2022年数学建模第三次作业.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 院系：数学学院名师归纳总结 专业：信息与运算科学第 1 页,共 11 页年级：2022 级同学：号：王继禹学202201050335 老师：徐霞- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜爱的路径跑步,突然一只狗攻击他,这只狗以恒定速率跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者,运算并画出狗的轨迹；解：1模型分析建立 : 狗的轨迹：在任意时刻,狗的速度向量都指向它的目标慢跑者；假设 1：慢跑者在某路径上跑步,他的运动由两个函数 Xt和 Yt描述；假设 2：当 t=0 时,狗是

2、在点 x0,y0处,在时刻 t 时,它的位置是 xt,yt 那么以下方程成立：1狗以恒定速率跑 : X2+y2=w22 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将 代入其次个方程,可 得狗的轨迹的微分方程：2程序及结果dog 函数dog.m function zs,isterminal,direction = dogt,z,flag global w; % w=speed of the dog X=joggert;h = X-z;nh=normh; if nargin3 | isemptyflag zs=w/nh*h; elseswitch flag case

3、 events zs = nh-1e-3; isterminal = 1; direction = 0; otherwise errorUnknow flag: flag; end名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - end 慢跑者的运动轨迹方程,水平向右 jogger.m function s = joggert; s = 8*t;0; 标记的函数 cross.m function crossCx,Cy,v Kx = Cx Cx Cx Cx-v Cx+v; Ky = Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1

4、.5*v Cy+1.5*v plotKx,Ky; plotCx,Cy,o; 主程序：静态显示 main1.m global w y0 = 60;70; w=10; options = odesetRelTol,1e-5,Events, on;t,Y = ode23dog,0,20,y0,options;clf;hold on ;axis-10,100,-10,70; plotY:,1,Y:,2; J=; for h=1:lengtht, w = joggerth; J=J;w; endplotJ:,1,J:,2,:;p = maxsizeY; crossYp,1,Yp,2,2hold off;

5、 动态显示 main2.m global w; y0=60;70; w=10; options = odesetRelTol,1e-5,Events, on;t,Y=ode23dog,0,20,y0,options; J=; for h=1:lengtht; w= joggerth; J=J;w;名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - end xmin = minminY:,1,minJ:,1; xmax = maxmaxY:,1,maxJ:,1; ymin = minminY:,2,minJ:,2; ymax = ma

6、xmaxY:,2,maxJ:,2; clf;hold on ; axisxmin-10 xmax ymin-10 ymax;titleThe jogger and the Dog; -, Color, red, EraseModefor h = 1:lengtht-1, plotYh,1,Yh+1,1,Yh,2,Yh+1,2, , none; -, Color, green, EraseMoplotJh,1,Jh+1,1,Jh,2,Jh+1,2,de , none; drawnow; pause0.1; endplotJ:,1,J:,2,:; p = maxsizeY; crossYp,1,Y

7、p,2,2hold off;结果t=12.2761812635281,在 12.27 秒后狗追上慢跑者；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 慢跑者轨迹是椭圆轨迹 jogger2.m function s=jogger2t s=10+20*cost 20+15*sint; 狗的微分方程 dog.m function zs,isterminal,direction = dogt,z,flag global w; % w=speed of the dog X=jogger2t; h = X-z; nh=normh; if

8、nargin=2个圆,任何两个圆都相交但无3 个圆共点；试问n 个圆把平面划分成多少个不连通的区域？解：一个圆将平面分为 2 份两个圆相交将平面分为 4=2+2 份,三个圆相交将平面分为 8=2+2+4 份,四个圆相交将平面分为 14=2+2+4+6 份,平面内 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点,就该 n 个圆分平面区域数 fn=2+n-1n=n2-n+2 证明：1当 n=1 时,一个圆把平面分成两个区域,而12-1+2=2,命题成立2假设 n=k k1时,命题成立,即 k 个圆把平面分成 k2-k+2 个区域当 n=k+1 时,第 k+1 个圆与原有的 k 个圆

