复变函数与-积分变换习题解答.doc

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1、|练 习 一1求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。（1） i5243；解： i= 2586zkArgzz21actn58ImRe （2） 3)1(i解： 3izkArgzeii210Im1Re)sn(co332将下列复数写成三角表示式。1） i3解： )35sin(co2（2） i1解： i)4sin(co213利用复数的三角表示计算下列各式。（1） i2解： i32sncoi（2） 4i解： 4i41)3sin4(co|3,210 1683sin1683cos24/sin4/cos2 883 k kkk4.设 21,z三点适合条件： 321z=0， ,321z321,z是内接于单位圆 =1

2、的一个正三角形的项点。证：因 ,1321zz所以 321,z都在圆周 ,1z又因 321z=0则 ,321，所以 21也在圆周 上，又2zz所以以 0， 1,z为顶点的三角形是正三角形，所以向量21与之间的张角是 3，同理 212与 之间的张角也是 3，于是 21z与 之间的张角是 3，同理 1z与 ， 2与 z之间的张角都是 3，所以 21,z是一个正三角形的三个顶点。5解方程 03iiziiz kkkz2315sn3cos 2,1032sn32co1:321 解6试证：当 ,时，则 。证：11 7设 ,0(cos2zz是 Z 的辐角） ，求证 .cos2nznz3z2z1+z20|证： 0

3、1cos2cos21 zzz则 in当 时 in1 nizn cos2)s()cos()s(co 故 2当 is时，同理可证。*8 .思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？答：否， 0z是模为零，辐角无定义的复数。|练 习 二1指出满足下列各式的点 Z 的轨迹是什么曲线？（1） 4)arg(iz解：设 iyx 则 4)1(arg)r(yixiz10yx则点 Z 的轨迹为：（2） )Re(bzaz，其中 a,为实数常数；解：设 iyx 则： )Re(iybxiyx0)()(22bxbxya则： bxbax)2)(22若

4、： 则轨迹为： 0若： a 则b2轨迹：)(2axy若： ba 则,b无意义（3） 0zz，其中为 a复数 b为实常数。解：由题设可知： 0)(2即： baz2若： 2，则 Z 的轨迹为一点 -a，若： ba，则 Z 的轨迹为圆，圆心在 - ，半径为 ba20iyy0 2bab0y(1,1)(-1,-4)|若： ba2，无意义2用复参数方程表示曲线，连接 i1与 i4直线段。解： 0)(4()1( tiiz则 52t3描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。（1） 21Re,z解：由 ，得 yx又 2ez，得1有界，单连域（2）

5、 R2z解：令 iyx由 11e22即： 无界，单连域0 00xy-1 10 y|v0（3）21z解：令 iyx 则：22)34()5(yx无界，多连域4对于函数 0Im:,)(zDizf，描出当 z在区域 D内变化时， w的变化范围。解：令 iyxz则 ixyixfw)()(,0Im则Rey的变化范围在第 2,3 象限,但不包括虚轴5.试证 zli0不存在。证： zRelim0= iyxy0l令 k 则：上述极限为 ki1不确定，因而极限不存在。*6.思考题（1）怎样理解复变函数 )(zfw？答：设 ,iyxzivuw则 就是),()()(yxivf即 ,yxv因此，一个复变函数 )(zf与

6、两个实变函数 ),(yxu和 ),(v相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是 平面上的点集 D到 w平面上的点集 G上的映射。（2）设复变函数 )(zf当 0时的极限存在，此极限值与 z 趋于 0所采取的方式（取的路径）有无关系？答：没有关系， z以任意方式趋于 0z时，极限值都是相同的，反过来说，若令 z沿两条xyu3/5|不同的曲线趋于 0z时极限值不相等，则说明 )(zf在 0没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中， x只能从左、右以任何方式趋于 0x，而这里可以从四面八方任意趋于 0z。练 习 三1用导数定义，求 zfRe)(的导数。|解： zzzzffz Re

7、)e()(lim)(lim00)(Reli)e(Rli )(li00 0yixzz zyxzz 当 时，导数不存在，当 z时，导数为 0。2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1） zf1)(解：),(),(22 yxivuyxif 222)()(yxvyxvuuyyx 当且仅当 时， )zf满足 RC条件，故当 yx时 )(zf可导，但在复平面不解析。（2） )3()( 323izf解：令 ),(xyvu则 22366xyy因 )(zf在复平面上处处满足 RC条件，且偏导数连续，故 )(zf可导且解析。3设 )(2323lxinm为解析函数，试确定 nml,的值 。解：由

8、 RC条件可知： lyn所以 又 22y所以 3,3l且即 31ln|4.设 )(zf在区域 D内解析，试证明在 D内下列条件是彼此等价的。（1） =常数； （ 2） 0)(zf； （3） )(Rezf常数（2） )(Imzf常数； （5） 解析； （6） 常数。证:由于 在且域 内解析，则可得 C方程成立，即yvxu且 xv1）2）由 czf)(则 0)(czf在 D内成立，故（2）显然成立， 2）3）由),(0yxuyxuyivxiu是常数即 )(Rezf常数3）4） u常数0yux由 RC条件 ),(0yxvxy是常数)(Imzf常数4）5）若 ,)(, 1icuzficc因 )(zf在

9、 D内解析0,0xvyuyvxu即 cc)(,)(一阶偏导连续且满足 RC条件 )(zf在 内解析。5）6） ivuzfgivuzf )(,)( 因 )(zg解析，则由 条件xyx,， 对 f在 D内解析， )(0, zfvxyuvu 为 常 数为 常 数为常数6）1） )(zf常数2)(zf=常数，令 c2分别对 yx,求偏导数得|0)(02yuvxyuxv若 2u 则 ,zf，因而得证若 02v，则0yuix，故 常数，由 RC条件vyxv,0为常数)(zf常数*5.思考题：（1）复变函数 )(zf在一点 0可导与在 0解析有什么区别？答： f在 0解析则必在 z可导，反之不对。这是因为

10、)(zf在 0解析，不但要求)(z在 可导，而且要求 )(f在 0的某个邻域内可导，因此， 在 z解析比 )(zf在0可导的要求高得多，如2在 =0 处可导，但在 0处不解析。（2）函数 )(f在区域 D 内解析与 )(zf在区域 D 内可导有无区别？答：无， （两者等价） 。（3）用 RC条件判断 ),(),()yxivuf解析时应注意些什么？答： ,(),yxvu是否可微。（4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。答：一是定义。二是充要条件。三是可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数。练 习 四1由下列条件求解析函数 ivuzf)(：（1） iyxu2,)1(解：由 zf解析可知： xyx 而 )1(2xuyx则 uvvyx 2),1(所以 )(2),(d)(2xvxxcxdx2)1()(