2022年中考数学第一轮复习第讲《矩形、菱形和正方形》专题训练.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 19 讲 矩形、菱形和正方形考纲要求 命题趋势学问梳理1把握平行四边形与矩形、菱 形、正方形之间的关系2把握矩形、菱形、正方形的 概念、判定和性质3敏捷运用特别平行四边形的 判定与性质进行有关的运算和 证明 .特别的平行四边形是中考 的重点内容之一,常以挑选题、填空题、运算题、证明题的形 式显现,也常与折叠、平移和旋转问题相结合,显现在探究 性、开放 性的题目中 . 一、矩形的性质与判定1定义 有一个角是直角的_ 是矩形2性质1矩形的四个角都是 _ 2矩形的对角线 _ 3 矩 形 既 是 轴 对 称 图 形 , 又 是 中 心 对 称 图

2、形 , 它 有 两 条 对 称 轴 ； 它 的 对 称 中 心 是_ 3判定1有三个角是 _ 的四边形是矩形2对角线 _的平行四边形是矩形二、菱形的性质与判定1定义 一组邻边相等的_ 叫做菱形2性质1菱形的四条边都 _ 2菱形的对角线 _ ,并且每一条对角线平分一组对角3判定1对角线相互垂直的 _ 是菱形2四条边都相等的 _ 是菱形三、正方形的性质与判定1定义一组邻边相等的 _ 叫做正方形2性质1正方形的四条边都 _ ,四个角都是 _ 2正方形的对角线 _ ,且相互 _；每条对角线平分一组对角3正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图

3、形,对角线的交点是它的对称中心3判定1一组邻边相等并且有一个角是直角的 _ 是正方形2一组邻边相等的 _ 是正方形3对角线相互垂直的 _ 是正方形4有一个角是直角的 _ 是正方形5对角线相等的 _ 是正方形自主测试名师归纳总结 1如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O, AOB60,AB 5,就 AD 的第 1 页,共 9 页长是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A52B53 C5 D10 AD 边与对角线BD 重合,折痕2在菱形ABCD 中, AB5 cm ,就此菱形的周长为 A5 cm B15 cm C20 cm D 25 cm

4、3如图,矩形纸片ABCD 中, AB4,AD 3,折叠纸片使为 DG,就 AG 的长为 A1 BC3 2D2 4以下命题中是真命题的是 A对角线相互垂直且相等的四边形是正方形B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C两条对角线相等的平行四边形是矩形D两边相等的平行四边形是菱形5如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边BC,CD 上, AE,BF 交于点O, AOF90 . 求证： BECF . 考点一、矩形的性质与判定【例 1】 如图,在ABC 中,点 O 是 AC 边上 端点除外 的一个动点,过点 O 作直线 MN BC.设 MN 交 BCA 的平分线于点 E,交 BCA 的外角平分

5、线于点 F,连接 AE ,AF.那么当点 O运动到何处时,四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论分析： 判定一个四边形是矩形,可以先判定四边形是平行四边形,再找一个内角是直角或说明对角线相等解： 当点 O 运动到 AC 的中点 或 OAOC时,四边形 AECF 是矩形证明： CE 平分 BCA, 1 2. 又 MN BC, 1 3, 3 2, EOCO. 同理, FOCO,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - EOFO . 又 OA OC,四边形 AECF 是平行四边形又 1 2, 4 5, 1 5 2 4. 又 1

6、5 2 4180, 2 490,即 ECF90. 四边形 AECF 是矩形方法总结 矩形的定义既可以作为性质,也可以作为判定矩形的性质是求证线段或角相等经常用的学问点证明一个四边形是矩形的方法：1先证明它是平行四边形,再证明它有一个角是直角；2先证明它是平行四边形,再证明它的对角线相等；3证明有三个内角为 90. 触类旁通 1 如图,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠,点 C 落在点 E 处, BE 交 AD 于点 F,连接 AE. 求证： 1BFDF ；2AE BD . 考点二、菱形的性质与判定【例 2】 如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,DE AC,CE BD. 1求证：

7、四边形 OCED 是菱形；2如 ACB30,菱形 OCED 的面积为 8 3,求 AC 的长分析： 1先证明四边形 OCED 是平行四边形,然后证明它的一组邻边相等；2由于 DOC是等边三角形,依据菱形的面积运算公式可以求菱形的边长,从而求出 AC 的长解： 1证明： DE OC,CE OD ,四边形OCED 是平行四边形四边形 ABCD 是矩形, AOOCBOOD . 四边形 OCED 是菱形2 ACB 30, DCO9030 60. 又 ODOC, OCD 是等边三角形过 D 作 DF OC 于 F,就 CF1 2OC,设 CF x,就 OC2x,AC4x. 在 Rt DFC 中, tan

