昆虫数量变化趋势的预测和控制问题.doc

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1、2004-2005 第二学期 数学模型课程设计2005 年 6 月 20 日6 月 24 日题目：昆虫数量变化趋势的预测和控制问题组员 1 组员 2 组员 3姓名学号专业成绩摘要：本文讨论的是昆虫数量的变化趋势与控制问题1根据题意，我们采用了 MATLAB 制图法绘制昆虫数量变化趋势的图形；2结合具体的经验我们假设了控制昆虫数量的方法；3根据题目的要求编写了程序并求解计算出结果；4最后对问题进行检验和误差分析。一 原题昆虫数量变化趋势的预测和控制问题 已知一种昆虫每 2 周产卵一次,6 周以后死亡。孵化后的幼虫 2 周后成熟，平均产卵 100 个。4 周龄成虫平均产卵 150 个。假设每个卵发

2、育为幼虫的概率为 0.12，幼虫发育为成虫的概率为 0.09，2 周龄成虫发育为 4 周龄的成虫的概率为0.2。（1） 假设开始时 02，24，46 周龄的昆虫数量相等，计算 2 周，4 周， 6 周，任意 2t（tN）周龄后昆虫的数目。（2） 讨论各个周龄昆虫数目变化的趋势。（3） 当昆虫的数目无限增多时，势必造成生态失衡，需控制其数目。是就药物控制下分析昆虫数目的变化趋势。当采用药物控制哪些周龄的昆虫？需控制到什么程度？二问题的分析 问题的第一、二步要求我们讨论并预测昆虫在各周龄段的数目变化及昆虫总数的变化趋势，可以一起分析求解。因为考虑到各个周龄段昆虫的相互关系，我 们可用 c 语言编程

3、求解出相应的数据，并通过 matlab 数据拟合函数方法将昆虫的总数和 t 拟合出一个函数关系，但由于软件的原因其中必定存在一定的误差， 但我们认为这对我们对昆虫数量变化趋势的预测不会有很大的影响。 问题的第三步，要求我们怎么样来控制昆虫的数量问题。当昆虫的数量无限增大的时候，其周围的环境的生态平衡可能会遭到破坏，所以。我们需要控制一 下昆虫的数量，遏制一下昆虫的数目的无限增长，使昆虫总数 s 趋向于稳定或改变数目的增长趋势为少量的降低而使昆虫的生存发展不会破坏生态平衡。我们从 题中观察发现，如果 02 周的幼虫被灭，根据题目假设，昆虫的数量将会大量 的解少。因为，当幼虫全死了以后的两周中，昆

4、虫的周龄段中将没有 24 周龄的昆虫，这就少了下一次这个周龄段的产卵的数量，而且还会在接着的四周后， 昆虫的周龄段中就没有了 46 周龄的昆虫，这也是使昆虫少了这个周龄段的产 卵的数量，这样昆虫在这四周内就减少了大量的昆虫数量，而且还影响着以后昆虫的数量发展。所以，我们认为用药物控制卵或 02 周龄段的昆虫的存活率的 在控制昆虫总数量的效果是非常好的。三模型的假设1.由题意假设，开始时 02，24，46 周龄的昆虫数量相等的，且为 a；2.假设同一周龄段的昆虫是同时由这个周龄段变到下一个周龄段的，且昆虫产的卵是会时同孵化的； 3.假设昆虫由一周龄段变化到下一周龄段的概率是不变的，且 24，46

5、 周龄的每只昆虫的产卵数是固定不变的；4.假设昆虫的自然死亡率已经包含在昆虫由一个周龄段到另一个周龄段的成活概率中，不考虑个别时期昆虫的存活率非常高的情况，只考虑题中所提供的生存概率；5.6.假设药物的效果非常好，能准确地达到我们指定的杀虫效果。昆虫的数量在固定的一定范围内是不会影响生态平衡。四文中用到的符号及说明yij： 第 j 周 i 周龄段的昆虫的数目（i=1，2，3；j=1，2，）si: 第 2i 周各个周龄段的昆虫的数目之和（i=1，2，）；2t： 经过星期个数；a： 刚开始时各周龄段昆虫的数量k： 昆虫在药物的控制下由卵发育成幼虫的概率；五模型的建立及求解（一）昆虫数量变化的预测（

