空间点线面之间的位置关系(一).doc

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1、一、空间点线面之间的位置关系考试要求：1、 熟练掌握点、线、面的概念；2、 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；知识网络：知识要点：1、公理（1）公理 1：对直线 a 和平面，若点 A、Ba , A、B，则 （2）公理 2：若两个平面、有一个公共点P，则、有且只有一条过点P的公共直线 a（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系

2、：相交、平行、异面3、异面直线所成角的范围是 00900 例题解析例1、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值.分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种:（1）三个平面相互平行（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交（3）三个平面两两相交且交线重合（4）三个平面两两相交且交线平行（5）三个平面两两相交且交线相交例2、如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：例3、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 能力提升训练1已知A、B表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ）

3、（A） （B） （C）（D） 2一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面 3如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BDm，则MN _ 4. 下列命题中正确的个数是（）若直线上有无数个点不在平面内，则若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A1235. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（）内的所有直线与异面 内不存在与平行的直线内存在唯一的直线与平行

4、内的直线与都相交6. 已知，是三条直线，角，且与的夹角为，那么与夹角为7. 如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共条（第7题图） （第10题图）8. 如果，是异面直线，直线与，都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个9. 已知两条相交直线，则与的位置关系是10. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？11. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行与是异面直线与成角与垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）， ， ，12. 下列命题中，正确的个数为（ ）两条直线和第三条直线成等角，

5、则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形012313. 在空间四边形中，分别是，的中点，则与的大小关系是14. 已知是一对异面直线，且成角，为空间一定点，则在过点的直线中与所成的角都为的直线有条15. 已知平面，是平面外的一点，过点的直线与平面分别交于两点，过点的直线与平面分别交于两点，若，则的长为16. 空间四边形中，分别是，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是17. 已知正方体中，分别为，的中点，求证：（），四点共面；（）若交平面于点，则，三点共线二、直线与

6、平面平行、平面与平面平行考试要求：1、 掌握线面、面面平行的性质2、 掌握线面平行的证明方法3、 掌握面面平行的证明方法知识要点：1、 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、 直线和平面平行的判定及性质（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行）3、 两个平面的位置关系：平行、相交4、 两个平面平行的判定与性质（1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

7、（2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线公垂线夹在平行平面间的部分叫做这两个平面的公垂线段两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离 例题解析例1、如图，在三棱锥P-ABC中，点、D分别是AC、PC的中点，求证： OD/平面PAB例2、如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行 四边形，求证：MN/平面PAD例3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD/平面CB1D1例4、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,其

8、棱长为1.求证:平面AB1C平面A1C1D.变式拓展：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN平面EFDB.例5、已知正方体ABCD-ABCD中,面对角线AB、BC的中点分别为点E、F,且BE=CF.求证:(1)EF平面AACC;(2)平面ACD平面ABC.例6、已知平面，P且P，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D，且PA=6，AC=9，PD=8,求BD的长.提示：例7、在正方形中，已知正方体的棱长为，M、N分别在其对角线AD1与DB上，若AM=BN=x。 （1）求证：MN/平面C

9、DD1C1；（2）设MN=y，求y=f(x)的表达式；（3）求MN的最小值，并求此时x的值；（4）求AD1与BD所成的角。 能力提升训练1是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定的是：_(填序号)(1)a，b是平面内的直线，且a/，b/; (2)内不共线的三点到平面的距离相等; (3)都垂直于平面 ; (4)a，b是两条异面直线，且均与平面平行;2. 下列命题正确的是：_(填序号)（1）平行于同一条直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两个平面平行；（4）与同一直线成等角的两个平面平行；3下列命题，其中真命题的个数为 .直线l平行于平面内的无数条直线，则

10、l；若直线a在平面外，则a;若直线ab,直线b,则a；若直线ab,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.4设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若ln且mn，则lm； 若l且m，则lm；若n且n，则； 若且，则；其中正确命题的序号是_(把正确命题的序号都填上).5.下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平

