高等数学(东北大学出版社~)第1-5章和第8-10章习题和预习复习题参考-答案~.doc

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1、|第 1-5 章和第 8-10 章习题和复习题参考答案第 1 章 函数、极限与连续习题 1.1下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1） 是同一函数 （2） 是同一函数 2yx与=3yx与=（3） 不是同一函数 （4） 不是同一函12lnlx数 指出下列函数的定义域.（1） 的定义域是 （2） 的定义域是43)(xf ),34xf1ln)(,(（3） 的定义域是 )1ln()(2xf ),(（4） 的定义域是arcsi1e（5）若 的定义域是 ，则 的定义域是)(xf4,)(2xf 2,（6）若 的定义域是 ，则 的定义域是30a)(af,a3.判别下列函数的奇偶性.（1） 是奇函数 （2

2、） 是奇函sinfxcosfx数（3） 是非奇非偶函数 （4） 是奇函数2f1lgf（5） 是偶函数 （ 6） 是偶函数 cos(i)x sinx（7） 是奇函数 （8） 是偶函2ln1f2co1f|数下列函数哪些在其定义域内是单调的.（1） 在其定义域内不是单调的 sinyx（2） 在其定义域内是单调递增的 arc（3） 在其定义域内不是单调的 2（4） 时， 在其定义域内是单调的，其中0axye时， 在其定义域内是单调递减的，a时， 在其定义域内是单调递增的ax5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界.（1） 上有界 ),1(在 区 间xy（2） 上有界0,)ln(在 区 间（3） 上有界4

3、33在 区 间xy（4） 上分别有界)1,(,(),si 在 区 间6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.（1） 是周期函数，最小正周期是 inyx32（2） 是周期函数，最小正周期是 cos（3） 是周期函数，最小正周期是 ta2（4） 是周期函数，最小正周期是ln(s2)yx7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1） 不可以构成复合函数2),arci()(xuuf（2） 不可以构成复合函数sin1ln（3） 不可以构成复合函数2l,)(xf（4） 可以构成复合函数1arcosuu8.将下列复合函数进行分解.（1）对复合函数 的分解结果是：43)(2xxf 43,)(2xu

4、xf|（2）对复合函数 的分解结果是：32)(xef 32,)(xuexf（3）对复合函数 的分解结果是： ln)ln（4）对复合函数 的分解结果是：()arcsi(1fx1,si)(xuacxf9.求函数值或表达式.（1）已知函数 .12)(,2)0(,4-)2(,0)(,12)( xffffxf则（2）已知函数 .0)(,)(,)1(,sin)(ffff 则（3）已知函数 .2-arcsi(ifxf则（4）已知函数 ，则2o)(sn1,1)xx习题 1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.（1） 没有极限 （2） 有极限，,67514,32:nx nx10limn（3）

5、没有极限 （4） 有极限，2sinx 1)(3nxn01)(linn2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1） （2）lim2x 01limx（3） （4）)ln(ix 23lix3.图略， 不存在0f4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1） 时， 是无穷小量 （2） 时， 是无穷大量x21x 0xx2|（3） 时， 是无穷小量 （4） 时， 是无穷大量x12x xxe（5） 时， 是无穷大量 （6） 时， 是无穷小量n3)(n sin（7） 时， 是无穷小量 （8） 时， 是无穷小量xxsi 0x12x5.已知函数 ，则 在 或 或 的过程中是2)3(1)f )(xf无穷小量，在

6、 或 或 的过程中是无穷大量？x6. 当 时，无穷小 与下列无穷小是否同阶？是否等价？1x（）当 时，无穷小 与无穷小 同阶，但不等价 x131x（）当 时，无穷小 与无穷小 同阶，而且等价2()习题 1.31.设函数 ，则xf)( xtfxft 21)(lim02.设函数 ，则 .2,12)(xf 5)(lim,)(li,5)(li 222 xfffxx3.求下列各式的极限：（1） （2）5)(lim2x 31li241xx（3） （4）3)(li0x lim2x（5） （6）211li20x)(lim2nn（7） （8）1lixx 31limx|（9） （10）61)39(lim2xx 1

7、2lim1xx（11） 201201)5(lix4.已知 ，则 .16li21ax 7a5. ，则 .)(lim2xkx 4k6.求下列极限：（1） （2）5sinl0x 1sintalim0xx（3） （4）43col20xx 2)si(tl30x（5） （6）1sinlmx inl0x（7） （8）3arc0 21stam3x7.求下列极限：（1） （2）82)4(liexx 1)(liexx（3） （4）30limx 21lix（5） （6） 5ln1)(liexx exxsc2)o(lim8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1） （2）236arctnlim0xx 14li20xe（

