2022年多元函数的概念教案-山西大同大学.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第八章 多元函数 8.1 多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数,有二个独立的自变量的函数称为二元函 数,有三个独立的自变量的函数称为三元函数, ,自变量有 n 一个的函数就称为 n元函数,二元及二元以上的函数统称为多元函数；以前所学的函数都是一元函数, 但是在实际问题中, 所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个,有的是两个,甚至更多；例如,一个圆锥体的体积V1r2h,3它有两个独立的变量r 、 h ；为此,就需要进一步争论自变量为两个,或者更多情形下的多元函数；本节以二个独立的变量为基础,第一给出二元函数的概念；1二元函数的概念定义

2、 设有两个独立的变量x 与 y 在肯定范畴 D 内取值,任取一组数值时,第三个变量 z 就以某一确定的法就有唯独确定的值与其对应,那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数；记作其中 x 与 y 称为自变量,函数zfx,yx与 y 取值范畴称为函数的定义z称为因变量,自变量域,一般记为 D ；二元函数在点x 0y 0所取得的函数值记作fx 0y0zx yx 0y 0,zx 0y 0或类似地,可定义二元函数、四元函数、2二元函数的定义域, 、 n 元函数等多元函数；与一元函数相同, 打算二元函数的要素仍旧是定义域和对应法就；那么,二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范畴；名师归纳总

3、结 - - - - - - -第 1 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间,二元函数的定义域可以是整个 xy 坐标平面,可以是一条曲线,仍可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面；整个 xy 坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域,围成区域的曲线称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内的区域称为闭区域,不包括边界在内的区域称为开区域；开区域内的点称为内点；假如一个区域 D 开域或闭域 中任意两点之间的距离都不超过某一常数M ,就称D 为有界区域,即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心,适当长为半

4、径的圆内；否就称 D 为无界区域；犹如区间可用不等式表示一样, 区域也可以用不等式或不等式组来表示；区域 Da x b c y d通常表示为 或 两种形式,前者称为 X 型区域,后y 1 x y y 2 x x 1 y x x 2 y 者称为 Y 型区域；最简洁的区域有矩形域 D x , y : a x b , c y d 和圆形域2 2D x , y : x y r ,如图 81 所示；例 1 求 z x y 的定义域解该函数的定义域为Dx ,y :x2y,y0图 8 1例 2 求以下函数的定义域D ,并画出 D 的图形；即（1）zarcsinxarcsiny11有意义,就需x1,第 2 页

5、,共 31 页23（2）z4x2y2x2y2解 （1）要使得zarcsinxarcsiny2y1232x233y3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故函数的定义域Dx,y:2x2,3y3,此区域是一个矩形域；（2）要使得z4x2y2y2x2121有意义,就需y4x2y20即1x 2124y24,此区域是一个圆环；x2y210xDx ,y :故函数的定义域3二元函数的几何说明P x , y 是二元函数 z f x , y 定义域 D 内的任意一点,就相应的函数值是z f x , y ,有序数组 x , y , z 确定了空间一点 M x ,

6、 y , z ,当 P 在 D 内变动时,对应的点 M 就在空间变动,即对应 P 点的轨迹就是函数 z f x , y 的几何图形,它通常是一张曲面,其定义域 D 就是此曲面在 xoy 平面上的投影；因此,二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面； 8.2 二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似,对于二元函数 z f x , y 同样可以争论当自变量 x 与 y趋向于有限数值 0x 与 0y 时,函数 z 的变化趋势,即二元函数的极限；x 、y趋 于 0x 、y 可 看 作 成 点 P x , y 趋 向 点 P 0 x 0 , y 0 , 记 作 P P 0 或 x

7、, y x 0y 0 ；如 PP 0, 即 PP 0 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2, 就 0 就 可 表 示名师归纳总结 第 3 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x,yx0y0；在平面 xoy上, x , y 趋于 x 0y 0 的方式可以时多种多样的,因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多；假如定义于 x 0y 0 的某一去心邻域的一个二元函数f x , y 与一个确定的常数 A ,当点 x , y 以任意方式趋向点 x 0y 0 时,f x , y 总是趋向于一个确定的常数 A ,那么就称 A 是二元函数 f x

8、 , y 当 x , y x 0y 0 时的极限；为了区分于一元函数的极限,就把二元函数的极限叫做二重极限定义 1 设函数 z f x , y 在点 P 0 x 0 , y 0 的某一邻域内有定义（点 P 0 x 0 , y 0 除外）,如点 P x , y 无限地趋于点 P 0 x 0 , y 0 时,恒有 f P A（是任意小的正数）,就称 A 为函数 z f x , y 当 x , y x 0y 0 时的二重极限,记为 x , y lim x 0 , y 0 f x , y A 或P lim P 0 f x , y A；用语言严格给出定义 1 的二重极限的定义如下定义 2 对任意给定的正