11、面MNP/平面A1BD 7如图，在正三棱锥中，、分别是棱、上的点，且，是的中点.求证：平面平面；求证：平面8已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点, M是 PC的中点,在 DM 上取一点G, 过 G 和作平面交平面于，求证: AP / GH BHGMDPCA三、直线与平面垂直、平面与平面垂直考试要求：4、 掌握线面、面面垂直的性质5、 掌握线面垂直的证明方法6、 掌握面面垂直的证明方法知识要点：1、线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

12、。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式： 。注意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2、线面垂直的定义如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面垂直，记作l。3、线面垂直的判定及性质 （1）判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。（2）性质 垂直于同一平面的两条直线平行。4、线面角 直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平

13、面所成的角。 特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0的角，5、二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角l。二面角的取值范围是。 6、面面垂直的判定及性质 （1） 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”。（2） 性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例题解析例1、已知，如图正方体中求证：A1B1C1D1ACBD例2、在正方体AB

14、CD-A1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.例3、如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB=5,AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值例4、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=1，M是PB的中点。证明：面PAD面PCD例5、已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形， 平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED平面PAB；（2）求二面角PABF的平面角的余弦值. 例6、 如图所

15、示，在斜边为AB的RtABC中，过A作PA平面ABC，AMPB于M，ANPC于N。 （1）求证：BC面PAC；（2）求证：PB面AMN；（3） 若PA=AB=4，设BPC=，试用tan表示AMN的面积，当tan取何值时，AMN的面积最大？最大面积是多少？ 能力提升训练线面垂直练习1、下列命题中正确的序号是： （1）若，则 (4)若，则（2）若，则 （5）、若，则（3）若，则 2、与两条异面直线同时垂直的平面有_个3、若m、n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为_n；mn；mn；n4、PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是_(填序号)PA

16、BC；BC平面PAC；ACPB；PCBC5、P为ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影(1)若P到ABC三边距离相等，且O在ABC的内部，则O是ABC的_心；(2)若PABC，PBAC，则O是ABC的_心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是ABC的_心6、如图所示，在正三棱柱中，底面边长和侧棱都是2，D是侧棱上任意一点E是的中点（1）求证：（2）求证：7、已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥ABCD，如图所示求证：；8、（2011江苏高考改编）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，

17、BCD=900 ， 求证：PCBCABCS9、如图，在四面体SABC中，SA=SB=SC，ASC=90，ASB=BSC=60，若为中点，求证：10、(2011.湖北高考第18题)如图，已知三棱柱中，和为边长2正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且，求证：PACBFE11、如图，PA=BC=6，AC=8，PC=AB=10，点E在线段AB上，CE平面PAB，F是线段PB上一点，CF=。（1）求证：PCBC；（2）求证：PB平面CEF。ABCDEFMN12、如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面.(1)求证：；(2)设点为线段的中点，点为线段的中点求证：平面 PBCDFA

18、E13、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点。（1）求证：CDPD；（2）求证：EF平面PAD；（3）直线PD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？ABCHMP14、如图，四面体ABCD中，CD平面ABC，ACBC，H为C点在面ABD内的射影，P为棱BC的中点，连结AH并延长交BD于M。（1）求证：ACBD；（2）求证：点H为ABD的垂心；（3）试过点P与点M作四面体ABCD的一个截面，使之与CH平行。 能力提升强化训练题型1：线线垂直问题1如图1所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N

19、分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EFGF。题型2：线面垂直问题2（1）（2006北京文，17）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD平面ACC1A1。（2）（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。（I）证明平面；（II）设证明平面。3如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。题型3：面面垂直问题4如图，

20、ABC 为正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。5（2003京春理，19）如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G。（）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（）求点D1到平面B1EF的距离d；（）求三棱锥B1EFD1的体积V。题型4：射影问题6（1）如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影（2）（2006湖北理，18）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。7如图1所示，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点。（1）证明AB1DBC1；（2）假设AB1BC1，BC=2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。题型5：垂直的应用8已知是边长为的正三角形所在平面外一点，求异面直线与的距离。FCABDEFCABDEFCABDE图图图ABCDEFGH9如图，在空间四边形中，、分别是边、的中点，对角线且它们所成的角为。求证：，求四边形的面积。