2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第23讲 齐次化处理含解析.docx

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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第23讲 齐次化处理一、解答题 1如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线2已知椭圆C:的焦点是、，且椭圆经过点。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点3圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.4（2015山西四模）分

2、别过椭圆E：=1（ab0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由5已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l

3、过定点.6已知点P是椭圆C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论7如图，椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值8已知椭圆方程为，射线（x0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求AMB面积的最大值9已知椭圆两焦点分别为F1、F2、P是椭圆在第一象

4、限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求PAB面积的最大值10已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点.（）求椭圆的方程；（）过点作倾斜角互补的两条不同直线，分别交椭圆于另外两点，求证：直线的斜率是定值.11已知椭圆两焦点、在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值12如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦

5、点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由13如图，椭圆C:（ab0）经过点P（2,3），离心率e=，直线l的方程为y=4（）求椭圆C的方程；（）AB是经过（0,3）的任一弦（不经过点P）设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得？若存在，求的值14在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（ab0）的右顶点为（2，0），离心率为，P是直线x4上任一点，过点M（1，0）且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点（1）

6、求椭圆的方程；（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得k1+k3k2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由15已知椭圆C:（ab0）的两个焦点分别为F1（，0）、F2（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1k32k2，试求m，n满足的关系式.16已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两

7、个端点的连线相互垂直(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k1、k2,求证：k1+k2为定值17已知椭圆E：=1（ab0）的焦距为2，且该椭圆经过点（）求椭圆E的方程；（）经过点P（2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1k2的值18已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|且|AF1|+|AF2|4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k

8、1、k2，若k1+k23，求直线l的方程.19设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程20椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，的斜率分别为，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，若，试判断直

9、线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由22已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线，斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.23已知圆，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）点，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若，请判断直线是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由24在直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）若斜率存在，纵截距为的直线与椭圆相交于两点，

10、若直线的斜率均存在，求证：直线的斜率依次成等差数列25已知椭圆E：()经过点，离心率为.（1）求E的方程；（2）若点P是椭圆E的左顶点，直线l交E于异于点P的A，B两点，直线和的斜率之积为，求面积的最大值.26已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线斜率之积为,求的最小值.第23讲 齐次化处理一、解答题 1如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【答案】M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点【解析】试题分析：由OA

11、OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OMAB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB由OAAB，得依点A在AB上，得直线AB方程由OMAB，得直线OM方程设点M（x，y），则x，y满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式，可得（）+=x2+，整理得由、两式得由式知，yAyB=16p2x2+y24px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

12、考点：轨迹方程；抛物线的应用2已知椭圆C:的焦点是、，且椭圆经过点。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点【答案】（1） （2）详见解析【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，由题意可得，再由椭圆的定义可得2a=4，解得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意不妨设直线l的方程为x=ky+m，代入椭圆方程，消去x，运用韦达定理和由题意可得MAMB，向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得或m=2，即可得到定点试题解析：（1）椭圆的方程为 ，所以所求椭圆的方程为 （2）方法一（1）由题意可知，直线

13、的斜率为0时，不合题意.（2）不妨设直线的方程为 由 消去得. 设，则有, 因为以为直径的圆过点，所以由，得将代入上式，得. 将代入，得 ，解得或（舍）综上，直线经过定点 方法二证明：(1) 当不存在时，易得此直线恒过点. （2）当存在时.设直线，.由，可得. . 由题意可知,可得 . 整理得 把代入整理得 由题意可知 解得 （i） 当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. （ii） ，即，直线过定点，经检验符合题意.综上所述，直线过定点 考点：1.椭圆方程；2.直线和椭圆相交的综合问题3圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离

14、心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（1）；（2） ，或.【解析】试题分析：（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知解得，即可求出的方程；（2） 由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由 得，因由题意知，所以 ，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（1）设切点坐标为，则切

15、线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知解得，故方程为.（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由 得，又是方程的根，因此 ，由得因由题意知，所以 ，将，代入式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.4（2015山西四模）分别过椭圆E：=1（ab0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为

16、k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）（2）存在点M，N其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程（2）焦点F1、F2坐标分别为（1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y

17、1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=k4，l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，椭圆E的方程为（2）焦点F1、F2坐标分别为（1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，=，同理k3+k4=，k1+k2=k3+k4，即（m1m2+2）（m2m1）=0，由题

18、意知m1m2，m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0）也满足，点P（x，y）点在椭圆上，存在点M，N其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2考点：直线与圆锥曲线的综合问题5已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知

19、C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得

20、A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.6已知点P是椭圆C:上

21、一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论【答案】（1）；（2）直线l过定点证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义可知，再代入P即可求出，写出椭圆方程；（2）设直线l的方程，联立椭圆方程，求出和之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由，得，又在椭圆上，代入椭圆方程有，解得，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：当直线l的斜率不存在时，解得，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，由，整理得，由，整理得，即当时，此时，直线l过P点，不符合题意；当

