近世代数练习学习题题库-.doc

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1、|1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设 与 都是非空集合，那么 。 （ ）ABBAxB且1.2 AB = BA （ ）1.3 只要 是 到 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 。 （ ）f 1f1.4 如果 是 A到 的一一映射,则 (a)=a。( )1.5 集合 A到 B的可逆映射一定是 A到 B的双射。 （ ）1.6 设 、 、 都是非空集合，则 到 的每个映射都叫作二元运算。 （ ）DD1.7 在整数集 Z上，定义“ ”：a b=ab(a,bZ)，则“ ”是 Z的一个二元运算。 （ ）1.8 整数的整除关系是 Z的一个等价关系。( ) 2 填空题：2.1 若 A=0,1 , 则 AA

2、= _。2.2 设 A = 1，2，B = a，b，则 AB =_。2.3 设=1,2,3 B=a,b,则 A B=_。2.4 设 A=1,2, 则 AA=_。2.5 设集合 ； ，则有 1,02,B。2.6 如果 是 与 间的一一映射， 是 的一个元，则 f aAaf1。2.7 设 A =a 1, a2,a8 ，则 A上不同的二元运算共有 个。2.8 设 A、B 是集合，| A | B |3，则共可定义 个从 A到 B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2.9 设 A是 n元集，B 是 m元集，那么 A到 B的映射共有_个.2.10 设 A=a,b,c，则 A到 A的一一映射共有

3、_个. 2.11 设 A=a,b,c,d,e，则 A的一一变换共有_个.2.12 集合 的元间的关系叫做等价关系，如果适合下列三个条件：_。2.13 设 A =a , b, c ，那么 A的所有不同的等价关系的个数为_。2.14 设是集合 的元间的一个等价关系，它决定 的一个分类： 是两个等Aba,价类。则 _。b2.15 设集合 有一个分类，其中 与 是 的两个类，如果 ，那么AiAj ji_。jiA2.16 设 A =1, 2, 3, 4, 5, 6 ，规定 A的等价关系如下：a b 2|a-b，那么 A的所有不同的等价类是_ 。|2.17 设 M是实数域 R上的全体对称矩阵的集合，是 M

4、上的合同关系，则由给出 M的所有不同的等价类的个数是_。2.18 在数域 F上的所有 n阶方阵的集合 M （F）中，规定等价关系 AB 秩(A)=n :秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有_个。2.19 设 M100 (F)是数域 F上的所有 100阶方阵的集合,在 M100 (F)中规定等价关系如下：AB 秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_个。2.20 若 M=有理数域上的所有 3级方阵,A,BM,定义 AB秩(A)=秩(B),则由”确定的等价类有_个。3 证明题：3.1 设 是集合 A到 B的一个映射，对于 ，规定关系“”：Aba,证明：“”是 A的一个等价关系)(b

5、ab3.2 在复数集 C中规定关系“”： 证明：“”是 C的一个等价|关系 3.3 在 n阶矩阵的集合 中规定关系“”： 证明：“”)(FMn |BA是 的一个等价关系)(FM3.4 设“”是集合 A的一个关系，且满足：（1）对任意 ，有 ；（2）对aa任意 ，若 就有 证明：“”是 A的一个等价关系cba, ,cab3.5 设 G是一个群，在 G中规定关系“”： 存在于 ，使bGg得 证明： “”是 G 的一个等价关系g1第二章 群论1 判断题：2.1 群的定义.1.1 设非空集合 G关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；(B)a,b,cG，都有(ab)c=a(

6、bc)成立；(C) 存在 G，使得aG，都有 ea=a成立；(D)aG，都存在 aG，使得 aa=e成立。则 G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )|1.2 设非空集合 G关于一个乘法运算满足以下四条：A）G 对于这个乘法运算是封闭的；B） a,b,c G，都有（ab）c=a(bc)成立；C）存在 e G，使得 a G，都有 ae =a成立；r rD） a G，都存在 a G，使得 a a=e 成立。11r则 G关于这个乘法运算构成一个群。 （ ）1.3 设 G是一个非空集合,在 G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消

