高中数学圆锥曲线结论(最完美版本~).doc

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1、|椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过0(,)Pxy21xyab的椭圆的切线方程是 .026. 若 在椭圆 外 ，则过0(,)xyxyPo 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是.02xyab7. 椭圆 (ab0) 的左右焦点分2别为 F1，F 2，点 P 为椭

2、圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积P为 .12tanSb8. 椭圆 （ab0）的焦半径公xy式：, ( , 10|MFe20|ex1)Fc).2(,)c)xy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N 两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称21xyab轴的弦，M 为 AB 的中点，则),(0，2OABk

3、即 。02yaxbK双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角 .2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线0(,)xy|（a0,b0 ）上，则过21xyb的双曲线的切线方程是0P.26. 若 在双曲线0(,)xy（a0,b0 ）外 ，则过21bPo 作双曲线的两条切线切点为P1、P 2，则切点弦 P1P2 的

4、直线方程是 .0xyab7. 双曲线 （a0,bo）的2左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为.12tFPSbco8. 双曲线 （a0,bo）的21xy焦半径公式：( , (0)Fc2()当 在右支上时，0,)M, .1|Fex20|ex当 在左支上时，0(y,1|a20|a9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MF NF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A 2 为双曲线实轴上的顶点

5、，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则MFNF.11. AB 是双曲线（a0,b0 ）的不平行21xyb于对称轴的弦，M 为 AB 的),(0yx中点，则 ，即2abKABOM。02yaxbKAB12. 若 在双曲线(,)P（a0,b0 ）内，则被21bPo 所平分的中点弦的方程是.2002xyxyb13. 若 在双曲线(,)P（a0,b0 ）内，则过21bPo 的弦中点的轨迹方程是.022xy椭圆与双曲线的对偶性质-椭 圆1. 椭圆 （a bo）的两个21xyb顶点为 , ，与 y 轴平(0)A2()行的直线交椭圆于 P1、 P2 时 A1P1与 A2P2

6、交点的轨迹方程是.1xyab2. 过椭圆 (a0, b0) 上任2一点 任意作两条倾斜角互0(,)Axy补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为椭圆 （ab0）21x上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, , ，则12F2P|.tant2co4. 设椭圆 （ab0）的两1xy个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2 中，记 , 12P, ，则有F12.sincea5. 若椭圆 （ab0）的左、21xy右焦点分别为 F1、F 2，左准线为L，则当 0e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1

7、是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6. P 为椭圆 （ab0）上21xy任一点,F 1,F2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，则,当且211|aAFPaF仅当 三点共线时，等号成立.,7. 椭圆 与直线2200()()xyab有公共点的充要条件ABC是 .2220()AxBC8. 已知椭圆 （ab0） ，O1y为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .O1) ;2221|ab2) |OP|2+|OQ|2 的最大值为 ;24ab3) 的最小值是 .OPQS29. 过椭圆 （ab0）的右21xy焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，

8、则 .|2FeMN10. 已知椭圆 （ ab0）21ya,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 .0()Px220aa11. 设 P 点是椭圆 （ 21xybab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记 ，12FP则1) .212|cosbP2) .12tanFS12. 设 A、B 是椭圆 （ 21xybab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , ,ABP，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) 2|os|abPA.(3) tn1e.2ctPABSba13. 已知椭圆 （ ab0）的21xy右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭

9、lE|圆右焦点 的直线与椭圆相交于FA、B 两点,点 在右准线 上，且Cl轴，则直线 AC 经过线段xEF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比

10、例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-双曲线1. 双曲线 （a0,b0）21xyb的两个顶点为 , ，()A2()与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .xyab2. 过双曲线（a0,bo ）上任一21点 任意作两条倾斜角互0(,)Axy补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.20BCbkay3. 若 P 为双曲线（a0,b0 ）右（或21xyb左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, , 12PF，则1（或tant2cco）.4. 设双曲线（a0,b0 ）的两个21xyb焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点

11、）为双曲线上任意一点，在PF 1F2 中，记 , 12P, ，则有P.sin()cea5. 若双曲线（a0,b0 ）的左、21xyb|右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得PF1 是 P 到对应准线距离 d 与PF2 的比例中项.6. P 为双曲线（a0,b0 ）上任一21xyb点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则,当且仅当21|FaPF三点共线且 和 在,A2,Ay 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线 （a0,b0）21xyb与直线 有公共点ABC的充要条件是 .22b8. 已知双曲线 （ba 1xy0） ，O 为坐标原点，P、Q

12、 为双曲线上两动点，且 .OPQ（1） ;222|ab（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;24a（3） 的最小值是 .OPQS2b9. 过双曲线（a0,b0 ）的右焦21xyb点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2FeMN10. 已知双曲线（a0,b0 ）,A、B21xyb是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点, 则 或0()Px20ba.2a11. 设 P 点是双曲线（a0,b0 ）上异于21xyb实轴端点的任一点,F 1、 F2 为其焦点记 ，则(1)12F.(2) 1|cosP.12tFSb12.

