等腰三角形典型例题练习学习(含答案~)汇总.doc

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1、|等腰三角形典型例题练习2等腰三角形典型例题练习一选择题（共 2 小题）1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A5cm B3cm C2cm D不能确定2如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD和等边BCE ，连接 AE 交 CD 于 M，连接 BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二填空题（共 1 小题）3如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，

2、AC ，AB 上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则 DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 _ 三解答题（共 15 小题）4在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 EDF+EAF=180，求证 DE=DF5在ABC 中， ABC、 ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明DE=BD+EC36已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至

3、E，使 CE=CD连接 DE（1）E 等于多少度？（2）DBE 是什么三角形？为什么？8如图，在ABC 中， ACB=90，CD 是 AB 边上的高，A=30 求证：AB=4BD 9如图，ABC 中，AB=AC ，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且 BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF10已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE411 （2012牡丹江）如图 ，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、F

4、 、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 APPEAB，PFAC，CH AB，SABP= ABPE，S ACP= ACPF，S ABC= ABCH又 SABP+SACP=SABC， ABPE+ ACPF= ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则AB 边上的高 CH= _ 点 P 到 AB 边的距离 PE= _ 12数学课上，李老师出

5、示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE _ DB（填“”， “”或“=” ） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是： AE _ DB（填“”， “”或“ =”） 理由如下：如图 2，过点 E作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题5在等

6、边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为 1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果） 13已知：如图，AF 平分BAC，BC AF 于点 E，点 D 在 AF 上，ED=EA，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点M若BAC=2 MPC，请你判断 F 与MCD 的数量关系，并说明理由14如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD 的度数15如图，在ABC 中，AB=BC，ABC

7、=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、EF和 CF，求证：AE=CF16已知：如图，在OAB 中，AOB=90，OA=OB，在EOF 中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、BF 问线段AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由617 （2006郴州）如图，在 ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为E，F， CG 是 AB 边上的高（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上， （1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理

8、由18如图甲所示，在ABC 中，AB=AC ，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高） ，即 PD+PE=CF，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想 PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明7等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A 5cm B 3cm C 2cm D 不能确定解答： 解：C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 DD 到 AB 的距离即为 CD 长 CD=

9、53=2 故选 C2如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD 和等边BCE，连接AE 交 CD 于 M，连接 BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB 其中正确结论的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3分析： 由 ACD 和BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得ACE DCB，即可得 正确；由ACE DCB，可得EAC=NDC，又由 ACD=MCN=60，利用 ASA，可证得ACMDCN，即可得正确；又可证得CMN 是等边三角形，即可证得正确解答： 解：ACD 和BCE 是等边三角

10、形， ACD=BCE=60，AC=DC ，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACE DCB（SAS） ，AE=BD，故 正确；EAC=NDC，ACD=BCE=60， DCE=60，ACD=MCN=60，AC=DC， ACMDCN（ASA） ，CM=CN，故正确；又MCN=180 MCANCB=1806060=60，CMN 是等边三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正确故选 D二填空题（共 1 小题）3如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 上的点，DEAC ，EF AB，FDBC，则DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3 分

11、析： 首先根据题意求得： DFE=FED=EDF=60，即可证得DEF 是正三角形，又由直角三角形中， 30所对的直角边8是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF：AB=1 ： ，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答： 解：ABC 是正三角形，B= C=A=60，DEAC，EF AB，FDBC ， AFE=CED=BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE=FED=EDF=60， ，DEF 是正三角形， BD：DF=1： ，BD：AB=1：3 ， DEFABC， = ， DF：AB=1： ，DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3故答案为：1：3三解答题（共

12、 15 小题）4在ABC 中， AD 是 BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且EDF+ EAF=180，求证 DE=DF分析： 过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，根据角平分线性质求出 DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED= CFD，根据全等三角形的判定 AAS 推出EMDFND 即可解答： 证明：过 D 作 DMAB，于 M，DN AC 于 N，即EMD=FND=90 ，AD 平分BAC ， DMAB，DNAC，DM=DN （角平分线性质） ， DME=DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180 =180，AFD+NF

13、D=180，MED=NFD，在 EMD 和FND 中，EMD FND，DE=DF5在ABC 中， ABC、ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明 DE=BD+EC9分析： 根据 OB 和 OC 分别平分 ABC 和ACB，和 DEBC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答： 解：在ABC 中，OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，DBO=OBC， ECO=OCB，DEBC， DOB=OBC=DBO，EOC=OCB= ECO，DB=DO，OE=EC， DE=DO+OE，DE=BD+EC6已

14、知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由分析： 用（HL）证明 EBDFCD，从而得出EBD=FCD ，即可证明ABC 是等腰三角形解答： ABC 是等腰三角形证明：连接 AD，DEAB，DF AC， BED=CFD=90，且 DE=DF，D 是ABC 的 BC 边上的中点，BD=DC ，RtEBDRtFCD（HL） ，EBD= FCD，ABC 是等腰三角形7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E，使 CE=CD连接 DE（1）E 等于多少度？（2）DBE 是什么

15、三角形？为什么？分析： （1）由题意可推出 ACB=60，E=CDE，然后根据三角形外角的性质可知： ACB=E+CDE，即可推出 E 的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD 不但为 AC 边上的高，也是ABC 的角平分线，即得： DBC=30，然后再10结合（1）中求得的结论，即可推出DBE 是等腰三角形解答： 解：（1）ABC 是等边三角形， ACB=60，CD=CE，E= CDE，ACB= E+CDE， ，（2）ABC 是等边三角形，BDAC，ABC=60 ， ，E=30，DBC= E，DBE 是等腰三角形8如图，在ABC 中，ACB=90 ，CD 是 AB 边上的高， A=30求

16、证：AB=4BD分析： 由 ABC 中，ACB=90 ， A=30可以推出 AB=2BC，同理可得 BC=2BD，则结论即可证明解答： 解：ACB=90 ，A=30，AB=2BC，B=60 又CD AB， DCB=30，BC=2BDAB=2BC=4BD9如图，ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且 BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF分析： 过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，由平行线的性质得1=2，4= 3，再根据等腰三角形的性质可得B= 2，则B=1，于是有 DB=DG，根据全等三角形的判定易得DFG EFC，即可得到结论解答： 证明：过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，如图，1=2，4=3，AB=AC，B= 2，B=1，DB=DG，而 BD=CE，DG=CE，在 DFG 和EFC 中，DFG EFC，DF=EF10已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE