最优化计算方法课后习题-答案~--高等教育教学出版社。施光燕.doc

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1、|习题二包括题目： P36 页 5（1） （4）5（4） |习题三包括题目：P61 页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1)1(1)(2)的解如下 3 题的解如下 |5,6 题14 题解如下 14. 设 , 求点在 处的牛顿方向。221121()6)(3)fxxx(4,6)T解：已知 ，由题意得()4,T1212121)()(3()63xxxf (1)145gf2 12121221121(3)(3)(3)()()xxxfxxx (1)()654Gf(1)/807/412x (1)(1)/057dGg15（1）解如下 15. 用 DFP 方法求下列问题的极小点（1） 2121mi

2、n353xx解：取 ， 时，DFP 法的第一步与最速下降法相同(0),T0HI， ，21()56xf(0),1Tx(0)12fx， (1)0.7893x(1).3765f以下作第二次迭代， (1)(0).26x(1)(0)1 8.6240135fxf01110TTH|其中， 110126.39,247.380TTTH， 145.701174.31.4926T所以 10.3.645H(1)(1).49076dfx令 ， 利用 ，求得 (2)(1)(1)xd(1)()0dfx10.572所以 ， (2)(1)(1)0.7540.57283(2).834fx以下作第三次迭代， (2)(1).059x

3、(2)(1)2 .09276fxf， 2.47T21.TH283.0.5121960.13.8TH所以 212121 .4650.3819TTH(2)(2)0.465dfx令 ， 利用 ，求得 (3)(2)(2)x(2)()0dfx21所以 ， 因为 ，于是停止(3)(2)()1d(3)f即为最优解。(3)1,Tx|习题四包括题目： P95 页 3；4；8；9(1)；12 选做；13 选做3 题解如下 3.考虑问题 ，其中21),(min21 xfsx.10,),(21xSTT（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；（3）分别对点 指出哪些约束是紧

4、约束,)0(,)(,)(,)01( 432 TTTT xxx和松约束。解：（1）如图所示，此问题的可行域是以 O 点为圆心，1 为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线 x2=2x1 的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。（2）要求 f 的最小值，即求出这一系列平行线中与 x2 轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线 1 的位置，能取得极值。如图求出切点 ，此点即为最优51,P解 ，解得最优值Tx)5,2( 5fPO 1 x1x2x2=2x1xp11/2虚线 1|（3）对于区间集 S 可以简化为 g1: 02xg2:对于点 ，g 1 和 g2 均为该点处的紧约束；Tx)0,(1

5、对于点 ，g 1 和 g2 均为该点处的松约束；2对于点 ，g 1 为该点的松约束，g 2 为该点的紧约束；Tx),(3对于点 ，g 1 为该点的紧约束，g 2 为该点的松约束。044 题解如下 4.试写出下列问题的 K-T 条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解：（1） ;12min21xs.t. 0（2） ;i221xs.t. 92（1）解：非线性规划的 K-T 条件如下：（1）024211xx（2）)(1（3）0|再加上约束条件 （4）012x为求出满足（1）（4）式的解，分情况考虑：若（4）式等号不成立，即 ，那么由（2）式得 ，将 代入012x0（1）式解得 ， ，所得值不满足

6、的条件，故舍去。21x1若（4）式等号成立，由（1）式可以解得 ， ，代入（4）式有：x12x解得112251或因为 ，所以 ，那么 ， ，满足以上所有条件。0551x2综上所述，所求非线性规划有唯一的 K-T 点为： Tx),(2)解：非线性规划的 K-T 条件如下：（1）022411xx（2）)9(1（3）0再加上约束条件 （4）021x为求出满足（1）（4）式的解，分情况考虑：若（4）式等号不成立，即 ，那么由（2）式得 ，将 代入0921x0（1）式解得 ， ，所得值满足以上所有约束。21x若（4）式等号成立，由（1）式可以解得 ， ，代入（4）式有：1x2x解得912235因为 ，所

7、以所得 值均舍去，该情况不成立。0综上所述，所求非线性规划有唯一的 K-T 点为： Tx),2(|8 题解如下 8 考虑问题Min x12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3S.t. X1+x2+x3=2 （1）-x1+2x23 （2）X1,x2,x30 （3）求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1） ，X30 为有效约束。设所求可行方向 d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向 d 的定义，应存在 a0，使对t（0，a）能有X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T也能满足所有有效约束：(1+td1)+(1

8、+td2)+(0+td3)=2td30 经整理即为d1+d2+d3=0d30 满足上述不等式组的 d=(d1,d2,d3)T 均为可行方向。现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解 d1+d2=-d3得 d1+d2=-1，可任取 d1=1，d2=-2 得一可行方向d=（1，-2 ，1）T考虑下降性由题可知：将目标函数化为 f(x)=1/2XTQX+bTX+C从而 f=QX+b 即 21064231xff（1,1,0）= （-3,3，-12）因为 f（1,1,0）Td=-210表明 d=（1,-2，1）T 为原问题在 x=（1,1,0）T 处的一个下降可行方向9 题解如下 9 用 lemke 算法解下列问题：（1）min 2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2S.t. X1+x22X1+5x25X1,x20解： 42H，46c，15A，2b