1.2 随机事件的概率.pdf

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1、1.2 随机事件的概率1.2.1 事件的频率与概率1.2.2 概率的定义1.2.3 概率的性质1.2.4 古典概型1.2.11.2.1事件的频率与概率对于一个试验对于一个试验, ,不仅关心它可能出现不仅关心它可能出现的哪些结果的哪些结果, ,更需要知道这些结果出现的更需要知道这些结果出现的可能性的大小可能性的大小. .我们希望用一个我们希望用一个数字数字来度来度量试验中一个量试验中一个随机事件随机事件A A发生的可能性大发生的可能性大小小, ,这个数字记作这个数字记作P(P(A A),),称为称为A A的概率的概率. .问题问题: :概率作为事件发生的可能性大小的度概率作为事件发生的可能性大小

2、的度量具体应该如何确定量具体应该如何确定? ?确定概率的原则计算概率的方法计算概率的方法但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢？合理但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢？合理计算概率的方法：计算概率的方法：(1)(1)根据频率稳定性，在试验次数充分多时根据频率稳定性，在试验次数充分多时, ,用用频频率估计率估计概率概率( (概率的统计定义概率的统计定义) )(2)(2)直接计算，直接计算，利用试验条件的某种对称性、均利用试验条件的某种对称性、均匀性匀性, ,直接计算事件的概率直接计算事件的概率( (概率的古典定义概率的古典定义) )(3)(3)利用各种逻辑关系利用各种逻辑关系，比如利用概率的性质

3、和，比如利用概率的性质和基本公式，通过简单事件的概率计算复杂事件的基本公式，通过简单事件的概率计算复杂事件的概率。概率。 （概率的公理化定义概率的公理化定义）(4)(4)人们根据经验对发生可能性做出个人信念，这种人们根据经验对发生可能性做出个人信念，这种方式给出的概率为主观概率。（概率的主观定义）方式给出的概率为主观概率。（概率的主观定义）频率及性质频率频率：事件：事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA次，则比值次，则比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中出现的频率，记次重复试验中出现的频率，记为为n(A);即即n(A)= nA/n 。频率的性质：频率的性质：(1) 非负性

4、非负性：0 n(A) 1；(2) 正则性正则性： n()1(3) 可加性可加性：若：若AB ，则，则n(A B) n(A) n(B).推广推广: n(Ai)=n(Ai) (m个个互斥互斥事件事件)显然，频率大小在相当程度上客观的反映了事件显然，频率大小在相当程度上客观的反映了事件发生的可能性大小；所以可用频率来估计事件发发生的可能性大小；所以可用频率来估计事件发生的概率。生的概率。7例例. 抛硬币试验（续）抛硬币试验（续）掷一枚均匀硬币，记录前掷一枚均匀硬币，记录前400400次掷硬币试验中，次掷硬币试验中，正面出现频率正面出现频率n(A)的趋势，如图的趋势，如图0.51n(A)n历史上的掷硬

5、币试验试验者试验者抛掷次数抛掷次数n n正面出现次数正面出现次数m m正面出现频率正面出现频率m m/ /n n德德. .摩尔根摩尔根20482048106110610.5180.518蒲丰蒲丰40404040204820480.50690.5069皮尔逊皮尔逊1200012000601960190.50160.5016皮尔逊皮尔逊240002400012012120120.50050.5005维尼维尼300003000014994149940.49980.4998随着随着n n越来越大，证明机会均等越来越大，证明机会均等, ,频率接近频率接近0.50.5，所以，所以我们说正面出现的概率为我们

6、说正面出现的概率为0.50.5。概率的统计定义实践证明实践证明：在不变的条件下：在不变的条件下, , 重复进行重复进行n n次试验次试验, , 事事件件A A发生的频率发生的频率稳定稳定地某一常地某一常数数p p附近摆动附近摆动, , 且一般说且一般说来来, , n n越大越大, , 摆动幅度越小。摆动幅度越小。概率的统计定义概率的统计定义：当试验次数：当试验次数n n增大时，增大时， 频率逐渐趋频率逐渐趋向一个稳定值向一个稳定值p p，称此常数，称此常数p p为事件为事件A A的概率的概率, , 记作记作P P( (A A) )。概率的统计定义并非严格的数学上的定义概率的统计定义并非严格的数