8、 60 DF FC,3得 OC DF 83,即 2x3x 83.解得 x2.AC4 2DF FC tan 60 3x. 由已知菱形OCED 的面积为88. 方法总结 菱形的定义既可作 为性质,也可作为判定证明一个四边形是菱形的一般方法： 1四边相等； 2 第一证明是平行四边形,然后证明有一组邻边相等；3对角线相互垂直平 分； 4对角线垂直的平行四边形名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 触类旁通2 如图,在ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点 O 作直线 EFBD ,分别交 AD,BC 于点 E 和点 F,求

9、证：四边形 BEDF 是菱形考点三、正方形的性质与判定【例 3】 如图,在正方形 ABCD 中, E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD, DA 上的点,HA EBFC GD,连接 EG,FH ,交点为 O. 1如图,连接 EF,FG, GH,HE ,试判定四边形 EFGH 的外形,并证明你的结论；2将正方形 ABCD 沿线段 EG,HF 剪开,再把得到的四个四边形按图的方式拼接成一个四边形如正方形 ABCD 的边长为 3 cm,HA EBFC GD1 cm,就图中阴影部分的面积为_cm 2. 分析： 依据题目的条件可先证 AEH , BFE, CGF , DHG 四个三角形全等,证得四边

10、形 EFGH 的四边相等,然后由全等再证一个角是直角解： 1四边形 EFGH 是正方形证明：四边形 ABCD 是正方形, A B C D90,ABBCCDDA . HAEB FCGD ,AEBFCGDH . AEH BFE CGF DHG . EFFG GHHE . 四边形 EFGH 是菱形由 DHG AEH ,知 DHG AEH . AEH AHE 90, DHG AHE 90. GHE 90. 菱形 EFGH 是正方形21 方法总结 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：1“ 平行四边形 ” “ 一组邻边相等 ”“一个角为直角” 定义法 ； 2“矩形 ” “ 一组邻边相等”； 3“矩

11、形 ”“ 对角线相互垂直” ；4“菱形 ” “ 一个角为直角” ；5“ 菱形 ” “ 对角线相等” 12022 四川成都 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,以下说法错误选项 AAB DC BACBDCAC BD DOAOC 22022 山东滨州 如菱形的周长为8 cm,高为 1 cm ,就菱形两邻角的度数比为A3: 1 B4: 1 C5: 1 D6: 1 32022 江苏泰州 以下四个命题：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线相互垂直且相等的四边形是正方形；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9

12、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 形；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形其中真命题共有 A1 个B2 个C3 个D4 个O,CE BD,DE AC.42022 江苏苏州 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点如 AC4,就四边形CODE 的周长是 A4B6 C8 D10 52022 贵州铜仁 以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于 A,B 两点,就线段 AB 的最小值是 _ 62022 山东临沂 如图,点 A,F ,C,D 在同始终线上,点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧,且 ABDE , A D,AFDC

13、 . 1求证：四边形 BCEF 是平行四边形；2如 ABC90,AB4,BC3,当 AF 为何值时,四边形BCEF 是菱形？ABCD 为菱1菱形具有而矩形不肯定具有的性质是 A对角线相互垂直B 对角线相等C对角线相互平分D对角互补2如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相互垂直,就以下条件能判定四边形形的是 ABA BCBAC,BD 相互平分CAC BDDAB CD名师归纳总结 3已知四边形ABCD中, A B C90,假如添加一个条件,即可推出该四边形E第 5 页,共 9 页是正方形,那么这个条件可以是 A D90B ABCDCAD BCDBCCD4如图,四边形ABCD 为矩形纸片,把纸

14、片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点处,折痕为AF .如 CD 6,就 AF 等于 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A43 B33 C4 2 D8 5如图,两条笔直的大路 l1,l2相交于点 O,村庄 C 的村民在大路的旁边建三个加工厂 A,B,D,已知 ABBCCD DA5 千米,村庄 C 到大路 l 1的距离为 4 千米,就村庄 C 到大路 l2的距离是 第 5 题图 A3 千米B4 千米C 5 千米D6 千米6如图,四边形ABCD是正方形,延长AB 到 E,使AE AC,就 BCE 的度数是_ 第 6 题图 7如图, EF 过矩形

15、ABCD 对角线的交点O,且分别交AB,CD 于 E,F ,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 _ 第 7 题图 8如图,点P 是边 长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点,点M,N 分别是 AB,BC边上的中点,MP NP 的最小值是 _ 第 8 题图 名师归纳总结 9如图 1 所示,在正方形ABCD 中, M 是 AB 的中点, E 是 AB 延长线上一点,MN DM ,第 6 页,共 9 页且交 CBE 的平分线于点N. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1求证： MD MN . 2如将上述条件中“M 是 AB 的中点” 改为

