不等式的概念和基本性质.doc

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1、不等式的概念与根本性质 重点：不等式的根本性质 难点：不等式根本性质的应用 主要内容： 不等式的根本性质 abbb,bcac a+bcaba+cb+c ab 不等式的运算性质 加法法那么：ab,cda+cb+d 减法法那么：ab,cda-db-c 乘法法那么：ab0,cd0acbd0 除法法那么：ab0,cd00 乘方法那么：ab0,anbn0 (nN, n2) 开方法那么：ab0,0 (nN, n2) 根本不等式 aR,a20 当且仅当a=0时取等号 a,bR,a2+b22ab 当且仅当a=b时取等号a,bR+, 当且仅当a=b时取等号a,b,cR+,a3+b3+c33abc 当且仅当a=b

2、=c时取等号 a,b,cR+, 当且仅当a=b=c时取等号|a|-|b|ab|a|+|b| 不等式的概念与性质是进展不等式的变换，证明不等式与解不等式的依据，应正确理解与运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。根本不等式可以在解题时直接应用。 例对于实数a,b,c判断以下命题的真假 假设ab, 那么acbc2, 那么ab; 假设ababb2; 假设ab|b|; 假设ab, , 那么a0, bbc2, 所以c0, 从而c20，故原命题为真命题。 因为 所以a2ab 又 所以abb2 综合得a2abb2 故原命题为真命题 两个负实数，绝对值大的反而小故原命题为真命题

3、因为 所以 所以 从而abb 所以a0, b0 从而 H0 从而GA Q-A= 从而AQ 综上所述，当a, b为不相等的正实数时，HGA|a-b| 故而 更接近 例船在流水中在甲地与乙地间来回驶一次平均速度与船在静水中的速度是否相等，为什么？ 解：设甲、乙两地的距离为，船在静水中的速度为u，水流速度为vuv0那么船在甲、乙两地行驶的时间t为： t= += 平均速度= -u=-u=0 b, 那么ac2bc2；假设ab0，那么 ； 假设ab ；假设ab0，那么ab0，那么 设x,yR，判定以下两题中，命题甲与命题乙的充分必要条件 命题甲 命题乙 命题甲 命题乙 aR，试比拟3(1+a2+a4)与(

4、1+a+a2)2的大小a1, mn0，比拟am+ 与an+的大小 函数y=f(x), xR满足 对xR，都有f(x)2；对x1R，x2R, 都有f(x1+x2)f(x1)f(x2) 求证：对任意实数x1, x2，都有：lgf(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2) 参考答案 解c20，当c=0时ac2=bc2=0故原命题为假命题 举特例-2-1-1故原命题为假命题 由于ab0 所以 所以 故原命题为假命题 ab|b|0 故原命题为真命题 cab0 c-bc-a00 又ab0 故原命题为真命题 解当x0, y0时，很明显x+y0, xy0 当xy0时，x,y同号；又x+y0，可知x, y同正

5、，即x0, y0 因此：命题甲是命题乙的充要条件 x20，y20x+y4, xy4 但是： 反例如下：x=5, y=1, 这时x+y=64, xy=54, 但x2, y1, mn0可知aman,am+n1 (am+)-(an+)0即：am+an+ 证明：设x1R，x2Rf(x1)f(x2)-f(x1)+f(x2)f(x1)-1+f(x2)-1 对任意xRf(x)2 -10 -10f(x1)f(x2)f(x1)+f(x2) 再由条件 f(x1+x2)f(x1)+f(x2)对任意实数x1R x2R有： f(x1+x2)f(x1)f(x2)lgf(x1+x2)lgf(x1)f(x2)=lgf(x1)

6、+lgf(x2) 从而对任意实数x1R，x2R有：lgf(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2) 不等式综合能力测试一、选择题：1设I=R，集合M=x|lg(x+1)0,那么等于A、(-,-1)(0,+) B、(-,0C、(-,-1)0,+) D、(-,0)2假设函数y=lg1+(1+log2x)的值域为R+，那么其定义域为A、R+ B、(1,+) C、(,+) D、(,1)3使方程cos2x+sinx=a有实数解的a的取值范围是A、(-, B、-1, C、0, D、-2,4函数：(1) y=x+(x0), (2)y=cosx+(0x0), (4) y=(1+cotx)(+2tgx)(0x

7、bc，那么有A、|a|b|c|B、|a|b|c-b|D、|a+b|b+c|6不等式x+1的解集是A、x|-1x1 B、x|0x1 C、x|x-1 D、x|-1x0)二、填空题7a、b、cR+，且a+b+c=1, 那么的最小值是_.8loga(1+a)与loga(1+) (a0且a1)的大小关系是_.9设x0, 那么函数y=+x2, 当x=_时，有最小值_.10不等式lg(x2+2x+2)|2-|的解集是_.三、解答题13解不等式0.14如果0a1, 0b1, 0c0.16|a|1, |b|1, |c|1, 求证：|loga(1+) 9. 10. x|-4x2 11. 1, 12. x|x13.

8、 由或解得原不等式的解集为x|x0或1x2或2x4.14假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同大于， abc(1-a)(1-b)(1-c)()3.(1)又 a(1-a)()2=, 即a(1-a),同理b(1-b), c(1-c), abc(1-a)(1-b)(1-c)()3.(2)(1)与(2)矛盾，所以结论成立.15设x=tana (-90a0,即 2sin2a-sina-10, -sinaa-.故 原不等式的解集是(-,+).16|11a2+b2+c2+a2b2c20,即 原不等式成立.17设M=lg(ylgx)=lgxlgy, x, y, lgx0, lgy0 M()2=()2=1,当x=y=10时等号成立，又 xy=100, lgx+lgy=2 M=-(lgx-1)2+1,由x, y,得lgx, lgy, lgx, 当lgx=或lgx=时，M有最小值，故lg(ylgx)的最大值为1，最小值为.18设每小时的费用总与为t元，航行速度为x公里/小时，t=kx3+480(x0),由得103k=30得k=, 即t=x3+480,设每公里的航行费用为y元，得y=(x3+480)=x2+3=36，当x=20时取等号，答略.第 12 页