7、学上的定义, , 而只是大而只是大数定律的一个描述数定律的一个描述. .实际应用时实际应用时, ,我们只能得到不稳定的频率我们只能得到不稳定的频率( (概率的近似概率的近似值值),),而无法获得准确的频率稳定值而无法获得准确的频率稳定值p p。1.2.21.2.2概率的公理化定义注意到概率统计定义和频率定义都具有非负性、正则性、注意到概率统计定义和频率定义都具有非负性、正则性、可加性。可加性。 1933年年,前苏联数学家前苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫通过规定通过规定概率应具备的基本性质给出概率的公理化定义。概率应具备的基本性质给出概率的公理化定义。定义定义:设试验设试验E的样本空间为的样

8、本空间为,对于试验对于试验E 的每一个事件的每一个事件A ,即对于样本空间即对于样本空间的每一个子集的每一个子集A,都赋予一个实数都赋予一个实数P(A),若若P(A)满足下面满足下面3条公理：条公理：公理公理1:对任何事件对任何事件A,有有P(A)0。 (非负性非负性)公理公理2:对于必然事件对于必然事件, P()= 1。(正则性正则性)公理公理3:对于任意可列个对于任意可列个互不相容事件互不相容事件A1,A2,An, , 满足满足P(Ai)= P(Ai)。(可列可加性可列可加性)则称实数则称实数P(A)为事件为事件A的概率。的概率。1.2.31.2.3概率的性质性质性质1 1: :不可能事件

9、不可能事件的概率等于的概率等于0,0,即即P P( ()=0)=0性质性质2 2: :任意有限个互不相容事件任意有限个互不相容事件A A1 1, ,A A2 2,A An n, ,之和的概之和的概率率, ,等于它们概率的和等于它们概率的和, , 即即P P( (A Ai i)= )= P P( (A Ai i) ) ( (i i=1,2,=1,2,n n). (). (有限可加性有限可加性) )特例特例: : 若若ABAB= =, ,则有则有P P( (A A+ +B B)=)=P P( (A A) +) +P P( (B B) )性质性质3 3: :若若A A1 1, ,A A2 2,A A

10、n n,构成一个完备事件组构成一个完备事件组, , 则有则有P P( (A Ai i) =1) =1; ;特别特别: : P P( ( ) =1 ) =1 - -P P( (A A) )。性质性质4 4: :若若B B A A, ,则有则有(1)(1)P P( (B B- -A A)=)=P P( (B B) ) - -P P( (A A) ) (2) (2) P P( (B B)P P( (A A) )性质性质5 5: :对于对于任意任意两个事件两个事件A A和和B B, ,有有P P( (A A+ +B B)= )= P P( (A A) +) +P P( (B B) )P P( (ABA

11、B) ), ,此公式称此公式称加法公式加法公式. .推广推广:(:(一般加法公式一般加法公式) ) 见教材见教材概率性质的证明（1）( (1): 1): = =+ + + +P P( ()= )= P P( (+ + + +)= +)= P P( () +P() +P()+ )+ P(P()+)+( (公理公理3 3可列可加性可列可加性) )0=P(0=P()+ P()+ P()+)+故故P()=0 (P()=0 (公理公理1 1 P P( ()0)0)(2): (2): A A1 1 + + A A2 2 + + + + A An n= = A A1 1 + + A A2 2 + + + +

12、 A An n+ + + + +P P( (A A1 1 + + A A2 2 + + + + A An n)= P()= P(A A1 1 + + A A2 2 + + + + A An n+ + + + +)+)= = P P( (A A1 1) ) + + P P( ( A A2 2) ) + + + + P P( (A An n) + ) + P P( () ) + P(+ P() + ) + 概率性质的证明（2）故故P P( (A Ai i)= )= P P( (A Ai i) () (i i=1,2,=1,2,n n) () (有限可加性有限可加性) )若若ABAB= =, ,则有