13、设 A、B 是双曲线（a0,b0 ）的长轴2xy两端点，P 是双曲线上的一点，, , ，c、e 分别BA是双曲线的半焦距离心率，则有1) .2|os|abPc2) .tn1e3) .2tPABSba13. 已知双曲线（a0,b0 ）的右准21xyb线 与 x 轴相交于点 ，过双曲lE线右焦点 的直线与双曲线相F交于 A、B 两点,点 在右准线C上，且 轴，则直线 AClx经过线段 EF 的中点.|14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相

14、垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.|圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3

15、，2） ，F（2，0） ，双曲线，P 为双曲线上一点。xy231求 的最小值。|解析：如图所示，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知 即点 P 到准线距离。12|AEAM52二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线 的椭圆短轴端点l的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点 F 到准线 的距离为 p（定值） ，椭圆中心坐标为lM（t， 0） （t 为参数），而pbc2tbpct2再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y） ，则xyt消去 t，得轨迹方程 ypx2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥

16、“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知 ，且满足方程xyR,，又 ，求 m 范围。xy230()yx3解析： 的几何意义为，曲线m上的点与点（ 3，3）连线2()的斜率，如图所示kmPAPB32352四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆 和直线()xy342的交点为 P、Q，则 的值为ymx|O_。解： MN|O5五. 应用平

17、面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5. 已知椭圆： ，直线 ：xy2416l|，P 是 上一点，射线 OP 交椭圆于一xy128l点 R，点 Q 在 OP 上且满足 ，当|OQPR2点 P 在 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。l分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图， 共线，设OQRP， ， ， ，则ORPxy()，xy()， (，|OQPR22点 R 在椭圆上，P 点在直线 上l，22416xyxy81即化简整理得点 Q 的轨迹方程为：（直线 上(

18、)()xy1523122yx23方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆 和xy2640的交点，且圆心在直线xy2680上的圆的方程。xy40解：设所求圆的方程为：xy2266280()()(1 4x则圆心为 ，在直线()31，上y40解得7故所求的方程为 xy27320七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线相交于两点 P1、P 2，求线段 P1P2 中xy2点的轨迹方程。解：

19、设 ， ，则xy1()， xy22()，x221得()()()xyy21212即 y212设 P1P2 的中点为 ，则 Mxy()0，kxyP12 0又 ，而 P1、A、M、P 2 共线kxAM02，即 中点P12yx001M 的轨迹方程是 42|解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形

20、成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以 AB 为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于 AT，使 垂直且等于 BT， 交半圆于 P、Q 两点，建立如BAA B BA图所示的直角坐标系.(1)写出直线 的方程； （2）计算出点 P、 Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线 通过点 Q.讲解: 通过读图, 看出 点的坐标.,BA(1 ) 显然 , 于是 直线tA1 ，t1BA的方程为 ；xy（2）由方程组 解出 、

21、； ,2ty),(10P),(221ttQ（3） , .tkPT10 ttttkQT122)(由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于)0(12bayxR、S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,l l由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为 ).0(kmxy代入椭圆方程 得 ，22b

22、ayxb .)2(22bakxax化简后，得关于 的一元二次方程 )( bk于是其判别式 ).(4)(4)( 222222mkmk由已知，得=0即 .在直线方程 中，分别令 y=0，x=0 ，求得xy .,0)mSkR令顶点 P 的坐标为（x，y） ， 由已知，得 .,.,yxyx解 得代入式并整理，得 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程12ybxa|方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?12ybxa例 3 已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是12yx32e),0(,bBaA.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆

23、心的圆上，求 k)0(5kxy的值.讲解：（1 ） 原点到直线 AB： 的距离 .,32ac 1byax .3,122abcbd故所求双曲线方程为 .12yx（2）把 中消去 y，整理得 .352kxy代 入 0783)1(2kx设 的中点是 ，则CDyC),(),(21 ),(0xE00 0251, .313BEykx kxk即,0ky 7,15 222 kk又故所求 k= . 为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.7 k例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F 2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F 1PF2的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1

24、 与椭圆交于 A、B 两点，ABF 2 的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率； （2 ）求椭圆 C 的方程讲解：（1 ）设 , 对 由余弦定理, 得112|,|,|Prc21，)(44)(24cos 2121211 rcararcrF 02e解出 .e（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为 )(cxky椭圆方程为 由 得 .,),(1212BxAbyax.e22,cba于是椭圆方程可转化为 0yc将代入，消去 得 ,y)(22k整理为 的一元二次方程，得 .x 0)1(412kcx则 x1、 x2 是上述方程的两根且 ， ，22|x 212)(| kcxABAB 边上的高 ,sin|121 kcFBh 也可这样求解： |212yFS|xkc