9、数,无论怎样小,总存在一正数,当满意2 2 2 20 x x 0 y y 0 z z 0 的一切 x , y 恒有f P A成立,就常数 A 称为函数 f x , y 当 x , y x 0y 0 时的二重极限；例 1 函数 f x , y x 2 xyy 2 , x2 2y2 20,0 x y 0当 P x , y 沿 x轴趋于 0,0 时,即 y 0,x 0, x , y lim 0 0, x 2 xyy 2 x , y lim 0 0, x 2 x 00 2 0当 P x , y 沿y轴趋于 0,0 时,即 x 0,y 0, x , y lim ,0 0 x 2 xyy 2 x , y

10、lim 0 , 0 x 02 yy 2 0名师归纳总结 第 4 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当P x ,y 沿着ykx直线趋于 0 0, 时,x ,y lim ,00x2xy2x,y lim ,00x22 kxx21k2,yk2k随着 k 的取值不同,1 kk 2 的值不同,所以 lim 0 , 0 x 2 xyy 2 不存在；注 一元函数 y f x 的极限,点 x 只沿 x 轴趋于 0,但二元函数的极限要求点P x , y 沿以任意方式趋向点 x 0y 0 ,如 P x , y 沿 x 轴或沿 y 轴或沿平行与坐标轴的直线或沿

11、某一条曲线趋于 x 0y 0 时的极限都存在,也不能确定它的极限不存在；二、二重极限的运算法就正像一元函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法就当x ,yx0y0时,fx ,yA,gx ,yB就y21001fx,ygx,yAB2fx,ygx ,yAB3fx,yA,其中B0gx,yB2 y2 x例 2求极限x,y lim 0,01xcos x2x ey222y22y解x ,l i my 0 0,12 c o s2 yx ,l i my ,0 0 12 c o s2 xy2x 2 ey 22 x2 y2 x e2y22三、二元函数的连续性像一元函数一样,可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1二

12、元函数连续的概念名师归纳总结 定义 1 假如当点x ,y 趋向点x 0y 0时,函数fx,y 的二重极限等于fx ,y在第 5 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点x0y 0处的函数值fx0y0,就称函数fx,y在点x 0y 0处连续；假如fx ,y在区域 D 的每一点都连续,那末称它在区域 D 连续；二元连续函数的和,差,积,商 多元初等函数在其定义区域内是连续的分母不为零）和复合函数仍是连续函数；一切（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四就运算和复合运算得到的可用一个式子表示 的多元函数）；x,y

13、假如二元函数连续,又x 0y0在其定义域 D 内时,当在定义域D 内求函数在x0y0的极限,可把用直接代入运算二元函数在点x0y0的函数值,即为其极限；例 3x求极限x,y lim ,002cosx2y2023x2y21解,limy 0,022 c o s y222 c o s x2y21020212多元函数连续性的性质性质（有界性及最大值与最小值定理）1 在有界的闭区域D 上的多元连续函数,必定在 D 上有界,且取得最大值与最小值；性质（介值定理） 2 在有界的闭区域最小值之间的任何值；D 上的多元连续函数必取得介于最大值和性质（一样连续性定理） 3 在有界的闭区域 D 上的多元连续函数,必

14、定在 致连续性；D 上一3二元函数间断性是f定义 2 假如函数zfx ,y在x 0y0不满意连续的定义,那末我们就称x 0y 0x,y 的一个间断点；二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似,元函数复杂,它除了有间断点,仍有间断线；但是二元函数间断的情形要比一名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 求函数zsin1的间断线xy解x0与y0都是函数zsin1的间断线；xy 8.3 偏导数在一元函数中,导数就是函数的变化率； 对于二元函数同样要争论它的 “ 变化率” ；然而,由于自变量多了一个,情形就要复杂的多；在x

15、oy 平面内, 当变点由x 0y0沿不同方向变化时, 函数fx,y的变化快慢一般说来时不同的, 因此就需要争论fx,y在x0y 0点处沿不同方向的变化率；一、偏导数的概念如点x,y只沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时, 函数fx,y有变化率；就其变化率叫做偏导数；1函数在点的偏导数定义 1 设有二元函数 z f x , y ,点 x 0y 0 是其定义域 D 内一点,把 y 固定在0y ,而让 x 在 0x 有增量 x ,相应地函数 z f x , y 有增量 称为对 x 的偏增量 x z f x 0 x , y 0 f x 0 , y 0 假如 x z 与 x 之比当 x