7、去律,则 G构成群。 ( )1.4 设 G是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则 G对所给的乘法构成一个群。( )1.5 实数集 R关于数的乘法成群。 （ ）1.6 若 G是一个 n阶群,aG,|a|表示 a的阶,则|a|。( ) 1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。1.8 设 Q为有理数集，在 Q上定义二元运算“ ”，a b=a+b+ab( ) ,(,Qba则构成一个群。 （ ）2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。 （ ）1.10 一

8、个集合 A的所有变换作成一个变换群 G.( )1.11 集合 A的所有的一一变换作成一个变换群。 （ ）1.12 素数阶群都是交换群。 （ ）1.13 p（p 为质数）阶群 G是循环群 （ ）1.14 素数阶的群 G一定是循环群.( )1.15 3次对称群 是循环群。 （ ）3S1.16 任意群都同构于一个变换群 （ ）1.17 有限群都同构于一个置换群。( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。 （ ）1.19 在 5次对称群 中，(15)(234)的阶是 6.( ) 5S1.20 在 4次对称群 S4中， （12） （324）的阶为 6。 （ ）1.21 在 中，(12)(345)

9、的阶是 3。 ( )51.22 任意有限群都与一个交换群同构。 （ ）1.23 因为 22阶群是交换群，所以 62阶群也为交换群。 （ ）1.24 6阶群是交换群。 （ ） 。1.25 4阶群一定是交换群。 （ ）1.26 4阶群一定是循环群。 （ ）1.27 循环群一定是交换群。 （ ）1.28 设 G是群，a, bG, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。 （ ）|1.29 14阶交换群一定是循环群。 （ ）1.30 如果循环群 中生成元 的阶是无限的，则 与整数加群同构。 （ ）aGG1.31 有理数加群 Q是循环群。 （ ）1.32 若一个循环群 G的生成元的个数为 2，则 G

10、为无限循环群。 （ ）2.3 子群、不变子群。1.33 若 H是群 G的一个非空子集，且 a,b H都有 ab H成立，则 H是 G的一个子群。 （ ）1.34 若 H是群 G的一个非空有限子集，且 a,b H都有 ab H成立，则 H是 G的一个子群。 （ ）1.35 循环群的子群也是循环群。 （ ）1.36 如果群 的子群 是循环群，那么 也是循环群。 （ ）G1.37 一个阶是 11的群只有两个子群。 （ ）1.38 有限群 中每个元素 的阶都整除群 的阶。 （ ）a1.39 设 G是一个 n阶群，m|n，则 G中一定有 m阶子群存在。 （ ）1.40 若 G是 60阶群,则 G有 14

11、阶子群。( )1.41 设 G是 60 阶群，则 G有 40阶子群。 （ ）1.42 阶为 100的群一定含 25阶元。 （ ）1.43 阶为 100的群一定含 25阶子群。 （ ）1.44 阶为 81的群 G中，一定含有 3阶元。 （ ）1.45 设 H是群 G的一个非空子集，则 。 （ ）HH11.46 设 H是群 G的一个非空子集，则 。 （ ）G1.47 群 的子群 是不变子群的充要条件为 。 （ ghg1;,）1.48 群 的一个子群 元素个数与 的每一个左陪集 的个数相等. （ ）HaH1.49 指数为 2的子群不是不变子群。 （ ）1.50 若 N H,H G，则 N G。( )

12、1.51 若 N是群 G的不变子群,N 是群 N的不变子群,则 N是 G的不变子群。( )1.52 设 HG，KG，则 HKG。 （ ）1.53 若 N N，H G那么 NH G。 （ ） 2.4 商群、群的同态定理。1.54 群之间的同态关系是等价关系。 （ ）1.55 循环群的商群是循环群。 （ ）1.56 设 f： 是群 到群 的同态满射，a ，则 a与 f (a)的阶相同。 （ GG）|1.57 设 G是有限群，HG， 则 。 （ ）|HG1.58 若 是群 G到 的同态满射，N 是 G的一个不变子群，则 （N）是 的不变G子群，且 。 ( )1.59 设 f 是群 G到群 的同态映射

