2022年江苏省高中数学竞赛试卷含答案3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省高中数学竞赛试卷一、挑选题（此题满分30 分,每道题6 分）名师归纳总结 - - - - - - -1假如实数m,n,x,y 满意m2n2a,x2y2b,其中 a,b 为常数, 那么 mx+ny 的最大值为（）A a2bBabCa22b2Da2b222设yyfx为指数函数yax在 P（1,1）, Q（ 1,2）, M（2,3）,N1,1四点中,函24与其反函数f1 x 的图像的公共点只可能是（）数fxyA PBQCMDN3在如图的表格中,假如每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比列,那么 x y z 的值为A 1 B2 1

2、2 C3 D4 0.5 1 x（数）y4假如A 1B 1 C 1的三个内角的余弦值分别是zA 2B2 C2的三个内角的正弦值,那么（）A A 1B 1 C1与A 2B2C2都是锐角三角形BA 1B 1 C1是锐角三角形,A 2B2C2是钝角三角形CA 1B 1 C1是钝角三角形,A 2B2C2是锐角三角形DA 1B 1 C1与A 2B2C2都是钝角三角形5设 a,b 是夹角为 30的异面直线,就满意条件“a, b,且” 的平面,（）A 不存在B有且只有一对C有且只有两对D有很多对二、填空题（此题满分50 分,每道题10 分）6设集合Axx2x2和Bxx2,其中符号x 表示不大于x 的最大整数,

3、就AB_. 7同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6 点的概率是 P_（结果要求写成既约分数） . 8 已 知 点O在ABC 内 部 ,OA2 OB2 OC0.ABC与OCB的 面 积 之 比 为_. 2 29 与 圆 x y 4 x0外 切 , 且 与y轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为_. 2 2 a b =_. 10在 ABC 中,如 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,就 2 c 三、解答题（此题满分 70 分,各小题分别为 15 分、 15 分、 20 分、 20 分）第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11已

4、知函数fx2x2bxc在x1时有最大值1,0mn,并且xm ,n时,fx 的取值范畴为1 n,1 m. 试求 m,n 的值 . OAOB0；2 x12A、B 为双曲线4（）求证：12OAy21上的两个动点,满意9 12为定值；OB（）动点 P 在线段 AB 上,满意 OP AB 0,求证：点 P 在定圆上 . 13如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 BDC,BDA,CDA,且,都是锐角 . 求二面角MlN的平面角的余弦值（用,的三角函数值表示）. NC名师归纳总结 BAD第 2 页,共 7 页- - -

5、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14能否将以下数组中的数填入3 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的3 个数的乘积都相等？如能,请给出一种填法；如不能,请赐予证明. （） 2,4,6,8,12,18,24,36,48；（） 2,4,6,8,12,18,24,36,72. 参考答案名师归纳总结 一、挑选题（此题满分30 分,每道题26 分）n2x2y2ab； 或 三 角 换 元 即 可 得 到1 解由 柯 西 不 等 式 mxny2 mmxnyab,当mna,xyb时,mxnyab. 选 B. 22第 3 页,共 7 页- - - -

6、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2解取a1,把坐标代入检验,111,而111,公共点只可能是点4216164162N. 选 D. 53解 第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5；第三、四、五列中的 x 5.0,y,163z,就 x y z 1 . 选 A. 164假如 A 1 B 1 C 1 的三个内角的余弦值分别是 A 2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,那么解 两个三角形的内角不能有直角；A 1 B 1 C 1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形；如A 2 B 2 C 2 是锐角三角形,就不妨设cos A =sin A =cos A

7、1,cos B =sin B =cos A 2,2 2cos C =sin C =cos C 1 . 2就 A 1 A 2,B 1 B 2,C 1 C 2,2 2 2即 A 1 B 1 C 1 3 A 2 B 2 C 2 ,冲突 . 选 B. 25解 任作 a 的平面,可以作很多个 . 在 b 上任取一点 M,过 M 作 的垂线 . b 与垂线确定的平面 垂直于 . 选 D. 二、填空题（此题满分 50 分,每道题 10 分）6解 x 2, x 的值可取 2 , 1 0, 1, . 当x= 2 ,就 x 2 0 无解；当 x= 1,就 x 21, x= 1；当x=0 ,就 x 2 2 无解；当

8、x=1 ,就 x 23,x 3 . 所以 x 1或 3 . 37解 考虑对立大事,P 1 5 91. 6 2168解 由图,ABC 与 OCB 的底边相同,高是 5：1. 故面积比是 5：1. 名师归纳总结 9解由圆锥曲线的定义,圆心可以是以（2,0）为焦点、ABO,C第 4 页,共 7 页x2为准线的抛物线上的点；如切点是原点,就圆心在 x 轴负半轴上 .所以轨迹方程为y28x x0,或y0 x0 . 10解切割化弦,已知等式即sinAsinBsinAsinCsinBsinCcosAcosBcosAcos CcosBcos C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

9、 - - 亦即sinAsinBcsinACB ,即sinAsinBcosC=1,即abcos C1. sinCcossin2Cc2所以,a2b221,故a2c2b23. 2c2三、解答题（此题满分70 分,各小题分别为15 分、 15 分、 20 分、 20 分）11解由题fx 2x1 21,r 5 分f x 1,1 m1,即m1,n fx在m ,n上单调减,11且f2 n1211. 10 分fm 22 m1 mnxm , n 是方程fx 2 x1 211的两个解,方程即x1 2x22x1 15 分=0,解方程,得解为1,123,123. 1mn,m1,n123. 12证（）设点A 的坐标为r

10、cos,rsin,B 的坐标为rcossin,就rOA,rOB,A 在双曲线上,就r22 cossin21 . 49 5 分所以1cos2sin2. r249由OAOB0得OAOB,所以cos2sin2,cos2sin2. 同理,r1cos2sin2sin2cos2,24949 10 分所以|1|2|12 |11115. OAOBr2r24936（）由三角形面积公式,名师归纳总结 得OP2AB2OAOB,所以21OA2OB2OA2OB2. 第 5 页,共 7 页2OP2AB2OA2OB,即OP即OP11OP21OP251. OAOB24936- - - - - - -精选学习资料 - - -

11、- - - - - - 于是,OP236. 5即 P 在以 O 为圆心、655为半径的定圆上. 15 分13解在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,交射线 DB 于 B 点；在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线,交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1 ,就ABtan,DB1,tan2 5 分,cosACtan,DC1,cos并且BAC就是二面角MlN平面角 . 10 分在DBC 与ABC中,利用余弦定理,可得等式2tantancosBC211cos2costan2cos2cos2cos所以,2tantancostan2tan211cos2coscos2cos2cos=2coscoscos, 15 分coscos故得到coscossincoscos. sin 20 分14解（）不能. 1. 但是=2193 5 分由于如每行的积都相等,就 9 个数的积是立方数24681218243648=2 1+2+1+3+2+1+3+2+4 3 18 不是立方数,故不能. 2121 15 分（）可以 . 如右表名师归纳总结 36 2 24 第 6 页,共 7 页8 12 18 6 72 4 表中每行、每列及对角线的积都是2 62 3. 20 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页