2022年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题由运动产生的线段和差问题 .pdf

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1、专题 6：由运动产生的线段和差问题1.（2012 北京市 8 分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P1（x1,y1）与 P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义：若x1x2y1y2，则点P1与点 P2的“非常距离”为x1x2；若x1x2y1y2，则点P1与点 P2的“非常距离”为y1y2.例如：点 P1（1,2），点 P2（3,5），因为 13 25，所以点 P1与点 P2的“非常距离”为25=3，也就是图1 中线段 P1Q与线段 P2Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y 轴的直线P1Q与垂直于 x 轴的直线P2Q的交点）。（1）已知点A1(0)2，B为 y 轴上的一个动点，若点

2、A与点 B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点 B的“非常距离”的最小值；（2）已知 C是直线3yx34上的一个动点，如图 2，点 D的坐标是（0，1），求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标；如图 3，E是以原点 O为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点 C的坐标。【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。21。（2）设 C坐标为003xx34，如图，过点 C作 CP x轴于点 P，作 CQ y轴于点 Q。由“非常距离”的定义知，当OP=DQ 时，点 C与点 D的“非常距离”最小，003x0

3、x314。两边平方并整理，得2007x48x64=0，解得，08x7或0 x8（大于87，舍去）。点 C与点 D的“非常距离”的最小值距离为87，此时815C77，。设直线3yx34与 x 轴和 y 轴交于点A，B，过点 O作直线3yx34的垂线交直线3yx34于点 C，交圆于点E，过点C作 CP x轴于点 P，作 CQ y轴于点 Q，过点 E作 EM x轴于点 M，作 EN y轴于点 N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由OAB MEM，OE=1，得 OM=35，ON=45。34E55，。设 C坐标为003xx34，由“非常距离”的定义知，当MP=NQ 时，点 C与点 E的“非常距离”最

4、小，00334x+x3545。两边平方并整理，得200175x840 x1792=0，解得，08x5或0224x35（大于85，舍去）。点C 与点E 的“非常距离”的最小值距离为1，此时89C55，34E55，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。（2）解题关键是，过C点向 x、y 轴作垂线，当CP和 CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达 C点，其与点文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X

5、2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7

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7、2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7

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9、2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7

10、HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X

11、2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。同，同时理解当OC垂直于直线3yx34时，点 C与点 E的“非常距离”最小。2.（2012 广西南宁10 分）已知点 A（3，4），点 B为直线 x=-1 上的动点，设B（1，y）（1）如图 1，若点 C（x，0）且 1x3，BC AC，求y 与 x 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3

12、）如图2，当点B 的坐标为（1，1）时，在x 轴上另取两点E，F，且 EF=1线段 EF在 x 轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标【答案】解：（1）如图 1，过点 A作 AE x轴于点 E在BCD与CAE中，BCD=CAE=90 ACE，BDC=CEA=90，BCD CAE，BDCDCEAE。A（3，4），B（1，y），C（x，0）且 1x3，yx13x4。y与 x 之间的函数关系式为2113yxx424（1x3）。（2）y 没有最大值。理由如下：222113131yxx(x2x)(x1)1424444，文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8

13、W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码

14、:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8

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19、W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2又 1x3，y没有最大值。（3）如图2，过点 A 作 x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使AA=1，作点 B关于 x 轴的对称点B，连接 AB，交 x 轴于点 E，在 x 轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小。A（3，4），A（2，4）。B（1，1），B（1，1）。设直线 AB的解析式为y=kx+b，则2kb4kb1，解得5k32b3。直线 AB的解析式为52yx33。当 y

20、=0 时，52x033，解得2x5。线段 EF平移至如图2 所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点 E的坐标为（25，0）。【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】（1）过点 A作 AE x轴于点 E，先证明 BCD CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出 y 与 x 之间的函数关系式。（2）先运用配方法将2113yxx424写成顶点式，再根据自变量x 的取值范围即可求解。（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与 EF是定长，所以只需BE+AF最小为此，先确定点 E、F的

21、位置：过点 A作 x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使 AA=1，作点 B关于 x 轴的对称点B，连接 AB，交 x 轴于点 E，在 x 轴上截取线段EF=1，则点E、F 的位置确定 再根据待定系数法求出直线AB的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，从而得出点E的坐标。文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1

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28、=ax2+bx+c 经过 A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式；（2）若点 M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值【答案】解：（1）把 A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c 中，得4a+2b+c=04a2b+c=4c=0，解这个方程组，得1a=2b=1c=0。抛物线的解析式为y=12x2+x。（2）由 y=12x2+x=12（x1）2+12，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。OM=BM。OM+AM=BM+AM。连接 AB交直线 x=1 于 M点，则此时OM+AM 最小。过

29、点 A作 AN x轴于点 N，在 RtABN中，2222AB=AN+BN4+44 2，因此 OM+AM 最小值为4 2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。（2）根据 O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线 AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而 AM+OM 的最小值正好是AB的长。文档编码:CL8O5B9N7O7 HB9Q7N8W8X3 ZT9H1W9X2V2文档编码:

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