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1、|概率论与数理统计复习大纲第一章随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事件互斥事件 AB= 也称不相容事件A，B 相互独立 P(AB)=P(A)

2、P(B)例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ）A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、AB D、A，B 构成对样本空间的一个剖分例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容事件的交 AB 或 AB事件的并 AB事件的差 A-B 注意： A-B = A= A-AB = (A B)-BB 例 1 设事件 A、B 满足 A =，由此推导不出 (D)BA、AB B、 C、AB=B D、AB=BA B例 2 若事件 B 与 A 满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A = D、B=B

3、 A事件之间的运算 A1,A2,An 构成的一个完备事件组( 或分斥)指 A1,A2,An 两两互不相容，且 Ai= i=1n 运算法则交换律 AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A (BC) 分配律(AB)C=(AC) (BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = = A B A B A B A B 文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论样本空间，必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A 事件全集中的一个子集A A 的对立事件 A 的补集AB 事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集A=B 事件 A 与事件 B 相等

4、A 与 B 相等AB 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集AB 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集A-B 事件 A 发生但事件 B 不发生 A 与 B 的差集|AB= 事件 A 与事件 B 互不相容（互斥） A 与 B 没有相同的元素古典概型的前提是 =1, 2, 3, n, n 为有限正整数，且每个样本点 i 出现的可能性相等。古典概型P(A)= =A包含样本总个数样本点总数 |A|例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1，最多为 2 个的事件 A2 的概率。解：每个球有 4 种放入法，3 个球

5、共有 43 种放入法，所以|=4 3=64。(1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A 1|= C 3！=24 ；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为43 2 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C C )，另有一个杯子恰有 1 个球41 32 (C C )，所以|A 2|= C C C C =36；则 P(A2)=36/64 =9/16 31 11 41 32 31 11 例 2 从 1,2,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1；(2) 三数之积为 21 的倍数的

6、概率 p2。解：p 1= = , p2= = 121 314例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y，那么，样本空间，S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件 A：”三段构成三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，几何概型前提是如果在某一区域任取一点，而所取的点落在中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A，则 P(A)= A的度量的度量解得 00)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。乘法公式：P

8、A A B 事件 A1,A2,An 相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,Aik 满足 P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中 k=2,3,n。可靠性元件的可靠性 P(A)=r系统的可靠性：串联方式 P(A1A 2A n)=rn并联方式 P(A1A 2A n)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行 n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种 A 与；各次试验是相互独立；每次试验的结果发A 生的概率相同 P(A)=p, P( )=1-p。A |二项概率-在 n 重独立试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p)，则b(k;n,

9、p)= C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。nk 第二章随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义：F(x)=Px, - a=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 例 1.设随机变量的分布函数为 F(x)= , 则 0 xb )2)指数分布 exp()；密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e-x x00 x0 ) 1-e-x x00 x0 )3)正态分布 N(,2)；密度函数 p(x)= e (-x+)12 -(t-)222分布函数 F(x)= e dt12 -x-(t-)222标准正态分布 N(0,1)，它的分布函数 (x)可查表得到，一般 F(x)=

10、( )。x-正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线，对称轴为直线 x=，y=0 是它的水平渐近线。|连续型例题例 1 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2= .解：因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2，于是 PX=EX2=PX=2= e 1 12例 2 设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间 EX 为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间 Y 的分布函数 F(y)。解: XE(), 因为 EX=1/=5 =1/

11、5, 每次开机无故障的时间 Y=minX,2,易见当 y0 时， F(y)=0；当 y2 时，F(y)=1；当 0y2 时，F(y)=PY y=P minX,2y=PXy=1-e-y/5。所以 Y 的分布函数 F(y)= 0 若 y01-e-y/5 若 0y21 若 y2 )随机变量的函数的概率分布1离散型的求法设离散型随机变量 X 的分布律为： ,则 X 的函数 Y=g(X)的分布律为：X x1 x2 xk P p1 p2 pk , 当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。Y g(x1) g(x2) g(xk) P p1 p2 pk 2连续型的公式法：设 X 为连续型随机变量，其密度函数

12、为 fX(x)，设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域, ，且 g(x)0，记x=h(y)为 y=g(x)的反函数，则 Y=g(X)的密度函数为 fY(y)=fX(h(y)|h(y)| y0 其它 )3连续型的直接变换法(分布函数法 )：FY(y)=PYy= Pg(x)y= PXS，其中 S=x|g(x)y，然后再把 FY(y)对 y 求导，即得 fY(y)fY(y)=dFY(y)/dy 当 FY(y)在 y处可导时0 当 FY(y)在 y处不可导时 )|随机变量的函数的概率分布的例题例 1 设 X 的分布律为：，求 Y=(X-1)2 的分布律。X -1 0 1 2P 0

