高数极限60题及解题思路.doc

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1、 高数极限 60 题1.求数列极限 。)sin1(silmn2.设 ，其中 ，求 。kbS1!(knSlim3.求数列极限 ，其中 。)32(li 1nqq4.求数列极限 。(54mn5.求数列极限 。)1).321(li 22n6.求极限 。)(0)10(.)li2xxxx7.求极限 。12584(lim2x8.讨论极限 。 xxe23li9.求极限 。)4tan(li4x10.求极限 。23lim2x11.求极限 。xx350)41()(li12.求极限 。30sintalix 13.讨论极限 。xxco2lim014.求数列极限 。1sinln15.设 ，且 ，证明： 存在，并求出此极限

2、值。1axnaxnxlim16.设 ，且 ，证明： 存在，并求出此极限值。2n2117.设 （ 为正整数），求证： 存在。.3xn nxli18.求数列极限 。!2limn19.求极限 。)3l(i2xxe20.求极限 。xxli21.无限循环小数 的值9.0(A)不确定 (B)小于 1 (C)等于 1 (D)无限接近 1 22.求数列极限 。2)(seclimnn23.应用等价无穷小性质，求极限 。xx )arctn()arctn(li024.求极限 。xx31210)6()4(li25.求极限 ( 为自然数)， 。anx(lim10 0a26.设 ， ，xf 5si3i2s)nAxg)(求

3、 及 ，使当 时， 。Anx)(f27.设 ( 为常数)，222)()()( axaaeef nx)(求 及 ，使当 时， 。0gf28.设 ， ，xxf12)( kA)(求 及 ，使当 时， 。Ak)(f29.求极限 。xexsinlm3ta030.求极限 。210)(lixxb),1,0( bab31.求极限 。xsintaecli032.求极限 ( ， 为常数，且 )。)1l(mxxb0a33.求极限 。xxxx ln)1l(2)ln(lim34.求数列极限 。nne1li35.求数列极限 ，其中 。nnba)2(li0ba，36.求数列极限 。silm37.求极限 。xxxcose)1

4、ln()1(li22038.求极限 。x1li2039.设 求极限 。)1).()(lim242nxxn 40.求极限 。)1l(i2cos0xex41.求极限 。)2s.si0 nnx x42.设有数列 满足 且 ，试按极限定义证明： 。a0n )10(limra， 0limna43.求极限 。131)().(linxx44.设有数列 满足 ，试判断能否由此得出极限 存在的结论。na0lianali45.设 存在， 存在，则 是否必存在？)(lim0xgf)(li0xg)(lim0xf46.试证明 不存在。x1cosli047.求极限 。)1arctn(artnn48.设 ，试确定 ， 的值

5、。0(2)os(lim20 xbx ab49.求极限 。lix50.求极限 。xxtan2csi1li051.求极限 。xxesinta04lim52.设 ，根据 的不同，讨论极限 。,.)21(21nn 1nxlim53.设 ，令 ， ， ，试证明： 存在，banba2nba,.)(nali存在，且 。nlinlili54.求极限 。)1l(s)31(smxxx55.下列极限中存在的是Axli.2xxeB10li.Csinlm.12li.0xD56.设有两命题：命题 ：若 ， 存在，且 ，则 ；“a)(lim0fx)(li0gx)(0xg0)(lim0xgf命题 ：若 存在， 不存在，则 必

6、不存在。bli0fxli0xli0fx, 都正确 正确, 不正确“.aA“.aBb不正确, 正确 , 都不正确C“D57.若 ，则当 充分大时，必有)(limAnna. Aa.2.Cn 2.Dn58.数列 无界是数列发散的na必要条件 充分条件.A.B充分必要条件 既非充分又非必要条件59.求极限 。xxx )(lim60.求极限 。x 2sin)arctsin(129o0li20 解题思路（供参考）1.三角函数和差化积公式。2. 。)!1(!)1(kk3.错位相减法化简。4.分子分母同乘 。)(542nn5. 。1126.分子分母最高次都是 ，极限为最高次系数比 。2x10.3227.令 再

7、分子分母同乘 。xt)(5842tt8.分 和 讨论。9.三角函数公式化简。10.分子分母同乘 。23)(32xx11.洛必达法则。12.分子分母同乘 ，再用等价无穷小。1sinta113.分 和 讨论。0x14.利用函数极限来解 。nx215.数学归纳法，猜想 。116.数学归纳法，猜想 。nx17.适当放大证明 。218.设 ，当 某数时 。nnx!0nx19.洛必达法则。20.分子最高次 。121.找不到一个数处于 和 之间。9.022. ，化成重要极限来求。23. 。abba1rctnrtrctn24.洛必达法则。25.等价无穷小。26.两次洛必达法则。27.两次洛必达法则。28.令

8、，两次洛必达法则。xt129.洛必达法则。30.先用重要极限，再用洛必达法则。31.洛必达法则。32.先用重要极限，再用洛必达法则。33.令 ，化简后两次洛必达法则。xt134.先用重要极限，再用等价无穷小。35.先用重要极限，再用等价无穷小。36. 。1lim2na37.化简后用等价无穷小。38.用三角函数公式去掉分子中的根号。39.分子分母同乘 。x40.等价无穷小。41.分子分母同乘 。n2si42. 。1ran43.先求 。lim1xn44. 。an.3245.略。46.令 ， 。xt1不 相 等和 2kt47.利用函数极限来解 。n148.略。49.分子分母同乘 。xx50.洛必达法

9、则。51.分子分母同乘 。sin4ta52.分 ， 和 讨论，数学归纳法。201x0121x53.先证 ， ， 。nbnnb54.令 。xt155.略56.命题 ： ；命题 ：反证法。“a0)(lim0gx“b57. 。An58.数列发散时可为震荡数列。59.分子分母同乘 。)( xxx60.化简分成两个极限求解。答案（供参考）1. 0 2. 1 3. 4. 3 5. 2)(q216. 7. 3 8. 9. 10. 27limxfx 3)(lixfx 21411. -2 12. 13. 14. 15. 41)(00axnlim16. 17.略 18. 0 19. 20. 0linx 3221. C 22. 23. 1 24. -4 25. 2ena26. ， 27. ， 28. ， 29. -2 30.4A2)4(aeA41A23nba31. 1 32. 33. 1 34. 35. abb36. 0 37. 1 38. 39. 40. x241. 1 42.略 43. 44.不能 45.必存在 !n46.略 47. 1 48. ， 49. 1 50. 4ab551. 52. 时， ； 或 时不存在。 53.略 54. 55. A 420xlimnx02x4156. C 57. D 58. B 59. 60. 234