16、0 时的极限存在,就此极限值称为函数 z f x , y 在 x 0y 0 处对 x 的偏导数,记作名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - f xx 0y0或fx 0 y 0x注函数 z f x , y 在 x 0y 0 处对 x 的偏导数,是把 y 固定在 y ,实际上就是把 y看成常数后,二元函数的偏导数就转化为一元函数 z f x , y 0 在 0x 处的导数；同样,把 x 固定在 0x ,让 y 有增量 y ,假如极限存在,就此极限称为函数 z f x , y 在 x 0y 0 处对 y 的偏导数,记作f yx

17、 0y0或fx 0y 0y2函数的偏导函数当函数 z f x , y 在 x 0y 0 的两个偏导数 f x 0y 0 与 f x 0y 0 都存在时,就称x yf x , y 在 x 0y 0 处可导；假如函数 f x , y 在域 D 的每一点均可导,那末称函数f x , y 在域 D 可导；此时,对应于域 D 的每一点 x , y ,必有一个对 x 对 y 的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f x , y 对 x 对 y 的偏导函数；简称偏导数；定义 2假如函数zfx ,y 在区域 D 内每一点x ,y 处对 x 的偏导数都存在, 且是x、 的函数,就称它为函数zfx

18、 ,y对自变量 x的偏导函数,简称为偏导数,记作z,f,xz或f xx,yxxzfx ,y 对自变量y 的偏导函数,记作z,f,zy或类似地,可以定义函数yy名师归纳总结 第 8 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f yx,y 3偏导数的求法求 f 时,只要把其它自变量看成常数而对 x求导数即可；求 f 时,只要把其它 x y自变量看成常数,对 y 求导数即可；这是因在求偏导数时只有一个变量在变,其它变量固定的缘由,故可按一元函数的求导方法求之；例 1 求zx2siny的偏导数xsinyy解把 y 看作常量对 x 求导数,得z2x把 x

19、 看作常量对 y 求导数,得z yx2cos例 2 求ux2y2xy的偏导数；z解依据二元函数的偏导数的求法来做；名师归纳总结 把 y 和 z 看成常量对 x 求导,得uxy. 2第 9 页,共 31 页xx2y2z把 x 和 z看成常量对 y 求导,得uyxyx2y2z把 x 和 y 看成常量对 z 求导,得uxyzz2例 3 求函数zx23xy2y2在点21, 处的两个偏导数解 z2x3y,z3x4yxy21,3241z21, 22311,zxy例 4设zxy x0 ,求证- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xz1xz2zyxlny证明zyxy1,z

20、xy lnx0xxyxz1xzxyxy1+1xxy lnxxyxy2z例 5yxlnyyln设ux2y2z2,求证u2z2u21证明xyzu2x212z2x2y2z2xx2x2z2xyyu同理uy,uzyuzuu2z2u2x2y2z21例 6xyzuz 与 x 、 z 与 y函数fx ,y 2 x,0xyy2,x2y20,求xf ,0 0 和yf,0 0 2 xy20解fx,00 lim x0xzlim x0f0x,0f0 ,0lim x000xxx同理yf0 0, 0注（1）偏导数符号z 、xz 是一个整体的记号,不能认为是 y的商；（2）函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值名师归纳总

21、结 （3）对二元函数zfx,y在x0y 0处的偏导数存在, 但不能保证函数在第 10 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 该点的极限存在,如例 6；（4）二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数；（ 5）函数在某点处两个偏导数都存在,但函数不肯定可微连续；如fx ,y2 x,0xyy2,x2y20在点0,0 处的两个偏导数都存在,但函数点0, 0处不连x2y20续；4导数的几何意义设M0x 0 ,y 0,fx 0 ,y 0为曲面zfx,y上的一点,过M 作平面 0y0y,截此曲面得一条曲线,此曲线在平面yy 0上的方程为zf

22、x ,0y,就导数dfx ,y 0xx0,即二元dx函数zfx ,y 在点x 0 y 0 处对 x的偏导数f xx 0 y 0 的几何意义就是这曲线在点M处的切线对 x轴的斜率；同样地,偏导数 0fyx 0y 0 的几何意义就是这曲线在点二、高阶偏导数M处的切线对 y 轴的斜率；0设函数 z f x , y 在区域 D 内具有偏导数 z f x , y ,z f x , y ,那么在 D 内x x y yf x x , y 、f y x , y 都是 x、 的函数,如这两个偏导函数的偏导函数也存在,就称它们的偏导数是函数 z f x , y 二阶偏导数；即假如二元函数 z f x , y 的偏

23、导数 f x x , y 与f y x , y 仍旧可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z f x , y 的二阶偏导数；二元函数的二阶偏导数有四个名师归纳总结 xz2zfxxx ,y ；第 11 页,共 31 页xx2yz x2zfxyx,y；xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xz2zfyxx ,y；yyxyz2zfyyx,y. yy2其中其次、三两个偏导数称为混合偏导数；类似地,可定义三阶、四阶、, 、以及 n 阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数就称为高阶偏导数,而把 f x x , y 与 f y x , y 称为一阶偏导数；2 2定理 假如

