2012届高考第二轮复习数学学案：专题四_数列_第1讲_等差数列、等比数列.doc

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1、金太阳新课标资源网 第1讲等差数列、等比数列1（2011陕西高考，文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A和 B和 C和 D和2（2011广东高考，文11）已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_3（2010重庆高考，文2）在等差数列an中，a1a910，则a5的值为（）A5 B6C8 D10对等差、等比数列的概念与性质及其运用的考查，多以选择、填空题的形式出现，突出“小巧

2、、灵活、善变”的特点，在高考题中，数列常常与函数、不等式、三角、解析几何、概率、充要条件相结合，在知识交汇处命题以考查等差中项、等比中项、单调性等性质为主热点一等差、等比数列的判定与证明判断一个数列是否为等差（等比）数列或证明一个数列是等差（等比）数列，最基本的方法是根据等差（等比）数列的定义，另外，还可使用中项公式，通项公式，或者前n项和公式等；若已知数列的递推关系求通项时，常对递推关系变形，构造一个新的等差（等比）数列，从而进一步求原数列的通项公式，进而判断或证明【例1】 数列an的前n项和为Sn，若anSnn求证：数列an1是等比数列思路点拨：利用定义证为常数判定或证明数列an为等差数列

3、或等比数列的四种基本方法：（1）定义法：an1and（d为常数）an为等差数列；q（q为非零常数）an为等比数列（2）中项公式法：2an1anan2（nN*）an为等差数列；aanan2（an0，nN*）an为等比数列（3）通项公式法：anpnq（p，q为常数）an为等差数列；ancqn（c，q为非零常数，nN*）an为等比数列（4）前n项和公式法：Snan2bnc（a，b，c都是常数），c0an为等差数列；Snk（qn1），k为常数，且q0，1an为等比数列提醒：前两种方法是证明等差（等比）数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；若要判定一个数列不是等差（等比）数列，则只需判定

4、存在连续三项不成等差（等比）即可拓展延伸在数列an中，an1an2n44（nN*），a123是否存在常数使数列ann为等比数列，若存在，求出的值及数列的通项公式；若不存在，请说明理由热点二由递推公式到通项公式（1）通过递推关系求得数列类型（等差或等比），进而求得通项公式；（2）观察递推关系的特点，选择适当方法求得一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等【例2】 在数列an中，a11，an1an求数列an的通项公式思路点拨：由题意an1an，故可用累加法求an1已知Sn，求an可用分段函数an求解2累加法：数列递推关系形如an1anf（n），其中f（n）要可求和这种类型的数列求通项公式时，

5、常用累加法（叠加法）3累乘法：数列递推关系形如an1g（n）an，其中g（n）要可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法（叠乘法）4构造法：递推关系形如：（1）an1panq（p，q为常数），可化为an1p（p1）的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；（2）递推关系形如an1panqpn1（p，q为常数）可化为q（p1）的形式5数列递推关系形如an1pa（p，r为常数，且p0，an0），求通项公式时一般采用递推关系式两边取对数的方法6若ananT，则an为周期数列，周期为T（TN*），求an时可转化为求a1，a2，aT来处理拓展延伸 数列an的前n项和为Sn，且满足a11，Sn5an1求数列a

6、n的通项公式热点三等差、等比数列的基本运算（1）在等差（或等比）数列中，已知a1，n，d（或q），an，Sn五个量中任意三个，通过解方程（组）可求另外两个；（2）利用等差（或等比）数列的性质解题【例3】 在公差为d（d0）的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，a2b13，a5b2，a14b3，（1）求数列an与bn的通项公式；（2）令cnban，求数列的前n项和Tn思路点拨：（1）由等差、等比数列通项公式列方程组求an，bn；（2）构造新数列，利用等比数列求和公式求Tn有关等差、等比数列的计算问题常用到以下的基本性质：（1）等差数列的性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq

7、；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列；aman（mn）dd（m，nN*）；（A2n1，B2n1分别为an，bn的前2n1项和）（2）等比数列的性质若m，n，p，kN*，且mnpk，则amanapak；等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列；在等比数列an中，公比为q（q1），Sn是其前n项和，则数列Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，且公比为qn拓展延伸令例3（2）中的cnabn（其他条件不变），求其前n项和Qn1不注意“数列”是“特殊的函数”致误数列是特殊的函数，可以用动态的函数的观点研究数列，但必须时刻注意其“特殊”性，即定义域为nN*如数列an，其通项ann

8、23n22的最小值为0（n1或n2），而不是2等比数列前n项和公式中一定要考虑公式适用条件q1或q1，否则导致失误，若q1，则Snna1；若q1，则Sn3对数列的递推关系转化不当致误解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化，掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率递推关系形如an1qanp，可用待定系数法：an1q（an）；递推关系形如an1，可用取倒数法；观察法，如an122an2参考答案考场传真1D解析：设小树放在第i个坑旁边，所走路程之和为f（i）由于每两坑之间相距10米，且每个学生所走路程为往返，所以，当i分别等于1,20,9,10,11时的路程之和分别为：f（1

9、）20102019023 800（米），f（20）21901802010023 800（米），f（9）2807060100102011022 040（米），f（10）2908070100102010022 000（米），f（11）21009010010209022 000（米）比较可得，最小的是f（10），f（11）22设an的公比为q，则a4a2q2，a3a2q.a4a3a2q2a2q4，又a22，得q2q20，解得q2或q1.又an为递增数列，则q2.3A解析：因为a1a92a5，所以a55.核心攻略【例1】 证明：a1S1，anSnn，a1S11，得a1.又an1Sn1n1，两式相减，得

10、2（an11）an1，即，故数列an1是以为首项，为公比的等比数列拓展延伸解：假设an1（n1）（ann）成立，整理得an1an2n12，与an1an2n44比较得.数列ann是以为首项，1为公比的等比数列故ann（1）n1，即ann（1）n1.【例2】 解：由an1an，得n2时，anan1，an1an2，a3a2，a2a11，a11.累加得an112（n2），当n1时，a1也适合上式，an.拓展延伸解：Sn5an1，an1Sn.an1anSnSn1an（n2）an1an（n2）又a11，S11.a2S11.数列的通项公式为an【例3】 解：（1）由条件得an2n1，bn3n.（2）由（1）得cnbanb2n132n1.9，c13，cn是首项为3，公比为9的等比数列Tn（9n1）拓展延伸解：由（1）得cnabna3n23n1.Qnc1c2cn2（3323n）n2n3n1n3.第 5 页 共 5 页 金太阳新课标资源网