16、“M 是 AB 上任意一点” ,其余条件不变,如图 2所示,就结论“MD MN ” 仍成立吗？如成立,给出证明；如不成立,请说明理由参考答案导学必备学问自主测试1B2C 2224x2,解得 x3 2,应选 C. 3C设 AGAGx, x4C 5证明： 如题图,四边形 ABCD 为正方形,ABBC, ABC BCD 90. EAB AEB90. EOB AOF 90, FBC AEB90 . EAB FBC . ABE BCF .BE CF. 探究考点方法触类旁通 1证明： 1在矩形 ABCD 中, AD BC,ADBC, 1 2. 2 3, 1 3, BF DF . 2ADBCBE,BF DF

17、 ,AFEF, AEB EAF . AFE BFD , 1 3, AEB 3, AE BD. 触类旁通2 证明： 四边形ABCD 是平行四边形,AD BC,OBOD , EDO FBO , OED OFB , OED OFB , DE BF. 又 DE BF ,四边形 BEDF 是平行四边形EFBD,四边形 BEDF 是菱形品鉴经典考题名师归纳总结 1B由于菱形的对边平行且相等,所以A 正确；对角线相互平分且垂直,但不肯定相第 7 页,共 9 页等,所以C,D 正确, B 错误- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 C依据已知可得到菱形的边长为2 cm

18、,从而可得到高所对的角为30,相邻的角为150,就该菱形两邻角度数比为 5: 1.应选 C. 3B 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；对角线相互垂直且 相等的四边形是正方形是假命题；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题应选 B. 4CCEBD, DEAC,四边形 CODE 是平行四边形四边形 ABCD 是矩形,1ACBD4,OA OC,OBOD, OD OC2AC2,四边形 CODE 是菱形,四边形 CODE 的周长为 4OC4 28. 应选 C. 52 如图：四边形 CDEF 是正方形,OCD ODB 45, C

19、OD 90,OC OD. AO OB, AOB90 , COA AOD 90, AOD DOB 90, COA DOB . OCA ODB ,在 COA 和 DOB 中,有 OCOD,AOC DOB , COA DOB, OA OB. AOB90, AOB 是等腰直角三角形,由勾股定理得：ABOA 2OB 22OA,要使 AB 最小,只需 OA 取最小值即可依据垂线段最短,OACD 时, O A 最小此时 OA1 2CF 1,即 AB2. 6解： 1 证明： AFDC , AFFC DC FC,即 ACDF . 又 A D, ABDE, ABC DEF . BCEF, ACB DFE . BC

20、 EF.四边形 BCEF 是平行四边形2如四边形 BCEF 是菱形,连接 BE,交 CF 于点 G,BECF,FG CG. ABC90,AB4, BC3,ACAB2BC24 23 25. BGC ABC90, ACB BCG, ABC BGC. 名师归纳总结 BC ACCG BC,即 3 5CG 3 .CG9 5.FC2CG18 5 . 第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AFACFC 518 57 5. 因此,当 AF 7 5时,四边形BCEF 是菱形研习猜测试题1A 2B 3D 4A点 E 是 CD 的中点, DE CE1 2C

21、D3. 四边形 ABCD 是矩形, ABCD 6. 由折叠性质可知,AEAB6,BFEF ,在 Rt ADE 中, ADAE 2DE 23 3,BC3 3.设 CFx,BF EF 3 3 x,在 Rt CEF 中, 3 3x2x232,x3.BF2 3.在 Rt ABF 中, AF 4 3. 5B 622.5 71 481 在 DC 上找 N 点关于 AC 的对称点 N,连接 MN ,就 MN 的长即为 MPNP 的最小值,此时 MN AD1. 9分析： 1 证 MD MN,可证它们所在的三角形全等,易知 MN 在钝角 MBN 中,而 MD在直角 AMD 中,明显需添加帮助线构造全等三角形,由

22、 MBN 的特点想到可在 AD 上取 AD的中点 F,构造 MDF NMB ； 2可参照第 1 题的方法1证明： 取 AD 的中点 F,连接 MF . M 是 AB 的中点, F 是 AD 的中点,MBAM 1 2AB,DF AF 12AD . ABAD, AFAM DF MB , 145, DFM 135 . BN 平分 CBE , CBN45. MBN135 . MBN DFM . DMN 90, NMB DMA 90. A90, ADM DMA 90. NMB ADM . DFM MBN . MD MN. 2解： 结论 MD MN 仍成立证明：在 AD 上取点 F,使 AFAM ,连接 MF . 由1中证法可得：DF BM , DFM MBN, FDM BMN, DFM MBN , MD MN . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页