八年级-上全等三角形专栏讲解.doc

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1、|CE O DBA21CEDBA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下 4 种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS” ）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS” ）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA” ）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上 4 种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边” ，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL” ） 也就是说 “斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等

2、的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例 1 已知：如图 1，CEAB 于点 E，BDAC 于点 D，BD、CE 交于点

3、 O，且 AO 平分BAC 那么图中全等的三角形有 _对分析：由 CEAB，BDAC，得AEO=ADO=90由 AO 平分BAC，得EAO=DAO 又 AO 为公共边，所以AEO ADO所以 EO=DO，AE=AD又BEO=CDO=90，BOE=COD，所以BOECOD 由AE=AD，AEO=ADO=90，BAC 为公共角，所以EACDAO所以 AB=AC又EAO=DAO， AO 为公共边，所以 ABOACO 图 1所以图中全等的三角形一共有 4 对（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的

4、基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例 2 如图 2，已知 AB=AD， 1= 2，要使ABCADE，还需添加的条件是（只需填一个）_|21 43COBAGA BFDEC分析：要使ABCADE，注意到1=2，所以1+DAC=2+DAC，即BAC=EAC要使ABCADE，根据 SAS 可知只需 AC=AE 图 2即可；根据 ASA 可知只需B= D；根据 AAS 可知只需C=E故可添加的条件是 AC=AE 或B=D 或C=E（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关

5、系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例 3 已知：如图 3，AB=AC，1= 2求证：AO 平分BAC分析：要证 AO 平分BAC，即证BAO=BCO，要证BAO=BCO，只需证BAO 和BCO 所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明 BO=CO 即可证明：连结 BC因为 AB=AC，所以ABC ACB因为1=2，所以ABC -1ACB -2 图 3即3=4，所以 BO=CO因为 AB=AC，BO=CO，AO=AO ，所以ABOACO所以BAO=CAO，即 AO 平分BAC （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题

6、中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形 例 4 已知：如图 4，在 Rt ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC的中点，CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF求证：ADC=BDF 证明：过 B 作 BGBC 交 CF 延长线于 G，所以 BGAC 所以G= ACE因为 ACBC，CEAD，所以ACE= ADC所以G=ADC因为 AC=BC，ACDCBG=90，所以 图 4ACDCBG所以 BG=CD=BD因为CBF=GBF=45，BF=BF，所以GBF DBF所以 G=BDF所以ADCBDF 所以ADCBDF说明：常见的构造三角形全等的方法有如

7、下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等|ODACBFCEDBACEDBAAO QM CPBNHFEG ADCB三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例 5 要在湖的两岸 A、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量 A，B 两点间的

8、距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图 5 (3)计算 A、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题，测量图案如图 5所示第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点 O，在 AO 的延长线上取一点 C，并测得 OC=OA，在 BO 的延长线上取一点 D，并测得 OD=OB，这时测得 CD 的长为 ，则 AB 的长就是 第(3)题易证AOBaaCOD，所以 AB=CD，测得 CD 的长即可得 AB 的长解：(1)如图 6 示(2)在陆地上找到可以直接到达 A、B 的一点 O

9、，在 AO 的延长线上取一点 C，并测得 OCOA，在 BO 的延长线上取一点 D，并测得 ODOB，这时测出 CD 的长为 ，则 AB 的长就是 aa(3)理由：由测法可得 OC=OA，OD=OB 又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 图 6a评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识练习：1已知：如图 7，D 是ABC 的边AB 上一点，ABFC，DF 交 AC 于点 E，DE=FE 图 7求证：AE=CE 2如图 8，在ABC 中，点 E 在 BC 上，点D 在 AE 上，已知ABD= ACD，BDE=CDE求证：B

10、D=CD 图 83用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图 9 所示，先在AOB 的两边上取 OP=OQ，再取 PM=QN，连接 PN、QM，得交点 C，则射线 OC平分AOB你能说明道理吗？ 图 94如图 10，ABC 中，AB=AC ，过点 A 作|A DCPBADC FB E AD CBAODCBAFCGBEAF DCB EGEBC ，角平分线 BD、CF 相交于点 H，它们的延长线分别交 GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 图 105已知：如图 11，点 C、D 在线段AB 上，PC=PD 请你添加一个条件，使图中存在全等三

11、角形，并给予证明所添条件为_，你得到的一 图 11对全等三角形是_ 6如图 12，1=2，BC=EF，那么需要补充一个直接条件_（写出一个即可） ，才能使ABCDEF 图 127如图 13，在ABD 和ACD 中，AB=AC，B= C 求证：ABDACD 图 138如图 14，直线 AD 与 BC 相交于点 O，且 AC=BD，AD=BC求证：CO=DO 图 149已知ABC，AB=AC，E 、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF交 BC 于 G求证：EG=GF 图 1510已知：如图 16，AB=AE，BC=ED，点 F 是 CD 的中点， AFCD求证：B=E 图

