[超详细版]复变函数与积分变换复习提纲.pdf

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1、 1复变函数复习提纲复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：复数的概念：zxiy=+，, x y是实数, ( )( )Re,Imxzyz=.21i = . 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示复数的表示 1）模：）模：22zxy=+； 2） 幅角） 幅角： 在0z 时， 矢量与x轴正向的夹角， 记为( )Arg z（多值函数） ； 主值( )arg z是位于(, 中的幅角。 3）( )arg z与arctanyx之间的关系如下： 当0,x argarctanyzx=； 当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx=+=； 4）三角表示三角表示：()co

2、ssinzzi=+，其中arg z =；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示指数表示：izz e=，其中arg z =。 (二) 复数的运算 1.加减法加减法：若111222,zxiy zxiy=+=+，则()()121212zzxxi yy=+ 2.乘除法乘除法： 1）若111222,zxiy zxiy=+=+，则 ()()1 212122112z zx xy yi x yx y=+； ()()()()112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy+=+。 2）若121122,iizz ezz e=,

3、则 ()121 212iz zzz e+=； 2()121122izzezz= 3.乘幂与方根乘幂与方根 1） 若(cossin )izziz e=+=，则(cossin)nnninzzninz e=+=。 2） 若(cossin )izziz e=+=，则 122cossin(0,1,21)nnkkzziknnn+=+=L（有n个相异的值） （三）复变函数 1复变函数：复变函数：( )wf z=，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2复初等函数复初等函数 1）指数函数：）指数函数：()cossinzxeeyiy=+，在z平面处处可导，处处解析；且( )zz

4、ee=。 注：ze是以2 i为周期的周期函数。 （注意与实函数不同） 3） 对数函数：对数函数： ln(arg2)Lnzzizk=+(0, 1, 2)k = L（多值函数） ； 主值：lnlnargzziz=+。 （单值函数） Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1lnzz=； 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea=；(0)bbLnzzez= 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1bbzbz=。 4）三角函数：）三角函数：sincossin,cos,t,22cossiniziziz

5、izeeeezzzzgzctgzizz+= sin ,coszz在z平面内解析，且()()sincos , cossinzzzz= 注：有界性sin1, cos1zz不再成立； （与实函数不同） 4） 双曲函数双曲函数 ,22zzzzeeeeshzchz+=； 3shz奇函数，chz是偶函数。,shz chz在z平面内解析，且()(),shzchz chzshz=。 （四）解析函数的概念 1复变函数的导数复变函数的导数 1）点可导：）点可导：()0fz=()()000limzf zzf zz +； 2）区域可导区域可导： ( )f z在区域内点点可导。 2解析函数的概念解析函数的概念 1）点解

6、析： ( )f z在0z及其0z的邻域内可导，称( )f z在0z点解析； 2）区域解析： ( )f z在区域内每一点解析，称( )f z在区域内解析； 3）若( )f z在0z点不解析，称0z为( )f z的奇点； 3解析函数的运算法则解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1函数可导的充要条件函数可导的充要条件：( )()(),f zu x yiv x y=+在zxiy=+可导 (),u x y和(),v x y在(), x y可微，且在(), x y 处满足CD条件：,uvuvxyyx=

7、 此时， 有( )uvfzixx=+。 2函数解析的充要条件函数解析的充要条件：( )()(),f zu x yiv x y=+在区域内解析 (),u x y和(),v x y在(), x y在D内可微，且满足CD条件：,uvuvxyyx= ； 此时( )uvfzixx=+。 注： 若()(),u x yv x y在区域D具有一阶连续偏导数，则()(),u x yv x y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明, u v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数( )f zuiv=+一定是可导或解析的。 3函数可导与解析的判别方法函数可导与解析的判别方法 41）利用定义 （题目要

8、求用定义，如第二章习题 1） 2）利用充要条件 （函数以( )()(),f zu x yiv x y=+形式给出，如第二章习题 2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。 （函数( )f z是以z的形式给出，如第二章习题 3） （六）复变函数积分的概念与性质 1 复变函数积分的概念：复变函数积分的概念：( )()1limnkkcnkf z dzfz=，c是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2 复变函数积分的性质复变函数积分的性质 1） ( )( )1ccf z dzf z dz= （1c与c的方向相反） ； 2） ( )( )( )( ), ,cccf zg z dzf