6、1）由假设可知，昆虫的数量变化只跟个周龄段间的成活概率有关，因此。 我们只要考虑各周龄段的这种关系即可求解过两周后的昆虫数量。我们设刚开始时，各周龄段的昆虫数量均为a 只，则 y11=（100*a+150*a）*0.12=30a；y21=0.09*a=0.09a； y31=0.2*a=0.2a；则s1=y11+y21+y31=30a+0.09a+0.2a=30.29a；即2 周后的昆虫数量为30.29a。 （i）同理，我们可以继续求解4、6 周后的昆虫的数量之和；但为方便求解本模型，下面我们用c 语言计算2t（tN）周后昆虫的总数量。 为了程序运算简便，我们不防设昆虫各周龄段的初始值均为1，c

7、 语言程序运算如下：main() float y3=1,1,1,a3; int i,n;printf(“input the number n=n”);scanf(“%d”,&n); for(i=0;i8以后，s 随着 t 的单调递增，且当 s 随 t 的增加其增加的数越来越大。显然当 t 趋向于无穷大的，昆虫的总数量也必趋向于无穷大；而问题叫我们求解 2t（tN）周龄后昆虫的数目，我势必要建立起s与t的函数关系我们再次根据表（1）（2）的数据运用 matlab 多项式函数拟合：a=polyfit(xdata,ydata,n)来拟合该 s 关于 t 的函数；下面 matlab 拟合函数程序如下：

8、 t=(1:20); s=30.2900 7.3980 33.6852 17.8038 38.777030.1421 47.6476 45.1172 61.2254 64.164480.7414 89.134 107.9900 122.4256 145.5088167.2084 196.8154 227.7299 266.7361 309.7165 ; p=polyfit(t,s,2)p =1.0233 -7.6971 38.4827 既可得 s 与 t 的函数：s=38.4827a-7.6971t*a+1.0233t*t*a（0=t ti=linspace(0,20,200); si=pol

9、yval(p,ti); plot(t,s,o,ti,si)得图（2）：图（2）由图观察可得拟合函数和原散点图还是比较接近的.但这样所得的函数只使用于40 周内的昆虫数量和时间 t 的函数关系。 当然，我们也可以算得更多的数值，来拟合适合更长时间 t 的 s 和 t 的函数关 系。（2）根据表格（1）（2）我们用 matlab 可画出 y1j，y2j，y3j 关于时间 t 的图象如下：图（3），图（4），图（5）所示：图（3）图（4）图（5）由图观察可得。我们发现各个周龄段和时间 t 所成的图大致相同，当 t 趋向去无穷大的时候。各周龄段的昆虫都趋向于无穷大，且 y1j 随 t 变化而变化的值y

10、2jy3j;由此可见，如果昆虫按这种方式生存下去。起数量变得越来越大。势必违背了自然的发展规律，破坏整个环境的生态平衡；（二）昆虫数量的控制问题假设昆虫在生长了 n 周以后，其总数目达到周围所能承受的最大 数值，如果，昆虫的数目再增加的话，其将会破坏环境的生态平衡。 根据模型我们要在这个时期用药物对昆虫的数量进行控制。假设这时 02周的昆虫数目为 b，则 y2n0.09b,y3n0.018b；为了运算方便，我们不妨令 y2n=0.09b，y3n=0.018b；既昆虫的总数为 1.108b；则要想此时昆虫的数目趋向 稳定。我们令昆虫的卵在药物的控制下，变成幼虫的概率变为 k，使昆虫在接下来 的时

11、间内，昆虫总数不超过原来的昆虫总数， 两周后y1=（100*0.09b+150*0.018b）*k=b；即11.7k=1k=1/11.7k=0.08547则我们用药物控制卵变化成幼虫的概率，使其 k=0.08547，昆虫的总数目将不再增加，当可概率 k 再减少的时候，昆虫的总数也跟着开始减少。这样就达到了控制昆虫的总数量的效果，从而使昆虫的生存发展不会影响到其周围的生态平衡六模型的误差分析由于模型假设的存在，我们的计算结果必存在一定误差，特别在（一）昆虫数量变化的预测中，在运用多项式拟合函数方法求 s 和 t 的函数关系，有着一定的误差，且这种方法存在一定的局限性。在模型求解（二）昆虫数量的控制问题的时候，在计算过程中也存在着一定的误差。参考文献姜启源，谢金星，叶俊。数学模型。高等教育出版社，2003苏金明，张莲花，刘波等。MATLAB 工具箱。电子工业出版社，2004宋兆基，徐流美等。MATLAB6.5 在科学计算中的应用。清华大学出版社，2005全国大学生数学建模竞赛 优秀论文汇编。中国物价出版社，2002