13、则有P P( (A A+ +B B)=)=P P( (A A)+)+P P( (B B) )(3):(3):A A1 1, ,A A2 2,A An n, , 构成一个完备事件组构成一个完备事件组, ,即它即它们互不相容们互不相容, ,且且 A Ai i= = . . 所以所以,P P( (A Ai i) = ) = P P( (A Ai i)= )= P P( ()= 1)= 1特别特别: : P P( ( )=1)=1- -P P( (A A) )(4)(4)将将B B 化为两个互不相容事件的和化为两个互不相容事件的和后后, ,用性质用性质2.2.B B= =ABAB+ + B B= =A

14、 A+ + B B, , A A和和 B B互不相容事件互不相容事件P P ( (B B)= )= P P( (A A+ + B B) = ) = P P( (A A) + ) + P P( ( B B) )P P( ( B B) = ) = P P( (B B) ) P P( (A A) ) i.e. i.e. P P( (B BA A)=)=P P( (B B) )P P( (A A) )概率性质的证明（3）P P( (B B)= )= P P( (A A+ + B B)= )= P P( (A A) + ) + P P( ( B B)P P( (A A) .) .(5):(5):思路思路

15、: :利用两个互不相容事件和的公式利用两个互不相容事件和的公式A A+ +B B= =A A+(+(B BABAB) )（利用图形直观理解利用图形直观理解! !）P P( (A A+ +B B)=)=P P( (A A+(+(B B- -ABAB)=)=P P( (A A)+)+P P( (B B- -ABAB)=)=P P( (A A)+)+P P( (B B) )- -P P( (ABAB)B(4)AAB(5)() 1()()()()()(52111111nnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般加法公式的推广：性质例题与解答例例1: P(AB)=0.1,

16、P(A)=0.6 求：求：1、P(B-A） 2、 P(A-B）3、 P(B) 4 、P(A+B) B) ()0.15P AB 解：解：()(1()( )()()( )()1( )()1 0.60.150 5).2AABABP BAP BAAA BBP AP ABP ABP AP ABP AP AB 、()( )()()()()( )()0.60.10.5AA BBP AP ABP ABPAABAABP ABP AP ABB 2、例题与解答3()( )()()0.250.10.35BB AAP BPBBABABAABP 、40.60350.10.()(85()1()1()()(10.1505).

17、8P ABP AP ABP APAPPABBBB、或1.2.41.2.4古典概型有一类简单的随机试验具有以下特点有一类简单的随机试验具有以下特点: :1 1、试验的所有基本事件总数有限、试验的所有基本事件总数有限;(;(有限性有限性) )2 2、每次试验中、每次试验中, ,各基本事件出现的可能性完全相各基本事件出现的可能性完全相同。同。( (等可能性等可能性) )具这两个特点的试验称为具这两个特点的试验称为古典概型试验古典概型试验。确定一个随机现象的每个基本事件是等可能的，确定一个随机现象的每个基本事件是等可能的，常凭经验和事实进行逻辑分析。常凭经验和事实进行逻辑分析。在古典概型的试验中在古典

18、概型的试验中, , 如果总共有如果总共有n n个可能的个可能的试验结果试验结果, , 因此每个基本事件发生的概率为因此每个基本事件发生的概率为1/1/n n, , 如果事件如果事件A A包含有包含有m m个基本事件个基本事件, , 则事件则事件A A发生的发生的概率则为概率则为m m/ /n n.古典概型的概率定义若若试验结果试验结果一共由一共由n n个基本事件个基本事件E E1 1, ,E E2 2,E En n组成组成, , 并并且这些事件的出现具有且这些事件的出现具有相同的可能性相同的可能性, , 而而事件事件A A由其由其中某中某m m个基本事件个基本事件E E1 1, ,E E2 2

19、,E Em m组成组成, , 则事件则事件A A的概率可的概率可以用下式计算以用下式计算: :( )AmP An有利于 的基本事件数试验的基本事件总数这种确定概率的方法是概率论发展初期的主要这种确定概率的方法是概率论发展初期的主要方法，故所得概率称为古典概率。它满足概率公理方法，故所得概率称为古典概率。它满足概率公理化定义中的公理化定义中的公理1 1和公理和公理2 2。古典概型举例例如例如: :掷一枚硬币的试验掷一枚硬币的试验, , 基本事件为正面和反基本事件为正面和反面面, , 而且由于硬币的对称性而且由于硬币的对称性, , 因此出现正面和因此出现正面和反面的概率一样反面的概率一样, , 都

