2023届新高考高三数学一轮复习题型1.3.2 不等式的性质与解法（针对练习）含解析.pdf

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1、20232023 届新高考高三数学一轮复习题型届新高考高三数学一轮复习题型第一章第一章 集合与集合与常用逻辑用语、不等式常用逻辑用语、不等式1.1.3.23.2 不等式的性质与解法不等式的性质与解法（针对练习）（针对练习）针对练习针对练习针对练习一针对练习一 不等式的性质不等式的性质1已知,a b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是（）A22abB22a babCbaabD2211aba b2若 a，b，c 为实数，且ab，则下列不等关系一定成立的是（）A22acbcB11abC2abbDacbc3如果0,0ab，则下列不等式中正确的是（）A11abBabC22abD|ab4设21Pa，2Q

2、a，aR，则 P、Q 的大小为（）APQBPQCPQDPQ5若(1)(3)axx，22(2)bx，则下列结论正确的是（）AabBabCabDa，b 大小不确定针对练习二针对练习二 解一元二次不等式解一元二次不等式6已知01A,，2340Bx xx，则AB（）A4,1B4,1C4,1D4,17不等式22150 xx的解集为（）A532xxB52x x 或3x C532xx D3x x 或52x8若01a则不等式2011xaxa的解是（）A1axaB1xaaCxa或1xaD1xa或xa9若0a，则不等式110a xxa的解集是（）A1|1xxa B1|1xxa C1|x xa 或1x D|1x x

3、 或1xa 10已知0a，关于x的一元二次不等式2220axa x的解集为（）A2|x xa，或1x B2|1xxaC|1x x，或2xaD2|1xxa针对练习三针对练习三 由一元二次不等式的解确定参数由一元二次不等式的解确定参数11若关于x的不等式220axbx的解集为|12xx，则ab（）A0B2C2D2或212已知关于x的不等式220 xmxn的解集是2,3，则mn的值是（）A2B2C22D2213已知不等式210axbx 的解集为1123xx，则 a，b 的值是（）A3，6B6，1C6，3D3，614已知不等式270 xxa的解集是2xxb，则实数 a 等于（）A10B5C5D1015

4、不等式220 xmxn的解集是3x x 或2x ，则mn的值是（）A14B0C10D14针对练习四针对练习四 一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题16关于x的方程2220 xmxmm有两个正的实数根，则实数m的取值范围是（）.A0m B0m Cm1D1m 17一元二次方程2510 xxm 的两根均大于 2，则实数 m 的取值范围是（）A21,4B,5C21,54D21,5418要使关于x的方程22(1)20 xaxa的一根比 1 大且另一根比 1 小，则a的取值范围是()A11a B1a 或1a C2a 或1a D21a 19已知一元二次方程22120 xmxm的两个根一个大于1另

5、一个小于1，则实数m的取值范围为A2,1B,1C1,2D,21,20一元二次方程24260 xmxm有两个负根，则实数m的范围为A30m B31m C32m D312m 针对练习五针对练习五 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题21关于x的不等式23208axax对一切实数x都成立，则a的取值范围是A3,0B0,3C3,0D3,022若不等式23xaxaa对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是A1,3B3,1C2,6D6,223已知关于x的不等式2110 xkxk 对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是A,31,B,13,C1,3D3,124若不等式220 xaxa，对xR恒成

6、立,则实数a取值范围为A|12aaB|21aa C|02aa【答案】D【解析】由已知可得判别式0、对应的二次函数满足(0)0f，即可求出m的范围【详解】解：方程2220 xmxmm有两个实数根，2244()0mmm，0m，x的方程2220 xmxmm有两个正的实数根，对应的二次函数22()2f xxmxmm的开口向上，对称轴0 xm所以(0)0f，可得20mm，0m或1m，1m，故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键17一元二次方程2510 xxm 的两根均大于 2，则实数 m 的取值范围是（）A

7、21,4B,5C21,54D21,54【答案】C【解析】根据条件需满足0，(2)0f，对称轴522x 即可求出 m 的取值范围.【详解】关于 x 的一元二次方程2510 xxm 的两根均大于 2，则 2544024 10 10522mfm,解得2154m.故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布，属于基础题.18要使关于x的方程22(1)20 xaxa的一根比 1 大且另一根比 1 小，则a的取值范围是()A11a B1a 或1a C2a 或1a D21a【答案】D【解析】【分析】由题意可得，二次函数22()(1)2f xxaxa的图象与x轴的两个交点在1x 的两边，则 10f，由此求

