2021-2022学年北京市和平街第一中学高二3月月考数学试题解析.doc

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1、2021-2022学年北京市和平街第一中学高二3月月考数学试题一、单选题1某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，则当s时，该运动员滑雪的瞬时速度是（）A12m/sB13m/sC14m/sD16m/s【答案】C【分析】根据导数的物理意义即可求解.【详解】因为，所以，所以该运动员的瞬时滑雪速度是14m/s.故选：C.2如图所示，是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，令，是h（x）的导函数，则的值是（）A2B1C-1D-3【答案】D【分析】根据图象求得，由此求得.【详解】根据图象可知，所以，即，.故选：D3若函数，则的单

2、调增区间为（）ABCD【答案】C【分析】求出导函数，令解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数，所以，令，得，所以的单调增区间为，故选：C.4若的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（）A6B12C24D48【答案】C【分析】由题知，进而得其展开式的通项公式，进而时为常数项.【详解】解：二项式系数最大的项只有第三项，展开式中共有5项，展开式第项为，当时，为常数项.故选：C5函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（）ABCD【答案】D【分析】利用导数讨论函数的单调性即可得出结果.【详解】当时，函数的定义域为，则，令，得；令，得或，所以函数在和上单调递减，在上单

3、调递增.故选：D.6已知若，则（）ABCD【答案】D【分析】先求得展开式的通项公式，根据题意，可求得a值，令，可求得的值，令，可得的值，即可得答案.【详解】由题意得展开式的通项公式为，令，则，所以，解得，令，可得，令，可得，所以.故选：D7从3个“0”和3个“1”中任选3个组成三位数组，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则等于（）.ABCD【答案】C【分析】由条件概率的计算公式即可求解.【详解】解：由“0”“1”组成的三位数组共有（个），第一位数字为“0”的三位数组有（个），则，第一位和第二位数字均为“0”的三位数组有2个，则，所以.故选：C.8如图，可导函

4、数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（）A，是的极大值点B，是的极小值点C，不是的极大值点D，是的极值点【答案】B【分析】由图判断函数的单调性，结合为在点处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.【详解】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离根据题意，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选:B9已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（）(设男子和女子的人数相等)ABCD【答案】B【分析】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.【详解】设“男子”，

5、“女子”， “这人有色盲”，则,可得.故选：B.10三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A72种B108种C36种D144种【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，利用分步乘法原理，共有种.故选：D【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力11已知定义在R上

6、的函数满足.若，则（）ABCD与的大小关系不确定【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而即可比较函数值的大小关系.【详解】解：因为，所以，构造函数，则，所以函数在上单调递增，又，所以，即，所以，故选：A.12设函数的定义域为，已知有且只有一个零点.下列四个结论：；在区间单调递增；是的零点；是的极大值点，是的最小值.其中正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】取，即，两边取对数，设，求导画出函数图像，计算，故，画出函数和的图像，根据图像得到函数单调性，依次判断每个选项得到答案.【详解】取，即，两边取对数，即有且只有一个解，设，.函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数

7、图像，如图所示：故或，解得或（舍去），故，正确；，正确，取，即，两边取对数，画出函数和的图像，根据图像知：当时，故，函数单调递减；当或时，函数单调递增.故错误，正确.故选：.【点睛】本题考查了利用导数求参数值，函数的单调性，极值，零点问题，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如下表：123？！？尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定两个“？”处的数值相同，据此，_【答案】2【分析】根据概率之和为1结合均值计算公式求解.【详解】设，则于是，故答案为：2.14为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险

8、，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_种【答案】540【分析】先平均分组，再将三个小组分配到3所学校，运用排列组合知识进行求解.【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法故不同的分配方法共有种故答案为：54015若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】依据题意列出关于m的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】，根据题意可知在上恒成立，即在上恒成立，也就是在恒成立，而函数在上单调递

