长方形的长与宽之比为32，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积1620和150 解 设第一个长方形的长

14、与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm，根据题意，得 （10）年龄问题： 解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等，两人的年龄差是永远不会变的 例18 师傅对徒弟说：“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了”问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？ 现在师傅36岁，徒弟20岁 解： 设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得 四、同步达标练习 1某年级学生共有246人，男生人数为女生人数的2倍少2人，问男、女生各多少人？ 若设女生人数为x人，男生人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ） 2某工厂第一车间有工人x人，第二车间有工人y

15、人，第一车间工人数比第二车间工人数的 少30人，从第二车间调10人到第一车间，则第一车间工人数就是第二车间工人数的 ，依题意所列正确的方程组是（ ） 3某班同学参加运土劳动，一部分同学抬土，另一部分同学挑土，已知全班共用土筐59个，扁担36根，若设抬土与挑土的同学分别为x人与y人，依题意得方程组（ ） 4缉私艇与贩私艇相距42海里，若贩私艇继续前进，缉私艇前往查缉，2h即可相遇；若贩私艇知情后逃跑，缉私艇需14h才能追上，则缉私艇与贩私艇的速度各是（ ） A11海里/时、10海里/时 B13海里/时、12海里/时 C14海里/时、11海里/时 D12海里/时、9海里/时 5一队工人制造某种工件

16、，若平均每人一天做5件，全队一天就超额30件；若平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成20件若设这队工人有x人，全队每天的定额数为y件，则依题意得方程组_ 6一批零件共420个，如果甲先做2天后乙加入合做，那么再做2天正好完成；如果乙先做2天后甲加入合做，那么再做3天也正好完成若设甲每天做x个，乙每天做y个，则依题意得方程组_ 7有一个两位数，它的两个数位上的数字之和是8，而这个数加上18后所得的数，其数字的顺序与原有的两位数的数字顺序恰好颠倒，设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，则依题意得方程组_ 8A、B两地相距80km，一船从A出发顺水行驶4h到B，从B出发逆水行驶5h才能到

17、A若设船在静水中的航行速度为x km/h，水流速度为ykmh，则依题意可得方程组_ 9某抗洪突击队有50名队员，承担着保护长江大堤的任务已知在相同的一段时间内，每名队员可装土7袋或运土3袋问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上 10某工厂现有库存某种原料1200t，可以用来生产A、B两种产品每生产一吨A种产品需这种原料2.5t，生产费用900元；每生产一吨B种产品需这种原料2t，生产费用1000元，可用来生产这两种产品的资金为53万元问A、B两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？ 11某工厂向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计35万元，每年需付出利息4.4万元，甲种贷款的年

18、利率为12，乙种贷款的年利率为13，求这两种贷款的数额各是多少？ 12在道路两旁种树，每隔3m一棵，到头还剩3棵，每隔2.5m一棵，到头还缺77棵，求这条路长和共有多少棵树？ 13下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（收盘价：股票每天交易结束的价格） 周一周二周三周四周五甲种股票1212.512.912.4512.75乙种股票13.513.313.913.413.15某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一多获利200元，星期三比星期二多获利1300元试问该人持有甲、乙股票各多少股？ 14某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市

19、场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶粉销售，每吨可获取利润2000元 该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3t；制成奶粉，每天可加工1t受人员限制，两种加工方式不可同时进行受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕为此，该厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶粉，其余直接销售鲜奶 方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 15某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙

20、种每台2500元 （1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？ （3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案 16下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤

21、子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布” 现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分 （1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次。聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？ （2）如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表 17用列举法解数字应用题 将符合题中的某个条件的数一一列举出来，然后根据题中的其他条件对所列举出来的数进行筛选，从而求出符合题意的数，这种解题方法称为列举法下面举两例说明它在解数字应用

22、题中的巧用 例1 一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位上的数与个位上的数的和是这个两位数的 ，求这个两位数 解 因为十位上的数比个位上的数小1，所以，这个两位数可能是12、23、34、45、89 又因为十位上的数与个位上的数的和是这个两位数的 ，因而这个两位数必为5的倍数，故其个位数字必为0或5，因此，这个两位数是45 例2 一个三位数，三个数位上的数的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数 解 因为百位上的数比十位上的数大7，所以，这个三位数可能是700、701、709；810、819；920、929；又因为个位上的数是十位上的数的3倍，因而这个三位数可能是813、926；又三个数位上的数的和是17，故这个三位数是926 请你也用列举法解下面的题： 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数