9、有 2k 个交点,这些交点把第 k+1 个圆分成了 2k 段弧,而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分,因此增加了 2k 个区域,共有 k2-k+2+2k=k+12-k+1+2 个区域n=k+1 时,命题也成立由 1、2知,对任意的 nN* ,命题都成立9.某人有 n 元钱,他每天买一次物品,每次买物品的品种很单调,或者买一元钱的甲物品,或者买二元钱的乙物品,问他花完这 n 元钱有多少不同的方式？解：设 an 表示花完这 n 元钱的方案种数,假设 n=1,就只能买甲,有一种方法,故 a1=1,假设 n=2,就可以买 2 个甲,或者 1 个乙或 1 个丙,即 a2=3,当 n3 时,花钱的

10、方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成,即 an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2 就当 n 3 时, an+an-1=2an-1+an-2,即an+1+an是公比 q=2 的等比数列,首项为 a2+a1=1+3=4,就 an+1+an=4.2 n-1=2 n+1,an+an-1=2 n,两式相减得 an+1-an-1=2 n+1-2-=2-,n 2,假设 n 是奇数, an=2 n-1+2 n-3+ +2 2+a1=2 n+1-1/3 假设 n 是偶数, an=2n-1+2n-3+ +23+a2=2n+1+1/3 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 1

11、1 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7.6 习题K ；下面是试验得1.在化工生产中经常需要知道丙烷在各种温度T 和压力 P 下的导热系数到的一组数据：T / C68 68 87 87 106 106 140 140 P /10 39.7981 13.324 9.0078 13.355 9.7918 14.277 9.6563 12.463 KPa K 0.0848 0.0897 0.0762 0.0807 0.0696 0.0753 0.0611 0.0651 3试求 T =99 C 和 P =10.3x 10 KPa下的 K；解：找出温度 T 相等时,导热系数 K 与压力

12、 P 的关系；由于在不同温度时,仅给出两个 K、P 的值,因此采纳线性近似,把 K、P 看作是线性关系；建立 M 文件：function y=y_lagr1x0,y0,xn=lengthx0;m=lengthx;for i=1:m z=xi; s=0.0;for k=1:n p=1.0;for j=1:nif j=k p=p*z-x0j/x0k-x0j;endend s=p*y0k+s;end yi=s;end主程序：p1=9.7981,13.324; k1=0.0848,0.0897; %T=68 p2=9.0078,13.355; k2=0.0762,0.0807; %T=87 p3=9.

13、7918,14.277; k3=0.0696,0.0753; %T=106 p4=9.6563,12.463; k4=0.0611,0.0651; %T=140 a2=polyfitp2,k2,1; a3=polyfitp3,k3,1;x1=polyvala2,10.3; x2=polyvala3,10.3; 名师归纳总结 %x1,x2 分别是 P=10.3*103kPa下87 和 106 的 K值T=140 第 8 页,共 11 页plot10.3,x1,k+,10.3,x2,k+,p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4xlabel 丙烷压力 P ylabel 丙烷导热系数 K ti

14、tle 在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图 gtextT=68 ,gtextT=87 ,gtextT=106 ,gtext- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 运行后图中所标点为P=10.3*103kPa 时, T=87和 T=106对应的导热系数K 值；在 T=87和 T=106之间仍采纳线性近似来求T=99时的导热系数K；程序如下： x=87,106; y=x1,x2; a=polyfitx,y,1; z=polyvala,99 z=0.0729 plot99,z,k+,x,y grid xlabel丙烷温度 T 时丙烷导热系数与温度的关系 yla

15、bel丙烷导热系数 K title压力 P=10.3*103kPa运行结果 : T=99、 P=10.3*103KPa 时 K=0.0729；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.用电压 V=10 伏的电池给电容器充电,电容器上t 时刻的电压为vt=V-V-V0et T ,其中 v0是电容器的初始电压,是充电常数；试由下面一组t, v 数据确定 V0 和；9 t/s 0.5 1 2 3 4 5 7 V/伏6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.34 9.63 解：建立 M 文件functio

16、n f=dianyax,t f=10-10-x1*exp-t/x2 %x1=V0；x2=主程序：t=0.5 1 2 3 4 5 7 9; 8.99 9.43 9.63; V=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 x0=0.2,0.05; x=lsqcurvefitdianya,x0,t,V %x1代表 V0,x2代表 f=dianyax,t 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结果x=5.5577 3.5002,即初始电压v0=5.5577,充电常数为=3.5002名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页