2022年高三专题复习：直线与圆知识点及经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点专题：圆的方程、直线和圆的位置关系【学问要点】圆的定义： 平面内与肯定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程形如：xa2yb2r2这个方程叫做圆的标准方程；王新敞x2y2r2；说明： 1、如圆心在坐标原点上,这时ab0,就圆的方程就是2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要 a,b,r 三个量确定了且 r0,圆的方程就给定了；就是说要确定圆的方程,必需具备三个独立的条件 王新敞确定 a,b,r,可以依据 3 个条件,利用 待定系数法 来解决；（二）

2、圆的一般方程将圆的标准方程 x a 2 y b 2r 2,绽开可得 x 2y 22 ax 2 by a 2b 2r 20；可见,任何一个圆的方程都可以写成 : x 2y 2Dx Ey F 0；问题： 形如 x 2y 2Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？2 2将方程 x 2y 2Dx Ey F 0 左边配方得： x D 2 y E 2 D E 4 F 22 2 2（1）当 D 2E 2 4 F 0 时,方程（1）与标准方程比较,方程 x 2y 2Dx Ey F 0 表示以 D , E 为圆2 22 2心,以 D E 4 F 为半径的圆；2（2）当 D 2E 2 4 F 0 时,方程 x

3、2y 2Dx Ey F 0 只有实数解,解为 x D, y E,所以表示一个2 2点 D, E . 2 2（3）当 D 2E 2 4 F 0 时,方程 x 2y 2Dx Ey F 0 没有实数解,因而它不表示任何图形；圆的一般方程的定义：当 D 2E 2 4 F 0 时,方程 x 2y 2Dx Ey F 0 称为圆的一般方程 . 圆的一般方程的特点： （i）x 和 2y 2的系数相同,不等于零； （ii ）没有 xy 这样的二次项；（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离 -求距离；2相切 -求切线；（3）相交 -求焦点弦长；2、直线与圆的位置关系判定方法：几何方法主要步骤

4、：（1）把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判定 : 当 dr 时,直线与圆相离；当dr 时,直线与圆相切;当 dr 时,直线与圆相交；代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程名师归纳总结 （3）求出其 的值,比较 与 0 的大小：第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）当 0时,直线与圆相交； 0 时,直线与圆相切圆的切线方程总结：当点x 0y0在圆x2y2r2上时,切线方程为：x 0xy 0yr2；

5、xay0byb r2；当点0在圆yb2r2上时,切线方程为：x0ax 0yxa2【典型例题】类型一：圆的方程例 1 求过两点 A 1 , 4 、B 3 , 2 且圆心在直线 y 0 上的圆的标准方程并判定点 P 2 , 4 与圆的关系变式 1：求过两点 A 1 , 4 、B 3 , 2 且被直线 y 0 平分的圆的标准方程 . 变式 2：求过两点 A 1 , 4 、B 3 , 2 且圆上全部的点均关于直线 y 0 对称的圆的标准方程 . 分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判定点 P 与圆的位置关系,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,如距离大于半径,就点

6、在圆外；如距离等于半径,就点在圆上；如距离小于半径,就点在圆内解法一：（待定系数法 ）设圆的标准方程为xa2yb2r2圆心在yr20上,故b0圆的方程为xa2y2r2又该圆过A1,4、B3,2 两点 1a216r解之得：a1,r2203a242所以所求圆的方程为x1 2y220解法二：（直接求出圆心坐标和半径）由于圆过A 1,4、B3,2两点, 所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上, 又由于kAB1421,故 l13的斜率为 1,又 AB 的中点为2,3,故 AB 的垂直平分线 l 的方程为：y3x2即xy0第 2 页,共 7 页又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C1,0 半径r

7、AC1122 420故所求圆的方程为x1 2y220又点P2,4 到圆心C1,0的距离为dPC2122 425r点 P 在圆外例 2： 求过三点 O（0,0）,M （ 1,1）, N（4,2）的圆的方程,并求出这个圆的圆心和半径；解： 设圆的方程为：x 2 y 2 Dx Ey F 0,将三个点的坐标代入方程名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F0名师总结优秀学问点8x 6y 0 DEF204D2EF20 0 F 0, D 8, E 6 2 （ y 3 ）2 25 圆心：（ 4,圆方程为： x2 y2配方：（ x 4 ）3 ）, 半径 r 5

8、 例 3： 求经过点A0,5,且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程分析： 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点 直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上A ,故只需确定圆心坐标又圆与两已知x解： 圆和直线x2 y0与2xy0相切,圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,5又圆心到两直线x2 y0和2xy0的距离相等x2yx2y两直线交角的平分线方程是553 y0或3xy0又圆过点A0,5 ,圆心 C 只能在直线3xy0上设圆心Ct,3 t C 到直线2xy0的距离等于AC ,2t3 tt23 t5 25化简整理得t26 t50解得：t1或t5圆心是1,3,半径为5 或圆心是

9、5,15,半径为5所求圆的方程为x1 2y325或x5 2y152125说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4、 已知圆O：x2y24,求过点P2,与圆 O 相切的切线0x2解： 点P2,不在圆 O上,切线 PT 的直线方程可设为ykx24依据dr2 kk42.解得k3,所以y3 x 424,即3 x4y10124由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回

10、漏掉的解x 0xy 0yr2,求出切点坐标x 、y 的值来解决,此时没有漏解例 5、自点 A-3,3 发出的光线l 射到 x 轴上,被 x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切,求光线所在直线方程；例 6、 两圆C ：x2y2D 1xE 1yF 10与C ：x2y2D2xE 2yF20相交于 A 、 B 两点,求它们的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点公共弦 AB 所在直线的方程分析： 第一求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线 求交点,可以采纳“设而不求 ”的技巧AB的

