高考数学复习 第三章 数列 3.4 数列的通项公式及求和.doc

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1、3.4 数列的通项公式及求和基础自测1.如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于（ ）A. B. C.D.答案 C2.数列1,3,5,7,(2n-1)+,的前n项和Sn的值等于（ ）A. B.C. D.答案 A3.（2008武汉模拟）如果数列an满足a1=2,a2=1且(n2),则此数列的第10项为（ ）A. B. C. D.答案D4.设函数f（x）=xm+ax的导数为=2x+1，则数列（nN*）的前n项和是（ ）A. B. C. D.答案A5.（2009温州调研）设an是首项为1的正项数列，且（n+1）a-na+an+1an=0

2、 (n=1,2,3,).则它的通项公式是an= .答案 例1 已知数列an满足an+1=,a1=2,求数列an的通项公式.解 已知递推式可化为-=,-=,-=,-=,-=,将以上(n-1)个式子相加得-=+,=1-,an=.例2 求和：Sn=+.解 （1）a=1时，Sn=1+2+n=.（2）a1时，Sn=+ Sn=+ 由-得Sn=+-=-,Sn=.综上所述，Sn=.例3 （12分）已知数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和Sn满足S=an(Sn-).（1）求Sn的表达式；（2）设bn=，求bn的前n项和Tn.解 （1）S=an，an=Sn-Sn-1（n2），S=（Sn-Sn-1）,即2Sn

3、-1Sn=Sn-1-Sn， 3分由题意Sn-1Sn0，式两边同除以Sn-1Sn，得-=2，数列是首项为=1，公差为2的等差数列. 4分=1+2（n-1）=2n-1，Sn=. 6分（2）又bn=， 8分Tn=b1+b2+bn=. 12分1.（2008江西理，5）在数列an中，a1=2，an+1=an+ln，则an等于（ ）A.2+lnnB.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn 答案 A2.（2008全国文，19）在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n.（1）设bn=.证明：数列bn是等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn.（1）证明 an+1=2an+2n，=+1

4、，bn=，bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1,故数列bn是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由（1）知,bn=n,an=n2n-1,则Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-12Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n两式相减，得：Sn=n2n-120-21-2n-1=n2n-2n+1.3.（2009湖州模拟）已知数列an的前n项和Sn=an2+bn+c（nN*），且S1=3,S2=7,S3=13,（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.解 （1）由已知有解得所以Sn=n2+n+1.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)

5、2+(n-1)+1=2n,所以an=(2)令bn=，则b1=.当n2时，bn=.所以Tn=b2+bn=.所以Tn= (nN*).一、选择题1.（2009成都市第一次诊断性检测）已知等差数列an的前n项和为Sn（nN*），且S3=-3，S7=7，那么公差d等于（ ）A.1B.2C.3D.4答案A2.数列an的通项公式an=，若前n项的和为10，则项数为（ ）A.11 B.99 C.120 D.121答案 C3.数列an的前n项和为Sn，若an=，则S5等于（ ）A.1 B. C. D.答案 B4.数列1，1+2，1+2+4，1+2+22+2n-1，的前n项和Sn1 020，那么n的最小值是（ ）

6、A.7 B.8 C.9 D.10答案 D5.已知某数列前2n项和为(2n)3,且前n个偶数项的和为n2（4n+3），则它的前n个奇数项的和为（ ）A. -3n2（n+1） B.n2（4n-3） C.-3n2 D.n3答案 B6.1-4+9-16+(-1)n+1n2等于（ ）A. B.- C. D.以上答案均不对答案 C二、填空题7.（2008厦门模拟）已知数列an中,a1=20,an+1=an+2n-1,nN*,则数列an的通项公式an= .答案 n2-2n+218.（2008大连模拟）若数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=(nN*),则an= .答案 三、解答题9.Sn是数列a

7、n的前n项和，an=，求Sn.解 an=1+=1+，Sn=n+（1-+-+-+-）=n+=n+=.10.（2008江西文，19）等差数列an的各项均为正数，a1=3,前n项和为Sn，bn为等比数列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an与bn;(2)求.解 (1)设an的公差为d、bn的公比为q，则d为正数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，依题意有解得或（舍去）.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),所以=+=-.11.设数列an的前n项和Sn=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b

8、1.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=,求数列cn的前n项和Tn.解 （1）由于Sn=2n2,n=1时，a1=S1=2；n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适合.an=4n-2，b1=a1=2，b2（6-2）=b1=2，b2=，q=bn=2n-1.（2）cn=（2n-1）4n-1，Tn=1+34+542+（2n-1）4n-1，4Tn=4+342+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n，-3Tn=1+24+242+24n-1-（2n-1）4n=1+2-（2n-1）4n=4n-，Tn=-4n.12.数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=

9、2Sn(nN*).（1）求数列an的通项an;（2）求数列nan的前n项和Tn.解 （1）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1=a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an=2Sn-1=23n-2(n2),an=（2）Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时，T1=1;当n2时，Tn=1+430+631+2n3n-2, 3Tn=3+431+632+2n3n-1, -得：-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1=2+2-2n3n-1=-1+(1-2n)3n-1.Tn=+3n-1(n2).又T1=a1=1也满足上式，Tn=+3n-1(n-) (nN*).