8、解关于a的不等式得答案【详解】解：方程22(1)20 xaxa对应的二次函数为22()(1)2f xxaxa，其图象是开口向上的抛物线，要使方程22(1)20 xaxa的一根比 1 大且另一根比1 小，则抛物线与x轴的两个交点在1x 的两边，211120faa ，即220aa，解得21a 故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查数学转化思想方法，灵活运用“三个二次”的结合是关键，属于基础题19已知一元二次方程22120 xmxm的两个根一个大于1另一个小于1，则实数m的取值范围为A2,1B,1C1,2D,21,【答案】A【解析】【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数

9、的关系列出不等式 10f，即可求得实数m的取值范围【详解】令 2212fxxmxm，则由题意可得 211120fmm ，即220mm，解得21m，故实数m的取值范围为2,1，故选 A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题20一元二次方程24260 xmxm有两个负根，则实数m的范围为A30m B31m C32m D312m【答案】B【解析】【分析】两个负根可相等或不相等，可得0；利用两根之和小于零，两根之积大于零，可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】设24260 xmxm的两个负根为12,x x则21212164 26040260mmxxmx

10、 xm，解得：31m 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据一元二次方程根的分布求解参数范围问题，关键是能够根据根的分布得到判别式、两根之和与两根之积的不等式，属于常考题型.针对练习五针对练习五 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题21关于x的不等式23208axax对一切实数x都成立，则a的取值范围是A3,0B0,3C3,0D3,0【答案】D【解析】【分析】特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当0a 时，满足题意，所以可排除选项 B、C、A，故选 D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值22若不等式23xaxaa对任意实数x都成立，则实数a的取值

11、范围是A1,3B3,1C2,6D6,2【答案】D【解析】【详解】【分析】将不等式整理得223230 xaxaa对任意实数x都成立，所以22(3)4 230aaa，解得62a 故选 D.23已知关于x的不等式2110 xkxk 对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是A,31,B,13,C1,3D3,1【答案】D【解析】【详解】关于x的不等式2110 xkxk 对任意实数x都成立，则2(1)4(1)0kk，解得31k，故选 D.24若不等式220 xaxa，对xR恒成立,则实数a取值范围为A|12aaB|21aa C|02aa0,ts0，所以stts2，当且仅当st取等号，成立；对于 C，st(

12、s)(t)2222stst，当且仅当st取等号，成立；对于 D，22222222124422stststststst，当且仅当st取等号，成立故选：A变式 1-4若 a0，b0，且 ab，则（）A2abab222abBab2ab222abCab222ab2abD222abab2ab【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】a，bR+，且 ab，a+b2ab，ab2ab，而222()24abab2()4ab0，2ab222ab，故选：B题型战法二题型战法二 均值不等式的简单应用均值不等式的简单应用典例 2若0a，0b 且4ab，则ab的最大值为（）A4B2C12D14【答案】A【

13、解析】【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为0a，0b 且4ab，所以242abab，当且仅当2ab时取等号；故选：A变式 2-1已知0a，0b 且2510ab，则ab的最大值为（）A2B5C32D52【答案】D【解析】【分析】直接由基本不等式求解即可.【详解】因为25102 25abab，所以52ab，当且仅当5,12ab时，等号成立.所以ab的最大值为52.故选：D变式 2-2已知0a，0b，2ab，则lglgab的最大值为（）A0B13C12D1【答案】A【解析】【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lglglglg2ababab.【详解】0a，0b，2ab，2l

14、glglglg02ababab，当且仅当 ab1 时，取等号.故选：A.变式 2-3设0a，0b，若lga和lgb的等差中项是 0，则ab的最小值为（）A1B2C4D2 2【答案】B【解析】【分析】根据已知求出1ab，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为lga和lgb的等差中项是0，所以lglglg()0,1ababab，所以22abab，当且仅当1ab时取等号.所以ab的最小值为 2.故选：B变式 2-4已知0 x，0y，23xy，则93xy的最小值为（）A27B12 3C12D6 3【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求得结果.【详解】因为0 x，0y，23xy，则2293332

15、36 3xyxyxy，当且仅当232xy时，等号成立，因此，93xy的最小值为6 3.故选：D.题型战法三题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用均值不等式相关拓展公式的应用典例 3已知正数a，b满足222ab，则下列结论错误的是（）A1ab B2abC2abD112ab【答案】D【解析】【分析】A、B、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误.【详解】A：222abab，当且仅当ab时，等号成立，又因为222ab，所以22ab，即1ab，故 A 正确；B：2222224abababab，当且仅当ab时，等号成立，因为0,0ab，所以2ab，故 B 正确；C：22224ab

16、abab，当且仅当ab时，等号成立，所以2ab，故 C 正确；D：若17,22ab，则112ab，故 D 错误；故选：D.变式 3-1若0,0ab，且4ab，则下列不等式恒成立的是（）A112abB228abC2ab D111ab【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】依题意0,0ab，且4ab，所以242abab，所以114ab，所以 A 选项错误.22221628abababab，所以 B 选项正确.42ab，所以 C 选项错误.1141abababab，所以 D 选项错误.故选：B【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.变式 3-