11、方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁为了防止解： 设两圆C 、C 的任一交点坐标为x 0,y0,就有：A 、 B 两点的直线是唯独的x 02y 02D 1x 0E 1y 0F 10x 02y 02D2x 0E 2y 0F 20得：D 1D2x0E 1E2y0F 1F20 A、 B 的坐标满意方程D 1D2xE 1E2yF 1F20方程D 1D2xE 1E 2yF 1F20是过 A 、 B 两点的直线方程又过两圆C 、C 的公共弦 AB 所在直线的方程为D1D 2xE 1E2yF 1F20说明： 上述解法中,奇妙地躲开了求A、B两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的

12、概念达到了目标从解题的角度上说,这是一种“设而不求 ” 的技巧,从学问内容的角度上说,仍表达了对曲线与方程的关系的深刻懂得以及对直线方程是一次方程的本质熟悉它的应用很广泛例 7、 求过点M3,1,且与圆x2 1y24相切的直线 l 的方程 2 ,解： 设切线方程为y1k x3,即kxy3 k10,圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径|k23k1|2,解得k3, 切线方程为y13x3,即 3x4y130,k12443也适合题当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为x3,圆心 1,0 到此直线的距离等于半径2 ,故直线x意； 所以,所求的直线l 的方程是 3x4y130或x3补充： 圆x2y

13、2DxEyF0的切点弦方程：类型三：弦长、弧问题例 8、 求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦 AB 的长 . 第 4 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点例 9、 直线 3 x y 2 3 0 截圆 x 2 y 2 4 得的劣弧所对的圆心角为解： 依题意得,弦心距 d 3,故弦长 AB 2 r 2d 2 2,从而 OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为 AOB . 32 2例 10、圆 C： x 1 y 2 25,直线（2 m 1）x m 1 y 7 m 4 0 m R ,（）

14、证明：不论 m 取何值时, l 与 C 恒有两个交点；（）求最短弦长所在直线方程；分析： 此题最关键的是直线交点系方程的转化,挖掘出直线恒过定点；再探究定点在圆内,下一步只需要去探究点到直线的距离最大时,直线方程是什么；类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线3 xy23y0和圆x2y24,判定此直线与已知圆的位置关系. 例 12、如直线y4x2有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 . xm与曲线解： 曲线 y 4 x 2表示半圆 x 2 y 2 4 y 0 ,利用数形结合法,可得实数 m 的取值范畴是2 m 2 或 m 2 2 . 例 13、圆 x 3 2 y 3 2 9 上到直线

15、3 x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、2l 的方程,从代数运算中查找解答解法一： 圆 x 3 2 y 3 2 9 的圆心为 O 1 3 , 3 ,半径 r 3设圆心 O 到3 3 4 3 11直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 d ,就 d 2 2 2 3如图,在圆心 O 13 4同侧,与直线 3 x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意 又 r d 3 2 1与直线 3 x 4 y 11 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二： 符合题意

16、的点是平行于直线 3 x 4 y 11 0,且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为m 113 x 4 y m 0,就 d 2 2 1,m 11 5,即 m 6,或 m 16,也即 l ：x 4 y 6 0,或3 42 2l ：x 4 y 16 0设圆 O ：x 3 y 3 9 的圆心到直线 1l 、2l 的距离为 d 、d ,名师归纳总结 第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就d 1334363,d233名师总结优秀学问点O 有两个公共点即符合题意的点共3 个431612 3422 342 1l 与O 相切,与圆O 有一个公

17、共点；2l与圆O 相交,与圆类型五：圆中的最值问题例 14、圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是,解：圆x2 2y2218的圆心为 （2,2）,半径r32,圆心到直线的距离6d2. 1052r2rdr2 r直线与圆相离,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是d例 15、1已知圆O ：x3 2y421,Px,y为圆 O上的动点,求dx2y2的最大、最小值2已知圆O ：x2 2y21,Px,y为圆上任一点求y2的最大、最小值,求x2y的最大、最小x1值分析： 1、 2两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决此题类比于 2022 年高考理科

18、全国二卷 12 题,这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理,或者用圆的参数方程,分别把 x,y 表示出来,通过讨论三角函数的最值讨论；解：1圆上点到原点距离的最大值 d 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离的最小值 d 等 2 2 2 2于圆心到原点的距离 d 1 减去半径 1所以 d 1 3 4 1 6d 2 3 4 1 4所以 d max 36d min 162设 y 2 k,就 kx y k 2 0由于 P x , y 是圆上点,当直x 1线与圆有交点时,如下列图,两条切线的斜率分别是最大、最小值由 d 2 k1 kk 2 21,得 k 34

19、3所以 yx 21 的最大值为 34 3,最小值为 3 3令 x 2 y t,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最42 m大、最小值由 d 1,得 m 2 5所以 x 2 y 的最大值为 2 5,最小值为 2 55例 16、已知 A ,2 0 ,B 2 , 0 ,点 P 在圆 x 3 2 y 4 2 4 上运动,就 PA 2PB 2的最小值是 . 解： 设 P x , y ,就 PA 2PB 2 x 2 2y 2 x 2 2y 22 x 2y 2 8 2 OP 28 .设圆心为 C 3 , 4 ,就 OP min OC r 5 2 3,PA 2PB 2的最小值为 2 328 26 . 类型六：直线与圆的综合例 17、在平面直角坐标系x0y 中,经过点（ 0,3）且斜率为k 的直线 l 与圆x2y24有两个不同的交点P、Q；（1） 求 k 的取值范畴；（2） 设 A2,0,B0,1 如向量OPOQ与 AB 共线,求 k 的值；第 6 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀学问点第 7 页,共 7 页- - - - - - -