13、，H G，则 f(H) 。 （ ）1.60 设 f 是群 G到群 的同态映射， HG 则 f(H) 。 （ ）1.61 若是群 G到的一个同态满射,N 是 G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且。1.62 若是群 G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示 的原象,则()是 G不变子群,且 。N( )1.63 设 G和 都是群， , , N= ( )，则 N G,且1。 （ ）N/2 填空题：2.1 在群 G中，a，bG，a 2 = e，a 1 ba = b2，则|b| =_。2.2 在交换群 G中，a，bG，|a| = 8，|b| = 3，则|a 2 b | =_。2.3 设 a是群 G

14、的元,a 的阶为 6，则 a4的阶为_。2.4 设 a是群 G中的一个 8阶元,则 a的阶为_。2.5 设 G是交换群，a、b G, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_。2.6 群 AG中有_个 1阶元。2.7 在 S5中，4 阶元的个数为_。2.8 在 S4中，3 阶元的个数为_。2.9 设 为群， ，若 ，则 _。a28a2.10 设群 G=e，a 1，a 2，a n-1 ，运算为乘法，e 为 G的单位元，则 a1n =_.2.11 若 a,b是交换群 G中的 5阶元和 72阶元, 则 ab的阶为_。2.12 在整数加群 Z中， =_。2.13 10阶交换群 G的所有子群的个数是_。

15、2.14 阶数最小的非交换群的阶数是_。一个有限非可换群至少含有_个元素.2.15 任意群 G 一定同构于 G 的一个_。2.16 n 次对称群 Sn 的阶是_。2.17 9-置换 分解为互不相交的循环之积是_。72816934595212.18 n阶有限群 G一定_置换群。2.19 每一个有限群都与一个_群同构。|2.20 已知 为 上的元素，则 _。12345S12.21 给出一个 5-循环置换 ，那么 _。)12(2.22 在 4次对称群 S4中，(134) 2(312)-1=_.2.23 在 4次对称群 S4中， （24） （231）_ ， （4321）1 _， （132）的阶为_。2

16、.24 在 6次对称群 S中,(1235)(36)=_。2.25 (2431) =_。12.26 设群 G的元 a的阶是 n，则 ak的阶是_.2.27 设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为_。menmn2.28 已知群 中的元素 的阶等于 50，则 的阶等于_。42.29 设 为循环群，那么（1）若 的阶为无限，则 同构于()aaG_， （2）若 的阶为 n，则 同构于_。G2.30 若群 G是一个 6阶循环群,则 G与（模 6剩余类同构）_同构。2.31 设 = 是循环群，则 与模 的剩余类加群同构的充要条件是a_。2.32 整数加群(Z,+)的两个生成元是_+1 和-

17、1_。2.33 整数加群 Z有_个生成元.2.34 整数加群(Z, +)的生成元是_。2.35 无限循环群 G=(a)的生成元为_a 的逆_。2.36 无限循环群 G中能作为 G的生成元的元素共有 _ 个。2.37 若 G=(a)是一个无限循环的乘法群,则 G的另一个生成元是_a 的逆元_。2.38 剩余类加群 Z共有_4_个元可作为它的生成元。2.39 16阶循环群 G中能作为 G的生成元的元素的个数为_8_。2.40 模 10剩余类加群(Z,+)中能作为 Z的生成元的元素有_。2.41 设 = 是 12阶循环群，则 的生成元是_。a2.42 设 是一个 阶群，其中 是一个素数， 是一个正整