17、2若0a，0b，且1ab，则（）A2212abB12ab C14abD114ab【答案】C【解析】【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可【详解】因为0a，0b，且1ab，所以12abab，所以12ab，当且仅当12ab时取等号，所以 B 错误，所以由12ab，得14ab，所以14ab，当且仅当12ab时取等号，所以 C 正确，所以22211()212122abababab ，当且仅当12ab时取等号，所以 A 错误，由0a，0b，且1ab，得11112224bab aababababa b，当且仅当12ab时取等号，所以 D 错误，故选：C变式 3-3已知ABCD【答案】C【解析】【详

18、解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用由0,0ab,且2ab，222224()22()abababab，222ab变式 3-4已知0a，0b，4ab，则下列各式中正确的是（）A11ab14B11ab1Cab 2D1ab1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2ab时，111ab，所以 AB 选项错误，同时1114ab，所以 D 选项错误.对于 C 选项，由基本不等式得4222abab，当且仅当2ab时等号成立.所以 C 选项正确.故选：C题型战法四题型战法四 均值不等式均值不等式“1 1”的妙用的妙用典例 4已知0 x，0y，21xy，

19、则11xy的最小值为（）A32 2B12C84 3D6【答案】A【解析】【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.【详解】因为0 x，0y，21xy，所以1122332 2yxxyxyxy，当且仅当2yxxy，即2221,2xy时，等号成立.故选：A.变式 4-1已知正数a，b满足1ab，则19ab的最小值为（）A6B8C16D20【答案】C【解析】【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解.【详解】由已知条件得1919910baabababab210169baab，当且仅当9baab，1ab时，即14a，34b 时等号成立.故选：C.变式 4-2若正实数x，y满足12yx，则4x

20、y的最小值是（）A4B92C5D9【答案】B【解析】【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解.【详解】解：因为x，y是正实数，所以0 xy 故有41 141419552 42222xyxxyyxyxy，当且仅当4xyxy，即32x，43y 时取到等号.故选：B.变式 4-3已知0 x，0y，且420 xyxy，则2xy的最小值为（）A16B84 2C12D64 2【答案】A【解析】【分析】由题意得，241xy，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy，乘“1”得2482822(2)82816xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当82xyyx时，

21、取等号，则2xy的最小值为16.故选：A变式 4-4设m，n为正数，且2mn，则4111mn的最小值为（）A134B94C74D95【答案】B【解析】【分析】将2mn拼凑为11144mn，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【详解】2mn，114mn，即11144mn，4111mn41141114mnmn1151414nmmn11521 414nmmn94，当且仅当11141nmmn，且2mn时，即53m，13n 时等号成立.故选：B.题型战法五题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别对勾函数与均值定理的关系与区别典例 5下列结论正确的是（）A当0 x 且1x 时，1ln2lnxxB当0

22、,2x时，4sinsinxx的最小值为 4C当0 x 时，12xxD当0ab 时，2baab【答案】C【解析】【分析】A 选项：取特值，当1ex 时，ln1x ，1ln2lnxx，由此可判断；B 选项：当sin1x 时，4sin5sinxx，由此可判断；C 选项：根据基本不等式112xxxx，再验证等号成立的条件可判断；D 选项：取特值1a，1b 计算可判断.【详解】解：A 选项：当1ex 时，ln1x ，1ln2lnxx，故 A 错误；B 选项：当0,2x时，sin(0,1x，当sin1x 时，4sin5sinxx，故 B 错误；C 选项：当0 x 时，0 x，1122xxxx，当且仅当1x

23、 时，取等号，故 C 正确；D 选项：当1a，1b 时，0ab，2baab，故 D 错误.故选：C.变式 5-1下列不等式中，一定成立的是（）A44xxB1ln2lnxxC2ababD222xx【答案】D【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项.【详解】对于 A，取2x ，则444xx ，故 A 错.对于 B，取1xe，则1ln22lnxx ，故 B 错.对于 C，取1ab，则112abab ，故 C 错.对于 D，由基本不等式可得222 22xxx x，当且仅当0 x 时等号成立，故选：D.变式 5-2已知函数 4(0)fxxxx，则下列结论正确的是（）A f x有最小值 4 B