9、 z dzg z dz +=+是常数； 3） 若曲线c由1c与2c连接而成，则( )( )( )12cccf z dzf z dzf z dz=+。 3复变函数积分的一般计算法复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：( )cccf z dzudxvdyivdxudy=+； （常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c： ( )()zz tt= ，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则 ( )( ) ( )cf z dzf z tz t dt=。 （七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1柯西古萨基本定理：柯西古萨基本定理：设( )f z在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 ( )0cf

10、 z dz = 2复合闭路定理复合闭路定理： 设( )f z在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，12,nc ccL是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,nc ccL为边界的区域全含于D内，则 ( )cf z dz ( )1,knkcf z dz= 其中c与kc均取正向； ( )0f z dz= ，其中由c及1(1,2,)ckn=L所组成的复合闭路。 3闭路变形原理闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数( )f z沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续 5变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使( )f z不解析的奇点。 4 解析函数沿非闭曲线的积分 解析函数沿非

11、闭曲线的积分： 设( )f z在单连域B内解析，( )G z为( )f z在B内的一个原函数，则( )()( )212112( ,)zzf z dzG zG zz zB= 说明：解析函数( )f z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5。 柯西积分公式：柯西积分公式： 设( )f z在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，0z为c内任意一点，则( )()002cf zdzif zzz= 6高阶导数公式：高阶导数公式：解析函数( )f z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 ( )( )()0102(1,2)()!nncf zidzfznzzn+=L

12、 其中c为( )f z的解析区域D内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7重要结论：重要结论： 12,010,0()ncindznza+= 。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线） 8复变函数积分的计算方法复变函数积分的计算方法 1）若( )f z在区域D内处处不解析，用一般积分法( )( )( )cf z dzf z tz t dt= 2）设( )f z在区域D内解析， l c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，( )0cf z dz = l c是D内的一条非闭曲线，12,z z对应曲线c的起点和终点，则有 ( )( )()( )2121zczf z dzf z

13、 dzF zF z= 3）设( )f z在区域D内不解析 l 曲线c内仅有一个奇点：( )()( )( )()0001022()!cnncf zdzi f zzzf zidzfzzzn+=（( )f z在c内解析） 6l 曲线c内有多于一个奇点：( )cf z dz ( )1knkcf z dz= （ic内只有一个奇点kz） 或：( )12Re ( ),nkkcf z dzis f z z= （留数基本定理） l 若被积函数不能表示成( )1()nof zzz+，则须改用第五章留数定理来计算。 （八）解析函数与调和函数的关系 1调和函数的概念：调和函数的概念：若二元实函数( , )x y在D内

14、有二阶连续偏导数且满足22220 xy+=， ( , )x y为D内的调和函数。 2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 l 解析函数( )f zuiv=+的实部u与虚部v都是调和函数， 并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 l 两个调和函数u与v构成的函数( )f zuiv=+不一定是解析函数；但是若, u v如果满足柯西 黎曼方程，则uiv+一定是解析函数。 3已知解析函数已知解析函数( )f z的实部或虚部，求解析函数的实部或虚部，求解析函数( )f zuiv=+的方法。的方法。 1）偏微分法：若已知实部(),uu x y=，利用CR条件，得,vvxy； 对vuyx=两边积分，

15、得( )uvdyg xx=+ （*） 再对（*）式两边对x求偏导，得( )vudygxxxx=+ （*） 由CR条件，uvyx= ，得( )uudygxyxx= +，可求出 ( )g x； 代入（*）式，可求得 虚部( )uvdyg xx=+ 。 2） 线积分法： 若已知实部(),uu x y=， 利用CR条件可得vvuudvdxdydxdyxyyx=+= +， 故虚部为()()00,x yxyuuvdxdycyx=+； 7由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,xy与(), x y 是解析区域中的两点。 3）不定积分法：若已知实部(),uu x y=，根据解析函数

16、的导数公式和CR条件得知， ( )uvuufziixyxy=+= 将此式右端表示成z的函数( )U z，由于( )fz仍为解析函数，故 ( )( )f zU z dzc=+ （c为实常数） 注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部. u （九）复数项级数 1复数列的极限复数列的极限 1）复数列nnnaib=+（1,2n =L）收敛于复数abi =+的充要条件为 lim,limnnnnaabb= （同时成立） 2）复数列n收敛实数列, nnab同时收敛。 2复数项复数项级级数数 1）复数项级数0()nnnnnaib =+收敛的充要条件是级数0nna=与0nnb=同时收敛； 2）级数收敛的必要条件是