13、.2 0.3 0.1 0.4解：先由 X 的值确定 Y 的值，得到，将 Y 的值相同的 X 的概率合在一起，得到 Y 的分布律X -1 0 1 2Y 4 1 0 1。Y 4 1 0P 0.2 0.7 0.1例 2 设随机变量 X 的分布函数为 FX(x)，求随机变量 Y=3X+2 的分布函数 FY(y).解：F Y(y)=PYy= P3X+2y= PX = FX( ) y-23 y-23例 3 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= ,求随机变量 Y=3X+2 的密度函数 fY(y).32x2 -1x10 其它 )解：用公式法：设 y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为

14、 x=h(y)= , -1 1 -1y5, |h(y)|= y-23 y-23 13则 Y=g(X)的密度函数为fY(y)= = = fX(h(y)|h(y)| y0 其它 ) 118(y-2)2 -1y50 其它 )例 4 设 X 在区间0,2上服从均匀分布，试求 Y=X3 的概率密度。解：因 XU0,2，所以 fX(x)= 。用分布函数法分段讨论：当 y0 时, 1/2 0x20 其它 )FY(y)=PYy= PX3y= 0，当 0y8 时, FY(y)=PYy= PX3y= PX = dx，f Y(y)= FY(y)= (y) = 3y12 1213 -23 ,当 y8 时,

15、FY(y)=PYy= PX3y= PX = dx =1，f Y(y)= FY(y)= 0. fY(y)= 3y02 12|第三章多维随机变量及其概率分布二维随机变量二维随机向量(,)的联合分布函数指 F(x,y)=Px,y0F(x,y)1 ; F(-,+ )= F(x,- )= F(-,y)=0; F(+,+ )=1; Px1x2,y1y2=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)二维随机向量(,)的边缘分布函数F(x)= Px=F(x,+), F(y)= Py=F(+,y)二维离散随机变量二维离散型随机变量及其概率分布 P=xi,=yj=pij , 其中

16、pij=1 且 pij0i=1j=1可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来表示的边缘分布列为 P=xi= pij = pi*j=1 的边缘分布列为 P=yj= pij = p*ji=1例 1 设二维随机向量（, ）的联合分布律为 1 21 1/6 1/32 1/4 则常数 = （）A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2答案： pij=1 所以 =1/4 , 选 B. i=1j=1二维连续随机变量二维连续型随机向量( ,)的分布函数 F(x,y)= p(u,v)dudv-x -y p(x,y) 称为随机向量( ,)的联合密度函数 p(x,y)0, p(x,y)dxdy=1 ,

17、=p(x,y)-+ -+ 2F(x)xy利用密度函数求概率 P(,)D=Dp(x)dxdy二维连续型随机向量( ,)的边缘分布 , p(x)，p (y) 称为边缘密度函数p(x)= p(x,y)dy p(y)= p(x,y)dx-+ -+ 条件分布离散型：在条件 Y=yj 下随机变量 X 的条件概率分布为PX=xi|Y=yj= = , i=1,2,PX=xi， Y=yjPY=yj pijp*j连续型：在条件 Y=y 下随机变量 X 的条件分布函数 FX|Y(x|y)与条件概率密度函数 fX|Y(x|y)分别为：FX|Y(x|y)= fX|Y(x|y) = x-f(u)fY(y) du f(x)

18、fY(y)例 1：设随机变量 X 在区间 (0,1)上服从均匀分布，在 X=x (0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0,x)上服从均匀分布，求：随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；解：X 的概率密度为 fX(x)= ，在 X=x (0x1)的条件下，1 0x10 其他 )Y 的条件概率密度为 f Y|X(y|x)= 1/x 0yx0 其他 )当 0yx1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x在其它点 (x,y)处，有 f(x,y) =0，即 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x,y) = 1/x 0yx10 其他 )

19、例 2：设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 概率分布为 PX=i=1/3 (i=-1, 0 1)，概率密度为 fY(y)= ，记 Z=X+Y，求 PZ1/2 | X=0。1 0y10 其它 )解：(1) PZ |X=0= PX+Y |X=0= PY = 1dy= . 12 12 12 01/2 12|二元正态分布二元正态分布 N(1,2,12,22,)的密度函数p(x,y)= exp- - + 12121-2 12(1-2)(x-1)212 2(x-1)(y-2)12 (y-2)222二元正态分布 N(1,2,12,22,)的边缘密度分布仍是正态分布 N(1,12) , N(2,22)