12、 1611如图 17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(A)带和去 (B)带去 (C)带去 (D)带去 图 1712有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图 18 中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理 图 1813如图 19，将两根钢条 AA、BB 的中点 O 连在一起，使AA、BB 可以绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工件，则 A B的长等于内槽宽 AB，那么判定OABOAB 的理由是（ ）（A）边角边 （B）角边角|43OED CBA21FE DCBA

13、21（C）边边边 （D）角角边 图 19专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例 6 如图 20，12，AEOB 于 E，BDOA 于 D，交点为 C 求证：AC=BC 图 20证法：AEOB，BDOA ，A

14、DC= BEC= 9012，CD=CE在ACD 和BCE 中，ADC=BEC，CD=CE，34ACDBCE(ASA)，AC=BC说明：本题若用全等方法证明点 C 到 OA、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法例 7 已知：如图 21，ABC 中，BD=CD ，12求证：AD 平分BAC证明：过 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F 图 21在BED 与CFD 中，12，BEDCFD ，BD=CD ，

15、90BEDCFD(AAS) DEDF ，AD 平分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形过角平分线上一点作两边的垂线段例 8 如图 22，ABCD，E 为 AD 上一点，且 BE、 CE 分别平分ABC、BCD求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点 E 是两条角| AFHDCGBEAD CBEAFD CBECEBAD平分线的交点，因此我们自然想到过点 E 分别作 AB、BC、CD 的垂线段证明：过点 E 作 EFAB，交 B

16、A 的延长线于点 F，作 EGBC ，垂足为 G，作 EHCD，垂足为 HBE 平分ABC，EFAB， EGBC，EF=EG同理 EG =EHEF=EHABCD ，FAE= DEFAB ，EHCD，AFE=DHE=90 图 22在AFE 和DHE 中，AFE=DHE，EF=EH，FAE=DAFEDHEAE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例 9 如图 23，在ABC 中，AD 平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 AB分成 AE 和 BE 两段，只需证

17、明 BE=CD 就可以了证明：在 AB 上截取 AE=AC，连接 DEAD 平分BAC，EAD= CAD 图 23在EAD 和 CAD 中，EAD=CAD，AD=AD ，AE=AC ，EAD CADAED=C，CD=DEC=2B ，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CD AB=AE+BE，AB=AC+CD延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例 10 如图 24，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于 E求证：ACE=B+ECD分析：注意到 AD 平分BAC，CEAD，于是可延长 CE 交 AB 于点F，即可构造全等三角形证明：延长 CE 交 AB 于点

18、FAD 平分BAC，FAE= CAECEAD，FEA=CEA=90在FEA 和CEA 中，FAE=CAE ，AE=AE ，FEA=CEA 图 24FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图 25，在ABC 中，AD 平分BAC，过点 D 作|CFEBADQP CBACBADCEBADCBA D4321CEBADDEAB，DE 交 AC 于点 E易证AED 是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 图 25例 11 如图 26，在ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC ，DEBD 于D，交 BC

19、于点 E求证：CD= BE21分析：要证 CD= BE，可将 BE 分成两条线段，然后再证明 CD 与这两条线段都相等证明：过点 D 作 DFAB 交 BC 于点 FBD 平分ABC ，1= 2DFAB ， 1=3，4= ABC 图 262=3，DF=BF DEBD，2+DEF=90，3+5=90DEF=5 DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DF CD=EF=BF，即 CD= BE21练习：1如图 27，在ABC 中，B=90，AD 为BAC 的平分线，DFAC 于 F，DE=DC求证：BE=CF 图 272已知：如图 28，AD 是ABC 的中线，DEAB 于 E，DFAC 于

20、F，且 BE=CF求证：（1）AD 是BAC 的平分线；（2）AB=AC 图 283在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P， BQ 平分ABC 交 AC 于 Q求证：AB+BP=BQ+AQ 图 294如图 30，在ABC 中，AD 平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 图 305如图 31，E 为ABC 的A 的平分线AD 上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 图 316如图 32，在四边形 ABCD 中，BCBA，AD=CD，BD 平分ABC 图 32求证：A+ C=180|FCEBADC E BADCBADACB DACFEBMD7如图 33

21、所示，已知 ADBC，1=2，3=4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D，交BC 于点 C求证：AD+BC=AB 图 338已知，如图 34，ABC 中，ABC=90，AB=BC，AE 是A 的平分线，CDAE 于 D求证：CD= AE 图 34219ABC 中，AB=AC，A=100，BD 是B 的平分线求证：AD+BD=BC 图 3510如图 36，B 和C 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DE BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点E，若 BD+CE=9，则线段 DE 的长为（ ）A9 B8 C7 D6 图 3611如图 37，ABC 中，AD 平分BAC，AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点求证：AB=AC 图 3712已知：如图 38，ABC 中，AD 是BAC的平分线，E 是 BC 的中点， EFAD，交 AB 于 M，交 CA 的延长线于 F求证：BM=CF 图 38