24、函数 z f x , y 的两个混合偏导数 z 与 z 在区域 D 内连续,那么在y x x y该区域内这两个二阶混合偏导数必相等；注（1）该定理说明,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关；（2）f xy x , y 与 f yx x , y 的区分在于：前者是先对 x求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对y 求偏导再对 x 求偏导解例 7 求函数zx3y3x2y3的二阶偏导数 . 18xy22z2z6xy6y32zy,2z3x2,18x 222yxyxyx 8.4 全微分 我们已经学习了一元函数的微分的概念了,现在用类似的思想方法来学习多元函数的全增量,从而把微分的

25、概念推广到多元函数；1全微分的概念这里我们以二元函数为例；名师归纳总结 定义 假如二元函数zfx ,y 在点x0y0处的全增量z可以表示为第 12 页,共 31 页zxByA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 A 、 B 与x 、y 无关的常数,是x2y2的高阶无穷小,即lim 00,就称AxByx ,y 在为函数zfx ,y在点x0y0处的全微分,记为dz ；即dzAxBy此时称函数zfx ,y 在点x 0y0处可微；如函数zfx ,y 在区域 D 内每一点都可微,就称函数zfx ,y 在区域 D 内可微；定理 1（可微的必要条件）假如函数zfx

26、 ,y在点x0y0处可微, 就函数zf点x0y0处偏导数z 、xz 存在,且 yAzx 0,y 0,Bzx0,y0xy第 13 页,共 31 页证明由于函数zfx ,y 在点x0y0处可微,就函数的全增量为zAxBy其中 A 、 B 与x 、y 无关,lim 00（lim 00）当y0时,函数对 x 的偏增量为xzAx此时x ,于是有lim x0xzlim x0Alim 0xAx名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故Azx 0 y 0x同理Bzx 0y 0zfx ,y在点x 0y0处可微时,就zfx ,y 在点x 0y0的y由定理 1 可知

27、,函数dzzx 0,y0xzx 0,y 0y规定xdx ,ydyxy,分别称为自变量x 、 y 的微分,就函数全微分为函数zfx ,y的全微分为dzzx0,y 0dxz,y 0dyxyx 0dzzdxz ydyx2可微肯定连续如函数zfx ,y 在点x 0y0处可微,所以ByzAx且lim 00（lim 00）就名师归纳总结 故函数zfx ,y 在点lim xy0 0zlim x 0y 0AxBylim 0z0x ,y在点x0y0处连续；x 0y0处连续；定理 2 假如函数zfx ,y 在点x0y0处可微,就函数f第 14 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

28、 - - - - - 例 1 fx ,yx2xyy2,x2y20fx 0 , 0 fy,00 00 ,x2y20limx 0y 0fx,y不存在,即fx,y均存在,但fx,y在0 ,0 点不行微,且在00,点不连续；x2y2,这是上半圆锥,明显在0 ,0 点连续,例 2 fx,ylim x 0y 0fx,y0f,00 但故xf0,0 fx 0, f 0 0, 2 x|x|,1,1x,00 ,0 点不行微（否就,x0xxxfxy在不存在；由x,y的对称性,yf 0 , 0 不存在；从而,xf 0 0, ,yf,0 0 均存在）；3可微与可导的关系一元函数在某点导数存在是微分存在的充分必要条件,但

29、对于多元函数就不同；当函数的各偏导数都存在时, 虽然能形式地写成zxzy,但它与z之差并不肯定是较高阶的无穷小,xy由于它不肯定是函数的全微分；即各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件；定理 1 也说明白函数可微,就函数在某点处两个偏导数都存在；但反之不成立,即函数在某点处的两个偏导数都存在,但函数不肯定可微；如fx ,y 2 x,0xyy2,2 xy20在点,00处的x2y20两个偏导数都存在,但函数点 0, 0处不行微；这是与一元函数的区分（一元函数可微与可导是等价的）；名师归纳总结 例 3：fx ,yx2y2sinx21y2,x2y20第 15 页,共 31 页0 ,x2y20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx,0 0 lim x 0fx , 0 xf,0 0 lim x 0x2sin10,由x,y的对称性,yf 0 0, 0；x2xfx,yf0 ,0fx0,0xfy00,yx2y2sinx 21y2（xy0 0）0,点x2y22 xy2x2y2sinx21y20y故fxx ,在0,y在0 0,点可微；且df,00 f x0 0, dxf y,0 0 dy0f xx ,y2xsinx21y2x22xy2cosx21y2,x2y20取点列0,x2y20P nx n,y