18、数，则 的真子群的mppmG一切可能的阶数是_。2.43 设 G 是 p 阶群， （p 是素数） ，则 G 的生成元有_个.2.44 剩余类加群 Z12有_个生成元.2.45 设 H是群 G的非空子集,则 H是 G的子群的充要条件是_。2.46 设 G（a）是 6阶循环群，则 G的子群有_。2.47 设群 G是 24阶群，G 中元素 a的阶是 6，则元素 a2的阶为_，子群 H=的在 G中的指数是_ 。|2.48 设 为群 的子群，则 是群 的子群的充分必要条件为12,AG21AG_。2.49 设 是群 的子群， ，则 _。Hba, Hba2.50 在 3次对称群 S3中，H(1)，(12)是

19、 S3的一个子群，则 H (23)_2.51 在 3次对称群 S3中，H = （1） ， （23），则 S3对 H的右陪集分解式是_。2.52 的子群 的一切右陪集_。32,12.53 G=(a)是 21阶群，H 则G:H=_。)(3a2.54 凯莱定理说：任一个子群都同一个_ 同构。2.55 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_同构。2.56 设 G 是群，N 是 G 的非空子集，则 NG 的充要条件是_。2.57 6 阶循环群有_个子群.2.58 设 G是由 a生成的 30阶循环群，H = ，则 G/H =_。2.59 设 G(a)是 10阶群，H(a ),则 _。32.60 设 ：A

20、， ，则 _。S)(1S2.61 16阶循环群 G中能作为 G的生成元的元素的个数为_。2.62 设 ：A ， ，则 _。a1a2.63 模 10的剩余类加群 的生成元为_。10Z2.64 设 a 是群 G中的一个 6阶元，则 的阶为_。152.65 一个 6 阶的非交换群 G中的非单位元的阶一定是_ 。2.66 剩余类加群 中能作为它的生成元的元素有_。),(12Z2.67 设 G是群，a, bG, |a|=12, 则|ba 10b-1| =_。2.68 设 G是一个 20阶的交换群，aG, |a|=2, 则 G/ _。2.69 在整数加群 Z中， , ，则 _。H1H2.70 在整数加群

21、Z中， 则G：H =_。42.71 在 12阶循环群 G中，G=，H=，则 =_。G2.72 在 4次对称群 S4中，S=(123),则=_。2.73 在 S5中， =(235)(13)(24),则 =_。2.74 21阶群 G中，7 阶子群的个数为_。2.75 设 N ，商群 中的单位元是_。|2.76 在 Z24中， 24,H=, Z8,则a= _。HH242.77 在整数加群 Z中，H= , 则 a =_。32.78 设 G1，G 2分别为 m，n 阶循环群，则 G1G 2的充要条件是_。2.79 Z4到 Z2的所有同态映射是_。2.80 在整数加群 Z中， + + =_。2.81 在同

22、构的意义下，6 阶群有_种。2.82 设 G是模 4的剩余类加群，那么 Aut(G)= _。2.83 设 G是正有理数作成的乘法群，a ,a= （p, q为奇数, n为整数） ，令pn2：a 是 G到（Z，+）的同态映射，则 Ker =_。,n2.84 设 G, H是两个阶互素的有限群，则 G到 H的同态映射 f为_。2.85 在环 R=4Z=4k|kZ中， （8）=_。2.86 在整数加群 Z中，S=2 2,32则=_。2.87 设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为ameanmn_。2.88 设 是一个 阶交换群， 是 的一个 （ ）阶元，则商群 的阶GnGaG等于_ 。

23、2.897、一个非正方形的长方形 S的对称群是 。 13、平面上的正方形的对称群是_ 。72. 设 a, b是群 G的两个元素，满足 aba=ba2b，a 3=1，b 7=1，则 b=_ 。3 证明题：3.1 令 证明，G 对于矩阵的普通乘法作在一个群阶 正 交 矩 阵为 nA3.2 设 G是整数集，规定运算： 证明：G 对运算baab,4作成一个群3.3 方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.3.4 设 证明： 关于矩阵的乘法构成群.3.5 全体可逆的 阶方阵的集合 ( )关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵,每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 .3.6