20、是都是1/2.1/2.掷一次骰子的试验掷一次骰子的试验, , 基本事件有基本事件有6 6个个, , 因此每个因此每个基本事件的概率为基本事件的概率为1/6, 1/6, 则则PP奇数点奇数点=3/6=1/2, =3/6=1/2, PP小于小于3=P1,2=2/6=1/33=P1,2=2/6=1/3等等等等. .古典概型举例例例2. 2. 两封信随机地向标号为两封信随机地向标号为1,2,3,41,2,3,4的的4 4个邮筒个邮筒投寄投寄, ,求（求（1 1）第二个邮筒恰好被投入）第二个邮筒恰好被投入1 1封信的概封信的概率；（率；（2 2）前两个邮筒中各有一封信的概率）前两个邮筒中各有一封信的概率

21、. .解：设事件解：设事件A A=第二个邮筒恰有一封信第二个邮筒恰有一封信 事件事件B B=前两个邮筒中各有一封信前两个邮筒中各有一封信 两封信投入两封信投入4 4个邮筒共有个邮筒共有4 4 4 4种投法种投法, , 而组而组成事件成事件A A的投法有的投法有2 2 3 3种种, , 组成事件组成事件B B的投法则的投法则只有只有2 2种种, , 因此因此P P( (A A)=)=6 6/16=3/8/16=3/8P P( (B B)=2/16=1/8)=2/16=1/8古典概型举例例例3 50个产品中有个产品中有46个合格品与个合格品与4个废品个废品, 从中一次抽从中一次抽取取3个个, 求其

22、中有废品的概率。求其中有废品的概率。解：解： 设事件设事件A表示取到的表示取到的3个中有废品，个中有废品， 则事件则事件A的的逆为取到的逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些，个产品中没有废品更好计算一些， 因此因此有有2255.07745.01)(1)(7745.09807592491011323484950444546)(350346APAPCCAP古典概型举例例例4 4 假设有假设有100件产品，其中有件产品，其中有60件一等品，件一等品，30件二等件二等品，品，10件三等品，从中一次随机地抽取件三等品，从中一次随机地抽取2件，求恰好件，求恰好抽到抽到m件件(m=0,1,2)一等品的概

23、率。一等品的概率。解：解： 设事件设事件mA 两件中有两件中有m件件一等品一等品 ，m=0,1,2;m=0,1,2;实验的基本事件总数为实验的基本事件总数为2100C个，个， 而有利于而有利于mA的基本的基本事件数是事件数是26040mmC C个，个，所以有所以有21140604001221001002616(),(),16533CC CP AP ACC2602210059().165CP AC古典概型举例例例5. 5. 在例在例4 4中产品组成不变，如果每次随机地抽取一中产品组成不变，如果每次随机地抽取一件，连续两次，求两次取到的产品等级相同的概率。件，连续两次，求两次取到的产品等级相同的概

24、率。解：解：设事件设事件iB 取到两个取到两个等品等品 ，i1,2,3;i B 取到的两个产品等级相同取到的两个产品等级相同 ，显然，显然，123,B B B互不相容，且互不相容，且123;BBBB按抽取方式的不同可分为两种情况计算：按抽取方式的不同可分为两种情况计算：古典概型举例1. 1. 重复抽样重复抽样( (有放回抽样有放回抽样).).2212226030()0.36;()0.09;100100P BP B23210()0.01;100P B根据概率的可加性，得根据概率的可加性，得3311( )()()0.390.090.010.46iiiiP BPBP B古典概型举例2. 2. 不重复

25、抽样不重复抽样( (无放回抽样无放回抽样).).12360 595930 2929();();100 99165100 9933010 91();100 99110P BP BP B根据概率的可加性，得根据概率的可加性，得3311592915( )()().16533011011iiiiP BPBP B课堂练习1 1、小王参加“智力大冲浪”游戏、小王参加“智力大冲浪”游戏, , 他他能答出甲、乙二类问题的概率分别为能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.70.7和和0.2, 0.2, 两类问题都能答出的概率为两类问题都能答出的概率为0.1. 0.1. 求小王求小王(1)(1)答出甲类而答不出乙类问

