2022矩阵三角分解开题报告.docx

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1、第 1 1页共 9 9页20222022 矩阵三角分解开题报告矩阵三角分解开题报告矩阵三角分解开题报告范文篇一：矩阵三角分解的探讨在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及矩阵理论的学问，许多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵来解决。经查阅发觉，目前关于矩阵三角分解的应用探讨不少，但对三角分解缺乏系统的探讨。矩阵三角分解法是指高斯消去法解线性方程组的变形解法。其实质就是将系数矩阵 A 分解为两个三角形矩阵 L 和 U 相乘，即 A=LU。一、矩阵的干脆三角分解矩阵的直角三角分解即可以不经过消元步骤，干脆将矩阵进行分解。定义 1 设 ARnn，若 A 能分解为一个下三角矩阵 L 与一个上

2、三角矩阵 U 的乘积，即 A=LU，则称这种分解为矩阵 A 的.三角分解。（1）假如 A 可分解为 A=LDU，其中 L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称 A 可作 LDU 分解；第 2 2页共 9 9页（2）假如在 A=LU 中，L 是单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则称此三角分解为杜利特（Doolittle）分解；（3）假如在 A=LU 中，L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称此三角矩阵为克劳特（Crout）分解。定理 1 n 阶方阵 A 非奇异的充要条件为（或 A 经行、列变换后）存在 LDU 分解。其中 L 为 n 阶单位下三角矩阵，D 为 n 阶

3、非奇异对角阵，U 为 n 阶单位上三角矩阵。推论 1 奇异矩阵不能进行 LDU 分解。推论 2 若矩阵 A 有奇异主子矩阵，则 A 不能干脆进行 LDU 分解。篇二：矩阵三角分解第 2 章 线性代数方程组数值解法 I：干脆法1.矩阵事实上，依次 Gauss 消去过程对应一个矩阵的三角分解，即对 Axb的依次 Gauss 消去过程的结果，把矩阵 A 分解成两个三角矩阵 L 与 U的乘积：ALU 下面来证明这一点.依次取第 k 步消元的乘法(k)(k)第 3 3页共 9 9页likaik(ik1,k2,n)/akk(k1)(k)(k)则干脆验证可知,第 k 步消元(aij)的结果等价于对Ak 左乘

4、 Lk:aijlikakjA(k1)LkA(k)于是,经过 n1 步消元,应有u11 u12 u13u22 u23Ln1L2L1AU U(2.3.1)u33这里 U 为上三角矩阵，另外，又简单干脆验证 Lk 有下列两个基本性质：(1)Lk 的逆阵存在，且有1111l Lk1,kk(2.3.2)1lnk1(2)逆阵 Lk 的乘积1第 4 4页共 9 9页1l21111L1L2Ln1=L（单位下三角矩阵）（2.3.3）1ln1ln1111从而对(2.3.1)式两端依次左乘 Ln1,L2,Lk 可得 111U=LU AL1L2Ln1L 就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。这就是矩阵的三角分解或

5、称 LU分解。ALU 称为 A 的 doolittle 分解ALULDU=LU 称为 A 的克劳特分解ALDU 称为 A 的 LDU 分解对于于有选主元和换行步骤的 Gauss 消去过程，也可证明它对应于“A 左乘排列矩阵 P 的 LU 分解”，即有 PA=LU。例 2.3.1 用干脆三角分解法解方程组（2.1 节中的实例）2 3 2x101 x 12 2243 1 7x3第 5 5页共 9 9页解 把解法分为 3 个步骤：令 A=LU，用 Doolittle 分解，即令u11 u12 u13 2 3 2112 2 l lu u21222341u33 3 1 l31 l32考虑 A 的第 1

6、行，对比右边两矩阵的乘积，有21u11u11231u12u123 21uu21313此结果即 U 的第 1 行与 A 的第 1 行全同，这对一般情形也是适用的，因此，在分解计算中，此结果也可干脆写出。接着，再依次考虑A 的第 1 列、第 2 行、第 3 列(除去已考虑过的元素)，作同样比较有l211/21l21u113lu l3/23111312l21u12 1u22 u221/22l21u13 1u23 l233第 6 6页共 9 9页1l31u12l32u22 l3274l31u13l32u231u33 u332812 3 21/2 11/23 即得 A128 3/2 7用前推过程解下三角

7、方程组1y10y101/2y 1 得 y 1 1221 3/2 7 714y3y3用回代过程解上三角方程组x12 3 2 x10 2x 1 得 x1 1/232228 141/2x3x3下面以不包括选主元和换行的 Doolittle 分解为例，给出解 n 阶方程组 Axb 的一般计算公式及整个求解过程（分 3 个步骤）令 ALU，即令a1n 1 u1na11 a12 u11 u12第 7 7页共 9 9页a a l1 au u2121222n222nl l 1a a aun1n1n2nnnnn1利用矩阵乘法规则,并对比等式两边对应元素,由 A 的第 1 行得a1j1u1j(j1，2，n)a1j

8、u1j(j1，2，n)(2.3.5)由 A 的第 1 列（除第 1 行元素外）得ak1lk1u11(k2，3，n)lk1ak1/u11(k2，3，n)(2.3.6)依此类推，由 A 的第 k 列（1kn）（除前 k1 列元素外）得akjlkrurjukjr1k1ukjakjlkrurj(jk，1，n)r1k1(2.3.7)由 A 的第 k 列（1kn）（除前 k 列元素外）得第 8 8页共 9 9页aiklirurklikukkr1k1lik(aiklirurk)/ukk(ik1，n)r1k1(2.3.8)求解下三角方程组 Lyb 得y1b1i13，n)yibiliryr(i2，r1求解上三角

9、方程组 Uxy 得xnyn/unnn，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1，ri1这就是用干脆三角分解法求解方程组的公式，其中第步中的前第 9 9页共 9 9页两个公式也可合并入后两个公式；第，步中的前一公式也可并入后一公式，这时当公式中出现和r10rn1n时均不执行计算，作零处理（在列主元 Gauss 消去法一节中已提过这个附注）。n3可以推出，Doolittle 算法的乘除法次数大致为，与 Gauss 消 3去法大致相同，故就计算量而言，采纳 Doolittle 算法解方程组并无特殊优势（因为我们已拥有相当高效的列主元 Gauss 消去法）。应用中，主要借助干脆三角分解法的处理方法来处理具有特别状况的方程组。这就是下一节要介绍的解三角方程组的追逐法和解对称正定方程组的平方根法。本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！