22、时， 有解，此时直线l：过定点【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.7如图，椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值【答案】（1）；（2）所以直线、斜率之和为定值2【分析】（1）运用离心率公式和，的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）把直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【详解】解：（1）由题意知，结合，解得，椭圆的方程为；（2）由题设知，直线的斜率不为0，则直线的方程为，代入，得，由已知，设，则，从而直

23、线与的斜率之和：所以直线、斜率之和为定值2【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形8已知椭圆方程为，射线（x0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求AMB面积的最大值【答案】（）证明见解析；（）.【分析】(1)设,求得M的坐标,则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程,分别与椭圆的方程联立求得和,进而求得AB的斜率

24、;(2)设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y,利用判别式大于0求得m的范围,进而表示出三角形AMB的面积,利用m的范围确定面积的最大值.【详解】（）斜率k存在，不妨设k0，求出M（，2）直线MA方程为，分别与椭圆方程联立，可解出， 同理得，直线MB方程为 ，为定值.（）设直线AB方程为，与联立，消去y得 由0得一4m4，且m0，点M到AB的距离为 设AMB的面积为S当时，得【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理

25、的过程中消去变量，从而得到定值.9已知椭圆两焦点分别为F1、F2、P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求PAB面积的最大值【答案】（1）（2）是定值为（3）.【解析】【分析】（1）根据，用坐标表示，结合点P（x，y）在曲线椭圆上，即可求得点P的坐标；（2）设出BP的直线方程与椭圆方程联立，从而可求A、B的坐标，进而可得AB的斜率为定值；（3）设AB的直线方程：，与椭圆方程联立，可确定，求出P到AB的距离，进而可表示PAB面积，利用基本不等式可求PAB面积的最大值【详解】（1）由题可

26、得，设P0（x0，y0）（x00，y00）则，点P（x0，y0）在曲线上，则，从而，得则点P的坐标为 （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k（k0），则BP的直线方程为：由得，设B（xB，yB），则，同理可得，则， 所以AB的斜率为定值 （3）设AB的直线方程：由，得，由，得P到AB的距离为， 则当且仅当取等号PAB面积的最大值为 【点睛】本题以椭圆的标准方程及向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积计算及利用基本不等式求最值，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行解题10已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点.（）求椭圆的方程；（）过点作倾斜

27、角互补的两条不同直线，分别交椭圆于另外两点，求证：直线的斜率是定值.【答案】（）;（）见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆C的方程为：，利用已知条件，求出a，b，即可得出椭圆C的方程；（2）设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值【详解】（）设椭圆方程为（）则有 又 解得椭圆的方程为或解：椭圆的另一焦点为 由得 又椭圆的方程为（）依题意，直线，都不垂直于轴设直线方程为，则直线方程为由 得 同理=故直线的斜率是定值【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键11已知

28、椭圆两焦点、在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由已知可解出椭圆方程，然后设出，结合，即可解出点P的坐标；（2）由（1）知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的直线方程为，与椭圆方程联立，即可解出，同理可得，然后解出，即可算出AB的斜率【详解】解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得，即，椭圆方程为，焦点坐标为，设，则，点P在曲线上，则，从而，得，则点P的坐标为；（2）由（1）知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设P

29、B的斜率为，则PB的直线方程为，由，得，设，则，同理可得，则，所以AB的斜率为定值【点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题12如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）答案见解析【解析】试题分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而

30、解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为

31、（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，在方程中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，=k注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k代入得k1+k2=2k=2k1又k3=k，所以k1+k2=2k3故存在常数=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x01），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k

32、2=+=2=2k3，故存在常数=2符合题意考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程视频13如图，椭圆C:（ab0）经过点P（2,3），离心率e=，直线l的方程为y=4（）求椭圆C的方程；（）AB是经过（0,3）的任一弦（不经过点P）设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得？若存在，求的值【答案】（） +=1（） 2【解析】试题分析：（）通过将点P（2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得结论；（）分AB斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论试题解析：（）由已知得 解得a=4，b=,c=2所以椭圆C的方程为+=1（）当直

33、线AB不存在斜率时，A（0,-2），B（0,2），M（0,4），此时k2=，k1=，k3=-，+=-4，可得=2当直线AB存在斜率时，可设为k（k0），则直线AB的方程为y=kx+3设A（x1,y1），B（x2,y2），联立直线AB与椭圆的方程，得 消去y，化简整理得，（4k2+3）x2+24kx-12=0，所以x1+x2=，x1x2=，而+=+=+=又M点坐标为（,4），所以=故可得=2l因此，存在常数2，使得+=恒成立考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质14在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（ab0）的右顶点为（2，0），离心率为，P是直线x4上任一点，过点M（1，0）且与PM

