数值积分与数值微分.doc

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1、第5章 数值积分与数值微分方法1 基本概念梯形公式中矩形公式 则上式为一个数值求积公式.称为求积系数，称为求积节点;而称 为求积余项或求积公式的截断误差。从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式.定义1 若求积公式对于次数不超过的多项式准确成立，而对于次多项式不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度为. 一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好.确定代数精度的方法依次取代入公式并验证是否成立.若第一个使不成立的值为，则对应的代数精度为.例1确定求积公式的代数精度.解 取代入求积公式有易验证，但，故本题求积公式代

2、数精度为3.例 2确定下面求积公式的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度.解 本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。公式有3个待定参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题.依次取代入求积公式并取等号，有解之得故所求的求积公式为为确定其代数精度，再取代入求出的公式继续计算，有，故所求的求积公式具有二次代数精度.插值型求积公式 考虑关于个节点的Lagrange插值多项式与的余项，有这里两边取积分,有记 则有 若舍去，得求积公式(求积系数)该公式是插值型求积公式。插值型求积公式的求积余项当为次数不超过次的多项式时，有，对应

3、的. 因此个节点的插值型求积公式的代数精度至少为若求积公式的代数精度至少是，则该公式是插值型求积公式.2. Newton-Cotes求积公式点的Newton-Cotes公式将求积节点取为a,b上的等距节点做积分变量变换 有 记称为Cotes系数.求积公式 称为Newton-Cotes求积公式.易验证2 点的Newton-Cotes公式 这正是我们熟悉的梯形公式.3点的Newton-Cotes公式为 称它为Simpson公式.例1 试分别用梯形公式和Simpson公式计算解 用梯形公式计算，有用Simpson公式计算，有梯形公式与Simpson公式的余项 梯形公式余项为利用积分中值定理可有梯形公

4、式余项 Simpson公式的余项 部分Cotes系数n12345678 当较大时Cotes系数会出现负数，此时Newton-Cotes不具有数值稳定性，因而一般不用较大的Newton-Cotes公式来做计算.3 复化求积公式1）复化梯形公式取等距节点将积分区间a,b n等分,在每个小区间上用梯形公式做近似计算，就有得求积公式-复化梯形公式 复化梯形公式的余项 记故复化梯形公式的求积余项 2) 复化Simpson公式取等距节点将积分区间a,b n等分,在每个小区间上用Simpson公式做近似计算，再累加起来就有式中，得复化Simpson公式 复化Simpson公式的余项记有复化Simpson公式

5、的求积余项例1 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，要求误差不超过.解 数值计算结果列表，其中代表求积余项.N复化梯形公式复化Simpson公式2-17.389 2595.32-11.592 840-0.47822-13.336 0231.27-11.984 94423-12.382 1620.312-12.064 20924-12.148 004-12.069 95125-12.089 74226-12.075 19427-12.071 55828-12.070 649本题积分的准确值为，可见复化梯形公式和复化Simpson公式能求出精度较高的解。例2 考虑用复化Simpson公

6、式计算要使误差小于，那么求积区间0,1应分成多少个子区间？以此计算积分近似值。解 复化Simpson公式的求积余项为 式中.为估计误差，要计算。注意到，故由此得从而有解出，故要求出满足计算精度要求的定积分值，只要将0,1分成4个子区间即可，此时算出4 Romberg求积法Euler-Maclaurin求和公式 设则有 消去可得 设 则（复化Simpson公式). 消去可得 设 则（复化Cotes公式). 消去可得 设 则（Romberg公式). 数表 收敛性 设可有 复化梯形公式给出的近似值有公式 练习一 计算积分 计算到.5 Gauss求积公式考虑求积公式求积公式具有次代数精度，则称该求积公

7、式为Gauss型求积公式，对应的求积节点和求积系数分别称为Gauss点和Gauss系数.例1 确定参数，使求积公式成为Gauss求积公式. 解 为确定四个参数，依次取代入公式并将近似号取为等号，得联立方程组 消去可得 消去可得 解此方程组可得 把带入第一个方程组得到 定理一 插值型求积公式的求积节点是Gauss点的充要条件是以这些点为零点的多项式 与任何次数不超过的多项式带权正交，即 证明 于是 由多项式除法因此 定理说明Gauss点为上带权的次正交多项式的零点，求积系数为 Gauss型求积公式的求积余项设,取在Gauss点上的次Hermite插值多项式,由Hermite插值余项公式，有两边乘

8、积分，有由Gauss型求积公式的代数精度为及积分中值定理，Gauss求积公式余项为Gauss型求积公式的数值稳定性 对任意i, 取是关于Gauss点的次Lagrange插值函数，由Gauss公式的代数精度为，而是次多项式，有由i的任意性可知，Gauss求积系数.常用的Gauss型求积公式Gauss-Legendre求积公式权函数，积分区间为,Gauss点为次Legendre正交多项式的零点，Gauss-Legendre求积公式为Gauss-Legendre求积余项为Gauss-Legendre求积公式的Gauss点与系数nx kA k nx kA k 00.000 000 02.000 000

9、 030.861 136 30.347 854 810.577 350 31.000 000 00.339 981 00.652 145 220.000 000 00.888 888 940.000 000 00.568 888 90.774 596 70.555 555 60.906 179 80.236 926 90.538 469 30.478 628 7Gauss-Legendre求积公式可以计算任何有限积分区间的定积分，计算之前先作变量代换将积分区间变到，有然后再对用Gauss-Legendre求积公式.Gauss-Chebyshev求积公式(个节点)权函数,求积区间为，Gauss点

10、为次Chebyshev正交多项式的零点，Gauss-Chebyshev求积公式为式中Gauss点与系数Gauss-Chebyshev求积余项例1 用两点Gauss公式求定积分的近似值。解 本题为有限区间的定积分，可用两点Gauss-Legendre 求积公式计算.做积分换元，将其化为-1,1上的定积分，即令有本题准确值为，可见精度很高. 6 数值微分两点公式给定点，有线性插值多项式记，有不带余项的数值微分公式带余项的两点数值微分公式前差公式 后差公式 三点公式 给定点集，有二次插值多项式，类似前面的做法，可得及带余项的三点数值微分公式前差公式 中心公式 后差公式 例1 推导计算二阶导数的中心差分公式式中，解 用数据集做二次插值多项式, 有记，有两边对t求二阶导数故有由此得 因为有注意到，可得出