9、增，则，故故答案为：16写出一个同时具有下列性质的函数：_.；.【答案】（底数大于e的指数函数均可）【分析】由指数函数的性质可求解.【详解】由可知函数是指数函数，由可知函数单调递增，又，故只要即可故答案为：（底数大于e的指数函数均可）17为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售、两种小商品当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该个体户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投_千元【答案】1【分析】列出利润关于投资B商品千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再计算函数的额最大值及对应的的值

10、，即可求解.【详解】设投入经销B商品的资金为千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，则，可得，当时，可得，函数单调递增；当时，可得，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以当投入B商品的资金为4千元，投入经销A商品的资金为1千元时，此时总收益最大为千元.故答案为：1.18若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题为_.（请填所有正确命题的序号）【答

11、案】【分析】根据隔离直线的定义，结合利用导数处理恒成立问题的知识，结合二次函数的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】，则，令，则，解得，故在单调递增，正确；设和的隔离直线为，则在恒成立，且在恒成立；对，即在恒成立，其对称轴，当时，只需满足，即；当时，只需满足，；在上述结论下：对，即在恒成立，当时，抛物线开口向上，不满足题意；当时，在恒成立，需；当时，抛物线开口向下，其对称轴为，只需满足；综上所述：若满足题意，又，解得，故正确；由可知：，解得，故错误；当时，和函数值均为，故为两函数公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过点，设其斜率为，则直线方程为，由，即在恒成立，故其，则，解得，此

12、时直线方程为：，下证：，令，则，当，单调递减；当，单调递增；故，即，也即.综上所述，函数与存在唯一的隔离直线，故正确；故答案为：.【点睛】本题考察利用导数处理恒成立问题，以及二次函数的性质，属综合困难题，解决问题的关键是综合应用二次函数的性质，以及利用导数判断函数的单调性.三、解答题19某校组织一次冬令营活动.有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学.为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务.记其中有X名男同学.(1)求X的分布列与期望；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、，计

13、算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得出随机变量的分布列与期望；（2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括、，利用概率的加法公式可求得所求事件的概率.【详解】(1)由题意可知，随机变量的可能取值有、，.所以，随机变量的分布列如下表所示：(2)记事件去执行任务的同学中有男有女则.20已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若方程有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)当时，的递增区间为和，递减区间是；当时，的递减区间是和上递减，递增区间是.(2)【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，结合的正负，讨论得出函数的单调区间；（2）在第一问的基础上，研究函数的极值，数形结合列出

14、不等式，求出的取值范围【详解】(1)函数定义域为，当时，在和上递增，在递减；当时，在和上递减，在递增.综上：当时，的递增区间为和，递减区间是；当时，的递减区间是和上递减，递增区间是.(2)由（1）知当时，在和上递增，在递减，函数极大值，函数极小值，又，若使有三个零点，只需，解得：，当时，在和上递减，在递增.函数极小值，函数极大值，又，同理只需，解得，所以的取值范围是.21已知函数(1)求函数的单调区间；(2)函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）对求导并求定义域，讨论、分别判断的符号，进而确定单调区间.（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨

15、论、分别确定在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.【详解】(1)由题设，且定义域为，当，即时，在上，即在上递增；当，即时，在上，在上，所以在上递减，在上递增；(2)由（1）知： 若，即时，则在上递增，故，可得；若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；若，即时，则在上递减，故，得；综上，a的取值范围.22已知函数（）.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若有两个极值点，求实数a的取值范围；（）若，求在区间上的最小值.【答案】（）；（）；（）.【分析】由题意得；（）当时，求得，根据点斜式方程即可求出切线方程；（）由题意得两个不等的正根，令，则，由此可得函数的单调性，由此可求出答案；（）由题意可得，由二阶导的取值符号可得到的单调性，得到，由此可求出函数在上单调递减，从而求出最值【详解】解：，；（）当时，曲线在点处的切线方程为，即；（）若有两个极值点，有两个不等的正根，即两个不等的正根，令，令，当时，此时单调递增，；当时，此时单调递减，函数在处取得极大值，也是最大值，因为两个不等的正根，得，实数a的取值范围是；（），令，当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，故，在上单调递减，故在上的最小值为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题第 15 页 共 15 页