34、垂直的直线交椭圆于A，B两点（1）求椭圆的方程；（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得k1+k3k2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，2，计算见解析【分析】(1)根据题意可知，再由离心率公式可得，然后根据得出，即可得椭圆的方程；(2)根据 点的坐标写出直线方程，与椭圆联立解得坐标，利用两点间距离公式即可求得弦的长度；(3)先假设存在，后分直线斜率存在和不存在两种情况进行求解，直线斜率不存在时容易的,直线斜率存在时，设点坐标，与椭圆联立，再分别求出，进行化简整理即可得

35、到的值.【详解】（1）由题知，椭圆方程为（2），直线与直线垂直，直线方程，即，联立，得或,，（3）假设存在常数，使得当直线的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，此时，易得,当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程得（1+4k2）x28k2x+4k240，直线方程为，则,，即，化简得：，将，代入并化简得：综上：【点睛】本题考查的是椭圆标准方程基本量的运算以及椭圆的几何性质、直线与椭圆的应用和圆锥曲线中的定值问题，是难题.15已知椭圆C:（ab0）的两个焦点分别为F1（，0）、F2（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为（

36、3，2），点P的坐标为（m，n）（m3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1k32k2，试求m，n满足的关系式.【答案】（1）；（2）mn10【解析】试题分析：（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线l的方程，将l与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将k1k3表示为直线l斜率的关系式，化简后得k1k32，于是可得m，n的关系式.试题解析：（1）由题意，c，b1，所以a故椭圆C的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，方程为x1，代入椭圆得，y不妨设A（1，），B（1，）因为k1

37、k32又k1k32k2，所以k21所以m，n的关系式为1，即mn10当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk（x1）将yk（x1）代入，整理得：（3k21）x26k2x3k230设A（x1，y1），B（x2，y2），则又y1k（x11），y2k（x21）所以k1k32所以2k22，所以k21所以m，n的关系式为mn10综上所述，m，n的关系式为mn10.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，16已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k

38、1、k2,求证：k1+k2为定值【答案】(1) (2)见证明【分析】（1）根据几何条件得即可，（2）先考虑斜率不存在时特殊情况，再考虑斜率存在情况，设直线方程以及交点坐标，化简，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简即得结果.【详解】(1)依题意， 由已知得,解得所以椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，由解得设 当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入化简整理得依题意，直线与椭圆必相交于两点，设则 又故=为定值. 综上，为定值2.【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.17已知椭圆E：=1（ab0）的焦距为2，且该椭圆经过点（）求椭圆E的方程；（

39、）经过点P（2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1k2的值【答案】（）+y2=1（）【解析】试题分析:（）由题意得，2c=2，=1；从而求椭圆E的方程；（）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，点N的纵坐标为0，故不成立；当k10时，直线PM：y=k1（x+2）；联立方程得（+4）y2=0；从而解得yM=；可得M（，），N（，）；从而可得（k2k1）（4k2k11）=0，从而解得解：（）由题意得，2c=2，=1；解得，a2=4，b2=1；故椭圆E的方程为+y2=1；（）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y

40、轴垂直，则点N的纵坐标为0，故k2=k1=0，这与k2k1矛盾当k10时，直线PM：y=k1（x+2）；由得，（+4）y2=0；解得，yM=；M（，），同理N（，），由直线MN与y轴垂直，则=；（k2k1）（4k2k11）=0，k2k1=考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程18已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|且|AF1|+|AF2|4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1+k23，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）依题意得到关于、的方程

41、组，解得即可；（2）设，设直线的方程为，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由，即，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得解得，所以椭圆方程为（2）由（1）设，设直线的方程为，联立方程得，消去整理得，所以，因为，所以，因为，即，所以代入得解得即：【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.19设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【答案】（1）1；（2）yx7.【分析】（1）设两点坐标，代入抛物线方程相减后可求得的斜率；（2）由C在

42、M处的切线与直线AB平行，可求得切点坐标，设直线AB的方程为yxm，代入抛物线方程可得中点为，AMBM等价于，这样可求得值【详解】解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，于是直线AB的斜率.(2)由，得.设M(x3，y3)，由题设知，解得x32，于是M(2，1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2，2m)，|MN|m1|.将yxm代入得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，.从而.由题设知|AB|2|MN|，即，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设直线方程方程为yxm是解题关键通过它与抛物线方程

43、联立，可得中点N的横坐标，从而得，而AMBM等价于，因此可求得本题解法中没有用到特殊方法，求切点坐标，求直线方程，求弦长等都是最基本的方法，务必牢固掌握20椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，的斜率分别为，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组，解之可得椭圆标准方程；（2）由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线方程为，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，代入，同理用代替，代替，得，由两者相等可求得【详解】（1）设椭圆焦距为，由，解得，.椭圆的标准方程为.（2）由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线方程为，由得，.，.又，从而代入得.又，以替代，以替代，同理可得，对恒成立，解得或（舍），经检验，此时，因此存在.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆相交问题中常常采用设而不求的思想方法本题考查了学生的运算求解