20、边缘概率密度为 fX(x)= e , fY(y)= e112 -(x-1)2212122 -(y-2)2222二元均匀分布(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布设 D 是 xOy 面上的有界区域，其面积为 A。如果二维随机变量(X,Y) 具有概率密度 f(x,y)= ，则称(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布。1A (x)D0 其他 )例 1:设 (X,Y) 服从区域 D：(x, y)：a xb, cyd上的均匀分布，求（1）(X,Y) 的联合概率密度 p(x, y)；（2）X, Y 的边际概率密度 pX(x) , pY(y) ;解：(1) f(x,y)= ;1(b-a)(d-c) axb

21、 cyd0 其他 )(2) pX(x)= p(x,y)dy = , pY(y)= p(x,y)dx=-+ 1b-a axb0 其他 ) -+ 1d-c cyd0 其他 )例 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)=A(B+arctan )(C+arctan )。试求：(1) 常数 A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。解：x2 y3由分布函数性质，得到 F(+,+ )=A(B+ )(C+ ), F(x,-)=A(B+arctan )(C- )=0,2 2 x2 2F(-,y)=A(B- )(C+arctan )=0, 解得 A= , B=C= . 即 F(x,y)= (

22、 +arctan )( +arctan )。2 y3 12 2 122 x2 2 y3(2) f(x,y) = = . 2F(x)xy 62(x2+9)(y2+4)例 2: 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Y1。.解：PmaxX,Y 1=PX1 且 Y1，因为 X 与 Y 相互独立，所以PX1 且 Y1= PX1PY1= = 。（这里 PX1= dx= ） 1313 19 01 13 13例 3:设二维随机变量(X,Y) 的概率密度为 f(x,y) = 1， 0x1， 0y2x0，其它 )求：(1) (X,Y) 的边缘概率密度 fX(

23、x), fY(y)；(2) Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z) 。解：(1) f X(x)= f(x,y)dy 1dy= 2x, 所以边缘概率密度 fX(x)= -+ =0x1 12x 2x 0x10 其它 )fY(y)= f(x,y)dx 1dx= 1- y, 所以边缘概率密度 fY(y)= -+ =0y2 y/21 12 1-y/2 0y20 其它 )(2) FZ(z)=P2x-yz= 1- =1- dx 1dy =1- (2x-z)dx= z - 2x-yz f(x)dxdy =0z/21 D1 1dxdy z/21 02x-z z/21 z24得到 FZ(z)= ，所以 Z 的

24、概率密度 fZ(z)=FZ(z)= 0 z0z-z2/4 0z21 z2 ) 1-z/2 0z20 其它 )|综上所述F(x,y)= 例 4 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= x2+cxy 0x1.0y20 其他 )求(1)常数 C; (2)PX+Y1;(3)联合分布函数 F(x,y).解：(1)由的概率密度性质得到1= f(x,y)dxdy= (x2+cxy)dxdy= +c c= ;-+ -+ 01 02 23 13(2)PX+Y1= =x+y1 f(x)dxdy D f(x)dxdy= dx (x2+ )dy= ( x3+ x2+ x)dx = 01 1-x2

25、xy3 01 56 43 12 6572(3) 当 x0 或 y0 时，F(x,y)= p(u,v)dudv=0;-x -y 当 0x1, 0y2 时，F(x,y)= p(u,v)dudv= (u2+ )dudv= + ;-x -y 0x 0y uv3 x3y3 x2y212当 0x1, y2 时，F(x,y)= p(u,v)dudv= (u2+ )dudv= + ; -x -y 0x 02 uv3 2x33 x23当 x1, 0y2 时，F(x,y)= p(u,v)dudv= (u2+ )dudv= + ;-x -y 01 0y uv3 y3y212当 x1, y2 时，F(x,y)= p(

26、u,v)dudv=1-x -y 解:(, )的联合分布与边际分布为 0 1 p0 3/10 3/10 6/101 3/10 1/10 4/10p 6/10 4/10若 F(x,y)=F(x)F(y)，则称随机变量与相互独立。几个充要条件：连续型随机变量与相互独立 p(x,y)=p(x)p(y) 离散型随机变量与相互独立 pij=pipj 二元正态分布 N(1,12,2,22,) 随机变量与相互独立 =0。X 与 Y 相互独立 f(X)与 g(Y)也相互独立。例：袋中有 2 只白球，3 只黑球,现进行无放回地摸球，定义： = 1 第一次摸出白球0 第一次摸出黑球 )= 1 第二次摸出白球0 第二次摸出黑球 )求:(1) （，）的联合分布；（2），的边际分布；（3），是否相互独立？因为p(0,0)=3/10p(0)p(0)=9/25所以与不独立。独立性例 2：设 A, B 是二随机事件；随机变量 X= Y=1 若 A出现-1 若 A不出现 ) 1 若 B出现-1 若 B不出现 )试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。

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