有趣的九宫格填数.doc

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1、有趣的九宫格填数江苏省泗阳县李口中学 沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。如果一个n2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之与都相等，且这些数都是从1到 n2的自然数，这样的方阵就称为n阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。九宫格实质上是幻方中n3时的三阶幻方。三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书 ，在北周的甄弯注?数术记遗?一书中，记有三阶幻方的填法：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。我国南宋时期出色的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图 (三阶幻方也叫络书或九宫图)， 并给出了三阶、四阶

2、幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在?续古摘奇算法?中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排1、2、3，4、5、6，7、8、9，上下对调1、9，左右相换7、3，四维挺出4、2、8、6。意思是：先把l9九个数依次斜排如下列图一，再把上l下9两数对调如下列图二，左7右3两数互换如下列图三，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出如下列图四，这样就构造了一个三阶幻方。199424242492753753357357868686816911 图一图二 图三图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三

3、列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90，又可以得到另外的4种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。通常我们把幻方中每行3个数的与称为幻方的幻与，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这9个数的与为：1+2+3+8+9=45；那么三阶幻方每行3个数字之与即幻与为：453=15。在1到9这9个数中，与为15的3个数，只能是：9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。九宫格中，经过中心数的有一行、一列与两

4、条对角线，即这个数必须在4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列与一条对角线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数与四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。幻方不仅是有趣的数学游戏，而且有很重要的实用价值，应用前景也广泛，相关介绍请查阅资料。三阶幻方中数字有趣的排列是有顺序的，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不管如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座完成填空；幻方中的两个公式：

5、幻与中心数3；幻与总数3，可以在幻与的情况下，先求出中心数，或在中心数的情况下，先求出幻与。下面举几例来说明九宫格填数。【题1】：将下面左边方格中的9个数填入右边九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的与相等。【解析】：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、3号为“6，4、5、6号为“8，7、8、9号为“10。按口诀：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如右图可以填好表格。【题2】：将9个连续自然数填入33的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之与都等于60。【解析】：由条件可知，这个幻方，幻与为60，中心数为：603=20。所以

6、这9个连续的自然数为：16、17、18、19、20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如上图所示。【题3】：下列图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的与都是27，A，B，C，D，E，F，G应各是多少？【解析】：由题意可知，幻与为27，中心数为：273=9，所以C等于9。填好中心数后，根据幻与，依次求出其它方格里的数：D=27-6-9=12；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=27-9-14=4。【题4】：在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它8个空格内填上适当的

7、数，使得9个方格内是9个连续自然数。【解析】：由条件可知，这个幻方的中心数为12。所以这9个连续的自然数为：8、9、10、11、12、13、14、15、16。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如左图所示。【题5】：在下面两个图形中的空格内填入不大于15且互不一样的自然数其中已各填好一个数，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之与都等于30。【解析】：由题意可知，幻与为30，中心数为：303=10。如下列图，可以分别填好两个方格图中的一条对角线。因为中心数是10，经过中心数每一组另外两个数必须一个大于10，一个小于10，所以两个方格图中剩下6个数中有3个数大于1

8、0且不大于15。题目左图中，大于10的数可能是11、13、14、15，数字14如果与8同行列，14+8+8=30，8重复出现与题意不符；如果数字14与12同行列，14+12+4=30，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。所以，左图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座可以完成表格，如右图一所示。同理，题目右图中大于10的数可能是11、12、13、15，数字12如果与6同行列，12+6+12=30，12重复出现与题意不符；如果数字12与14同行列，12+14+4=30，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。所以，右图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座可以完成表格，如上图二所示。第 4 页