24、 设 为实数集， ，令 ，将R,0abR(,):,abfRxabxR|的所有这样的变换构成一个集合 ，试证明：对于变换普通R(,),0abGfRa的乘法， 作成一个群。G3.7 证明：若群 G 的每个元素都满足方程 ，则 G 是一个 Abel 群（交换群） ex23.8 设 G 是一个群，证明：G 是交换群的充分必要条件是，对任意 ，都有ba,2)(ba3.9 证明：在群 G 中， 与 有相同的阶 1a3.10 证明：在群 G 中， 与 有相同的阶b3.11 证明：在 n 阶群 G 中每个元都满足 xn=e.3.12 设 为群. . 证明: 与 b 有相同的阶. 3.13 证明：在群 G 中，

25、ab 与 ba 有相同的阶3.14 设 为群. . 证明: , , 有相同的阶.3.15 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶.3.16 设 为群, , 的阶为 , , . 证明 : .3.17 设 ， 的阶为 ，证明 的阶是 ，其中 。3.18 证明: 循环群是交换群.3.19 证明: 有限群中阶数大于 2 的元的个数必是偶数.3.20 证明: 任意偶数阶群必含有阶为 2 的元素.3.21 设 为素数. 证明: 中每一个非零元都是生成元. 3.22 设 G是一个群， 若 a的阶是正整数 n证明：对mneaZm|,3.23 设 G是一个交换群，m 是固定的正整数令 证明：H 是

26、|eaGHmG的一个子群3.24 假定 和 是一个群 G 的两个元，并且 ，又假定 的阶是 ， 的阶是， ，证明： 的阶是 。3.25 设 是群 G 的子群证明： 也是 G 的一个子群21,H21H3.26 设 G是一个群，令 证明：C 是 G的一个子,|xaxaC群3.27 设 G 是一个群，S 是 G 的一个非空子集令|证明：C（S）是 G 的一个子群,|)( xaxGaSC3.28 若群 G 的阶是素数 p，则 G 是一个循环群，试证之3.29 证明：循环群的子群也是循环群3.30 若群 G 与群 同态，且 G 是循环群，证明： 也是循环群3.31 证明：阶为 的群（p 是素数）一定包含

27、有一个阶为 p 的子群m3.32 设 H，K 是群 G 的不变子群，证明：HK 也是 G 的不变子群。3.33 设 H，K 是群 G 的不变子群，且 证明： ，都有eKHKkHh,kh3.34 设 H，K 是群 G 的不变子群，证明： 也是 G 的不变子群。3.35 设 H 是群 G 的子群，N 是 G 的不变子群。证明：HN 是 G 的子群3.36 设 G 是一个 n 阶有限群证明：G 的每一个元素都满足方程 exn3.37 设 G 是一个群， 是 G 的中心，证明：C 是 G,|xaxaC的一个不变子群3.38 设 C 是群 G 的中心，即 且商群 是循环,| C群证明：G 交换群3.39

28、 若 G 是循环群，H 是 G 的一个子群证明： 也是循环群HG3.40 设 G 是一个群，令 证明： 是 G 到 G 的同构映射的充分必x,:1要条件是：G 是一个交换群3.41 设 H是群 G的子群,令 NG(H)=x|xG, xH=Hx,证明 NG(H)是 G的子群3.42 设 G是群，令 C=x|x G, yG, xy=yx,证明 C是 G的正规子群。3.43 设 G=(a)是一无限循环群，证明 G的生成元只有两个。3.44 设 G是交换群，证明 G中一切有限阶元素组成的集合 T是 G的一个子群，且除单位元之外不含有限阶元素。T3.45 取定群 G的元 u,在 G中定义新的“o” ：aob=au b. a.b G.证明（，o）1是群3.46 证明循环群的子群也是循环群。3.47 设 p是一个素数，证明 2p阶群 G中一定有一个 p阶子群 N。3.48 若 G是一个群,e 是 G的单位元,G 中任何元都是方程 的解，证明 G是一个ex2交换群。3.49 若 G是一个循环群,N 是 G的一个子群,证明也是一个循环群.3.50 证明阶是素数的群一定是循环群。