24、f x有最大值 4 C f x有最小值4D f x有最大值4【答案】D【解析】根据基本不等式即可求出【详解】解：0 x Q，0 x，44fxxxxx 424xx ，当且仅当4xx，即2x 时取等号，f x有最大值4.故选：D变式 5-3若12x，则12xx的（）A最小值为 0B最大值为 4C最小值为 4D最大值为 0【答案】D【解析】【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为12x，所以20 x，则111222220222xxxxxx，当且仅当122xx，即1x 时取等号，此时取得最大值 0，故选：D变式 5-4已知1x时，函数4yxx的最小值为（）A6B5C4D3【答案】C【解析】根

25、据基本不等式，即可求出函数的最小值.【详解】当1x时，4424yxxxx，当且仅当4xx，即2x 时，等号成立.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六题型战法六 分式最值问题分式最值问题典例 6已知52x，则 2452xxfxx有A最大值52

26、B最小值52C最大值 2D最小值 2【答案】D【解析】【详解】依题意 122fxxx，类比对钩函数1yxx的性质可知，当122xx，即3x 时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1yxx在区间0,1上递减，在1,上递增，而函数 122fxxx是由1yxx函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x 时，函数取得最小值为2.变式 6-1若0 x，则231xx的最大值是（）A2B2C4D4【答案】B【解析】【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111xxxxxxx，再利用基本不

27、等式即可求解.【详解】因为0 x，所以10 x2212143412111xxxxxxx 4122 4221xx ，当且仅当411xx，即1x时，等号成立，故选：B.变式 6-2若11x，则22222xxyx有（）A最大值1B最小值1C最大值1D最小值1【答案】A【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因11x，则012x，于是得21(1)11111(1)2(1)1212121xyxxxxx ，当且仅当111xx，即0 x 时取“=”，所以当0 x 时，22222xxyx有最大值1.故选：A变式 6-3设正实数x、y、z满足22430 xxyyz，则xyz的最大值为

28、（）A0B2C1D3【答案】C【解析】【分析】计算得出143xyxyzyx，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x、y、z满足22430 xxyyz，则2243zxxyy，则221114434323xyxyxyzxxyyx yyxyx，当且仅当20yx时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.变式 6-4已知正实数x、y、z满足2221xyz，则58xyz的最小值是（）A6B5C4D3【答案】C【解析】由2221xyz可得出22212zxyxy，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz的最小值.【详解】2221xyz，22212zxyxy，225854254 141xy

29、xyzz ，由于x、y、z均为正数，则258411142 44xyzzzzzzz，当且仅当0140 xyzz时，即当6412xyz时，等号成立，因此，58xyz的最小值是4.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七题型战法七 均值不等式的综合应用均值不等式的综合应用典例 7已知直线100axbyab 过圆22122022xy的圆心，则11ab的最小值为（）A32 2B32 2C6D9【答案】A【解析】【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21ab，由11112ababab，利用基本不等式可求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心1,2；直线100a

30、xbyab 过圆的圆心，210abab；111122233232 2abababababbaba（当且仅当2abba，即2ab时取等号），11ab的最小值为32 2.故选：A.变式 7-1在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c若22243abc，当角 A取最大值时，则sinC（）A3 77B24C74D4 77【答案】B【解析】【分析】根据题意可得22234abc，结合余弦定理可得7cos4A 时,角 A 最大，即有2292ac，由此化简2227cos22 2abcCab，结合同角的三角函数的关系式，求得答案.【详解】由题意得，22234abc，故2222223774cos284b

31、cbcbcAbcbc，当且仅当227bc时取等号，即7(0,),cos4AA时,角 A 最大,此时2292ac，故22297 172cos322 2272abcCab，而(0,)C,所以2sin4C，故选：B变式 7-2等比数列 na的各项都是正数，等差数列 nb满足98ba，则（）A313612aabbB313612aabbC313612aabbD大小不定【答案】B【解析】【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解.【详解】因为数列 na是各项都为正数的等比数列，所以3813,a a a成等比数列，所以313313822aaaaa，又数列 nb是等差数列，所以6912,b b b成等

32、差数列，所以61292bbb，又因为98ba，所以313612aabb，故选：B变式 7-3函数21cos22cosyxx的最小值为()A0B1C2D-1【答案】B【解析】【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值【详解】22222111cos22cos122cos1 12cos2cos2cosyxxxxxx ，当且仅当2212cos2cosxx，即21cos2x 时取等号故选：B变式 7-4如图，在ABC中，D是线段BC上的一点，且4BCBD ，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AMAB ，(0,0)ANAC，则1的最小值是（）A2 321B2 34C2 34D2 32【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,的关系，即31144，可得134，再利用基本不等式求最值即可【详解】由条件可得11314444ADABBDABBCABACABABAC ，,0,0AMAB ANAC ，3144ADAMAN，因为,M D N三点共线，31144，134，130,0,40，34，则133442 34；当且仅当3，即3时取等号，故1的最小值是2 34；故选：C