26、题的答出甲类而答不出乙类问题的概率概率(2)(2)至少有一类问题能答出的概率至少有一类问题能答出的概率(3)(3)两类问题都答不出的概率两类问题都答不出的概率设有设有k k个个不同的球不同的球, , 每个每个球等可能地落入球等可能地落入N N个盒子中（个盒子中（）, , 设设每个盒子容球数无限每个盒子容球数无限, , 求下列事件的概率求下列事件的概率: :Nk （1 1）某指定某指定的的k k个盒子中各有一球；个盒子中各有一球；（4 4）恰有恰有k k个盒子个盒子中各有一球；中各有一球；（3 3）某指定的一个盒子没有球；）某指定的一个盒子没有球；km （2 2）某指定的一个盒子恰有）某指定的一

27、个盒子恰有m m个球个球( )（5 5）至少至少有两个球在同一盒子中；有两个球在同一盒子中；（6 6）每个盒子每个盒子至多至多有一个球有一个球. .2 2（分房模型）（分房模型）课堂练习课堂练习解答1 1解事件解事件A , BA , B分别表示“能答出甲分别表示“能答出甲, ,乙类问题乙类问题”（1 1）（2 2）（3 3）解解2 2kNn 设设(1(1）(6)(6)的各事件分别为的各事件分别为61AA 则则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP) 1()(3kmkmkNNCAP) 1()(2kkNkNkCNAP!)(541()P A kANm) 1(3mkm

28、kANCm) 1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAP30上例是典型的古典概型之一上例是典型的古典概型之一-“分球入室问题分球入室问题”，”，或称为或称为“分房问题”“分房问题”许多表面上提法不同的问题，实际上是属于同一类型。解题许多表面上提法不同的问题，实际上是属于同一类型。解题时抓住问题“实质”，理解“模型”对解题非常重要。时抓住问题“实质”，理解“模型”对解题非常重要。如：如：有有n个人随机的分配在个人随机的分配在N间房中（房内人数不限）；间房中（房内人数不限）；有有n封信随机的投放在封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；个信筒中（筒内信数不限

29、）；有有n个人的生日问题（每个人生日是个人的生日问题（每个人生日是365365天之一）等问题天之一）等问题。即即球球盒盒信信信筒信筒（信纸）（信纸）（信封）（信封）人人房房人人生日生日视为方法动态求求n n 个人中至少有两人生日相同的概率。个人中至少有两人生日相同的概率。看成看成n n 个球放入个球放入N N=365=365个盒子中。个盒子中。P( (至少两人生日相同至少两人生日相同)=1)=1 P(生日全不相同生日全不相同)用模型得用模型得：pn= P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=365!1365 (365)!nn生日问题p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9

30、651, p60=0.9922 几何概型如试验具备以下条件如试验具备以下条件: :(1)(1)样本空间样本空间中的样本点充满某个几何区域，中的样本点充满某个几何区域，这个区域的大小可以度量（这个区域的大小可以度量（长度、面积长度、面积、体积）、体积）（2 2）任意一个样本点在区域）任意一个样本点在区域内任意一个点处都内任意一个点处都是“等可能的”，即是“等可能的”，即落在子区域落在子区域A A内的可能性与内的可能性与A A的度量的度量m(A)m(A)成正比，与成正比，与A A 的位置和形状无关。的位置和形状无关。若事件若事件A A为“本点落在子区域为“本点落在子区域A A内”，则事件内”，则事

31、件A A的的概率为概率为P(A)=m(A)/m()这种概率称之为这种概率称之为几何概率几何概率。几何概率举例例：两船欲停同一码头两船欲停同一码头, , 两船在一昼夜内两船在一昼夜内独立独立随机地到达码头随机地到达码头. .若若两船到达后需在两船到达后需在码头停留的时间分别是码头停留的时间分别是 1 1 小时与小时与 2 2 小小 时，时，试求在一昼夜内，任一船到达时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要需要等等待空出码头的概率。待空出码头的概率。解解设船设船1 1 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为x , x , 0 0 x x 24 24船船2 2 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为y y, 0 , 0 y y 24 24设事件设事件A A表示任一船到达码头时需要等待表示任一船到达码头时需要等待空出码头空出码头xy2424y = x224S22222321AS1207. 01)(SSAPA240 ,240),(yxyx20, 10,),(),(yxxyyxyxA作作 业业习题 1.2（2）（4）