线代第三章习题解答.doc

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1、|第三章 行列式习题 3.13-1-6.用定义计算行列式（1） 2,10,022114 idcbadcbaDii解：设 则 中第 1 行的非 0 元为 ，故44ij 131,b,3j同法可求： 234,;,;,j 可组成四个 4 元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，431,jj故 中相应的非 0 项有 4 项，分别为 ， ，4Ddbca,cdab21cadb其代数和即为 的值，整理后得 4121214cD(2)0.02.0nD解：由行列式的定义 121212()nnnjjjj a 仅当 分别取 2，3,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12,n

2、jj 112 1() (231)23)()!n nj nnjjDaa |习题 3.23.2-2.证明(1) 0sinco2si22证明:222222213cosincsicossinonii i左 0(2) 322)(1baba证明: 2322 21 ()()()101c abab 左 右)(ba(3) 1211221100nnnnnxxaxaxxaa 证明: 按最后一行展开，得 1 2100001() ()001n nxxaax x 左|3 212000(1) ()10001n nx xa axx 210() 100nxax 2222121()()()()(nnnnnnxaaxa122nna

3、xx 右3=2-3计算下列行列式（1）11100()()xaaxxaxnxn )1()(1aan(2) 111 (1)211()()nn nnn nnnaaaaD （最后一行（n+1）行依次与第 n,n-1,2,1 行交换，经过 n 次交换；再将新的行列|式的最后一行（即原来的 n 行）依次换到第二行，经过 n-1 次交换；。 。 。 。最后一共经过 次换行。使原行列式化为范德蒙德行列式）(1)(1).2n nji nji njinniaj0 002)1( )()(3) 1 1112 11 1(21)00n nnnn n nnn nababDccdcd d 按 展 开1 121 2(1)2(1

4、)1 12100() 0nn nnn nnbacbadDcbcd )(2(Dbcda 112Dniiibcda1)（4） 解：按第一列展开行列式 ，得| 11 10. 00().000nn nn nxyxyyxDxyyyx x 111()()nnnxy（5）当 时，11Dab当 时，2n11212121212 211222()ababbaa当 时3n11211211212222 212 212n n nnnnnnnnabababbabD 1212112 222200,3.in nn n nnababacb 习题 3.33-3-1 利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵（1） cosiniA1112212:

5、0cos,sin,si,cosAAA解 存 在 。| 1*cosincosincosin,iA12345B102123.4645解 ： det=其 逆 矩 阵 存 在112132122331323* 020036,467AAAAABB ， ， ， ， ， ， ， ， ，（3 ） ，其中abcd0abc解： 逆矩阵存在又 112212,AdcAba故 1abdbcdca3-3-2 设矩阵 ， ， 求 ， ，2513A4621BAB1解： ， ， 存在8760B0由 ，所以1352A13512A又 存在，且 ，故0B1B1624|1/6/1846B3-3-3 设 为可逆矩阵，证明A*1*()A证明

6、： 可逆， 且逆矩阵为 ， 01AI*1A由于 ， 可逆且 可得1*()1()另一方面，由 *11()AAI由矩阵可逆定义知， 可逆，且*1*()3-3-4 设 ，证明：0k121()kII证明： 若 ，则AB212121()k kkI IAAA 原式得证k3-3-5 设方阵 满足 ，证明 及 都可逆，并求A20I2I11,()I解： 22 10()()2IAIAI显然 可逆且 可逆 A1()0且 ， 22II2I即 可逆， 由 ，于是211()A由 得，20AI()34(2)34II|， 故 1(2)(3)4AII1(2)(3)4AIIA3-3-6.用克拉姆法则解方程组（1）123x解：01

7、02123D140031312134012D3221363D312423DDxxx3-3-7 问 取何值时， 有非零解？132()40()xx解： 32124313721Dc()(7)313)42(1)2()7(732当 时，即 时，有非 0 解0D(0|即 ， 或 时，有非 0 解032习题 3.43-4-1 求矩阵的秩与标准形矩阵 1213 332 21961 3238241406489020 130rrr ri 秩 为（2） 3212 434 154 110087832rr 32110100c 为 标 准 形 。秩为 2（3）| 43213 2410011022 43 66rr 2 433 5421431()01210021601r cc 为 标 准 型 。易知，秩为 4。3-4-2答：在秩为 的矩阵中，有等于零的 阶子式，没有等于零的r1r阶子式，没有不等于零的 阶子式。r 13-4-3证明：任何秩为 的矩阵均可表示为 个秩为 1 的矩阵之和。rr证：设 A 为 mn 矩阵，且 R（A ）= 。故 A 必与矩阵 B 等价。行第 rB00100 即 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A=PBQ。