8、3） （4）os )n(mx习题 1.41.设函数 ，则 在 处不连续1,3)(2xxf ()f1x2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？|（1）函数 的间断点有点 和点 ，它们都是第二类间断点中1)(2xf 1x的无穷间断点 （2）函数 的间断点有点 ，它是第二类间断点xef)(0（3）函数 的间断点有点 和点 ，其中点 是第二类间)1(2x10x断点中的无穷间断点，点 是第一类间断点 x（4）函数 的间断点有点 ，它是第一类间断点中的1,0)(2f 1x可去间断点（5）函数 的间断点有点 ，它是第一类间断点中的跳0,2)(xxfx 0x跃间断点（6）函数 的间断点有点 ，它是第一

9、类间断点中的可2,34)(2xxf 2x去间断点3.设函数 ，当 时，函数 在其定义域内是连0,1sin,sin)(xxkf 1k)(xf续的.4.求下列极限：（1） （2）42arcoslim1xx 0sinlgm2xx（3） （4）0licosin0xxe 2l)1l(ix（5） （6）21li24x 1lix（7） （8）eexnlim4arctnlimx5.（略） 6.（略）复习题 1|一、单项选择题1.下列函数中（C）是初等函数.（A） （B） )2arcsin(xy Qxf10)(（C） （D）12 1)(2f2.下列极限存在的是（B）. （A） （B） （C） （D）x4lim1

10、3limxxlnim01sinl1x3.当 时， 与下列（D）不是等价无穷小.02tan（A） （B） （C） （D）tx2x2sinx2cosx4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B）.（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件5.已知 ,则常数 （C）.0sinlm2xaa（A）0 （B）1 （C）2 （D）46.闭区间 上的连续函数 在 上一定是（C）.,b()yfx,b（A）单调函数 （B）奇函数或偶函数（C）有界函数 （D）周期函数二、填空题1.设 ， 则 4 .10()2xf(2)f2.函数 是由简单函数 复合而成的.5cos3y xvuy3,cos,

11、33.点 是函数 的第一类间断点中的跳跃 间断点.1x1,()xf4.当 时，函数 是无穷小.3xy5.极限 = .2lim1xx2e6.函数 的连续区间为 .ln(4)1y4,1三、计算下列极限|1. =0 2. 不存在243lim1x23limx3. 4.21lix2356li81x5. 6. 不存在1)2(lix 42lix7. 8. =063lim1x 31lim(cos)xx9. 10. 2sincol0 lix11. 12.1)(xx 21)821(3x13. 14. 320lim()xe 1limxe15. 16. 10lixx li()1xx2四、综合题1.函数 在点 处不连续

12、，在点 处连续，函数的图210()xfx12x像略。2.设函数 则 =1, 在点 处连续。0()1sinxefx0lim()xf)(xf03.设函数 ，当 时， 在 处连续。,()2,05kfax为 任 意 实 数ak,52)(xf04.（略）|第 2 章 导数与微分习题 2.11. 已知质点作直线运动方程为 ，则该质点在 时的瞬时速度为 10.32ts5t2.用函数 在 的导数 表示下列极限:)(xf0)(0xf（1） （2）22lim0 fx )()(li 000 fffx （3） （4）)(2li 0000 xfttxfft 00()limxffx)(0f3.利用基本公式 ，求下列函数的

13、导数:1（1） （2） ,eexy则 3431,xyx则（3） 则 （4） ，则3651 8714.求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程：（1） 在点 处的切线方程 ，法线方程为3xy, 023yx 043yx（2） 在点 处的切线方程 ，法线方程为ln1ee12e（3） 在点 处的切线方程 ，法线方程为xycos)2,6(03612yx0612x5.在曲线 上点（6，36）处的切线平行于直线 ， 处的法线2xy 12xy)36,(垂直于直线 136.函数 在点 处不可导，因为 不存在1,02)(xxf )1(f习题 2.21.求下列函数的导数:|（1） 的导数 2coslnexaxy x

14、axyxasin1l1（2） 的导数12213（3） 的导数 )(xy 231xy（4） 的导数2sectan2 tansec2（5） 的导数 3logxyxeyxl3（6） 的导数 sinl xsicolnsi（7） 的导数 xyco1xy15（8） 的导数0x2)0(l*x2.求下列函数在指定点的导数：（1） ，则 ， .fcos3ln)(5)2(f 21)(f（2） ，求 ， . ，则 ，xfi2)0(ffxfsin20(f.)(f3.曲线 在横坐标 处的切线方程为 ，法线方程为263xy3x09yx。0792x习题 2.31.求下列函数的导数：（1） 的导数2cos(45)yx)54sin(10xy（2） 的导数3328x（3） 的导数 1xyexey1（4） 的导数lnta2sin