概率论练习学习题与-解析.doc

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1、|十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件 A 发生的概率为p。现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为 ；而事件 A 至多发生np)1(一次的概率为 。1)1(nnp2、 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子有 3 个黑球 5 个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1 个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。解：用 代表“取第 i 只箱子” ，iA=1， 2， 3，用 B 代表“取出的球是白球 ”。由全概率公式i 12053863153 )|()()|()

2、()|()( 33221 ABPABPPBP由贝叶斯公式| 53201631)(|)|( 222 BPABAP3、 设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等。若已知 A 至少出现一次的概率等于 19/27，则事件 A 在一次试验中出现的概率为 。解：设事件 A 在一次试验中出现的概率为，则有 ，从而解得)10(p 2719)1(3p34、已知随机事件 A 的概率 ，随机5.0)(AP事件 B 的概率 及条件概率6.0)(BP，则和事件 的概率 = 8.0)|(AP B)(B。 7.08.5.06.5.0 )|()()()()()()( ABPPAPAPB5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一

3、|次，其命中率分别为 0.6 和 0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。用 A 代表事件“甲命中目标” ，B 代表事件“乙命中目标” ，则 代表事件“目标被A命中” ，且 8.06.5.06.5.0 )()()()()()()( BPABPABPAPBAP所求概率为 75.08.6)()|( BAPBAP6、 设随机事件 A，B 及其和事件 的BA概率分别是 0.4，0.3 和 0.6。若 表示 BB的对立事件，那么积事件 的概率A。)(BAP 1.06.03.04.0)()()() BAPBPAP ，|因为 ，BABA)(故 3.01.04.)()()( ABPAPBAP7、 已

4、知 ， ， ，41)()(CPBA0)(AB16)()(BCPA则事件 A、B 、C 全不发生的概概率为 。由 ， 得 ，所求事件0)(ABP0)(C概率为 83 )()()()()()11()( ABCPAPCBAP8、 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。用 代表事件“第 i 次抽次品” ，iAi=1， 2。则所求概率为 61201)|()|()( 121121 APP9、已知 A、B 两个事件满足条件|，且 ，则 )()(BAPABPpAP)( )(BP。由 )()(1)()(1)( ABPABP得 pBP)

5、(10、设工厂 A 和工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 生产的概率是 。用 A 和 B 分别代表产品是工厂 A 和工厂 B生产的，C 代表产品是次品，则所求概率为 731024106)|()|(|)|( BCPAPA11、在区间(0，1) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 。56用 X 和 Y 分别表示随机抽取的两个数，则， .1010X，Y 取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以 1 为边长的正方形 ，其面积为 1，事件“ ”对应图中56YX阴影部分 A，

6、A 的面积为|2517412、 随机地向半圆 (a 为正常数) 内20xy掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为 。4半圆 也即样本空间的面积为20xay，所求事件对图中阴影部分即区域21)(mA 的面积为 ，故得所求事件概率421)(2aAm为12142)(amAP13、 若随机变量 在(1，6) 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率是 。012x6228.0546 2|duPP有 实 根14、已知连续随机变量 X 的概率密度函数|为 ，则 X 的数学期望为 121)( xexf；X 的方差为 。将 改写为 )(xf 2)/1(

7、2)(xexf可见 X 服从正态分布 ，所以 ，)1,(N1)(XE.21)(D15、设随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布。已知， ，则 X 落在duexx21)(938.0)52(区间(9.95 ，10.05)内的概率为 。9876.01)5.2().(1)5.2( )5.2(09.0. 01.1.9 PXP16、已知随要变量 X 的概率密度函数 ，xef21)(，则 X 的概率分布函数 。x 0,21)(xexFx17、 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2的泊松 (Poisson)分布，即 ，!2kekPk|，1，2，则随机变量 的0k 23XZ数学期望 。

8、)(ZE 42323)( X18、设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则数学期望 = 。2XeE 0202 341 dxdxeXEx19、设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 在(0，4)内概率分布密度2XY= 。)(yfY， 的反函数 ， .2x0yx40，2,12)(21|)(|)( yfyfyf XXY即 ， .yfY41)(4020、 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则的数学期望 = 。2X)(2XE， ， ，分 布服 从 )4.0,1(B4.014.260.1)(XD.18.4)(222 21、 设相互独立的两

9、个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为： 则20PX随机变量 的分布律为： 。YXZ,max，412000 YPP|4301ZP22、设 X 和 Y 为两个随机变量，且， ，730,P7YX则 = 。),max(记 ， .则XAYB， ，BA0),a( ABYX0,从而 7534,)()(),x(PYP23、设 ， 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则随机变量 21,0N的数学期望 。)(E记 。则 ZN(0,1)。从而 .22221| 00222 zzz ededezE24、 若随机变量 X 服从均值为 2，方差为的正态分布，且 ，则2 3.042P= 。0XP由于

10、 X 的密度函数关于 X=2 为轴对称。 故 ， ， 从5.0)2(P 3.042XP而.203.5202020 XPXPXP25、袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球。今有两人依次随机地从袋中各|取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。令 B=第一人取得黄球，则 =第一人取得白球；A= 第二人取得黄球. 据全概率公式B.5249031502)|()|()( BPPA26、 设平面区域 D 由曲线 及直线 ， ， 所围成，二维随机变量( X，Y )在xy1yx2e区域 D 上服从均匀分布，则 关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为 。),(Y区域 D 的

11、的面积为 ，故(X, Y)的联合概率密度为2|ln211eexdA(X,Y)关于 X 的边缘概率密度为其 它。yxyxf0),(21),(故 。exexdyyxff xX 其 它其 它 0,1,2,012),()( 241)(Xf27、 假设 ， ，那4.)(AP 7.0)(BAP么(1) 若 A 与 B 互不相容，则 )(BP；(2) 若 A 与 B 相互独立，则 )(BP。(1) .304.7)() PBP(2) 由 )()()() BPAPABA得 .504.1/.1/() 28、 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的8命中率为 。设命中率为 ，则至少命中一次概率为 ，由 ，)10(p 4)1(p10)(4p