17、lim0nn=。 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性 1幂幂级级数的概念数的概念：表达式00()nnnczz=或0nnnc z=为幂级数。 2幂幂级级数的数的敛散敛散性性 1）幂）幂级级数的数的收敛收敛定理定理阿贝尔阿贝尔定理定理(Abel)：如果幂级数0nnnc z=在00z 处收敛，那么对满足0zz的一切z，级数必 8发散。 2）幂级数的收敛域圆域）幂级数的收敛域圆域 幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 3）收敛半径的求法：）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 l 比值法 如果1l

18、im0nnncc+=，则收敛半径1R=； l 根值法 lim0nnc=，则收敛半径1R=； l 如果0 =，则R = ；说明在整个复平面上处处收敛； 如果 = ，则0R =；说明仅在0zz=或0z =点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 （如20nnnc z=） 3幂幂级级数的性质数的性质 1）代代数性质数性质：设00,nnnnnna zb z=的收敛半径分别为1R与2R，记()12min,RR R=， 则当zR时，有 000()nnnnnnnnnnab za zb z=+=+ （线性运算） 01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba b

19、 z=+L （乘积运算） 2）复合性质复合性质：设当r 时，( )0nnnfa=，当zR时，( )g z =解析且( )g zr， 则当zR时，( )( )0nnnf g za g z=。 3） 分析运算性质分析运算性质：设幂级数0nnna z=的收敛半径为0R ，则 l 其和函数( )0nnnf za z=是收敛圆内的解析函数； 9l 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且( )10nnnfzna z= zR l 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；( )1001znnnaf z dzzn+=+ zR （十一）幂函数的泰勒展开 1. 泰勒展开泰勒展开：设函数( )f z在圆域0zzR内解析，

20、则在此圆域内( )f z可以展开成幂级数 ( )( )()()000!nnnfzf zzzn=；并且此展开式是唯一的。 注：若( )f z在0z解析，则( )f z在0z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0Rza=； 其中R为从0z到( )f z的距0z最近一个奇点a之间的距离。 2常用常用函数函数在在00z =的的泰勒展开泰勒展开式式 1）23011!2!3!nznnzzzezznn= +LL z 2）20111nnnzzzzz= +LL 1z 3）3521210( 1)( 1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznn+=+LL z 4）24220( 1)( 1)cos1(

21、2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznn= +LL z 3解析函数解析函数展开成泰勒级展开成泰勒级数的方法数的方法 1）直接法：直接求出( )()01!nncfzn=，于是( )()00nnnf zczz=。 2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 （十二）幂函数的洛朗展开 1. 洛朗级洛朗级数的概念：数的概念：()0nnnczz=，含正幂项和负幂项。 10 2洛朗展开定理洛朗展开定理：设函数( )f z在圆环域102RzzR内处处解析，c为圆环域内绕0z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有( )()0nnnf

22、 zczz= ，且展开式唯一。 3解析函数的解析函数的洛朗展开洛朗展开法：法：洛朗级数一般只能用间接法展开。 *4利用洛朗级利用洛朗级数求数求围围线积分：线积分：设设( )f z在0rzzR内解析，c为0rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则 ( )12cf z dzic= 。其中1c为( )f z在0rzzR内洛朗展开式中01zz的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()zz的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类 1。 孤立奇孤立奇点的定点的定义义 ：( )f z在0z点不解析,但在0z的00zz时，za=是( )( )zz的mn级零点； 当mn时，za=是( )( )

23、zz的nm级极点； 当mn=时，za=是( )( )zz的可去奇点； l 当mn时，za=是( )( )zz+的l级零点，min( , )lm n= 当mn=时，za=是( )( )zz+的l级零点，其中( )lm n （十五）留数的概念 1留留数的定数的定义义：设0z为( )f z的孤立奇点，( )f z在0z的去心邻域00zz,0,( )0tf t 七、卷积及卷积定理 l 1212( )*( )( )()f tf tff td+= l 1212( )( )( )( )F f tf tF wF w= l 12121( )( )( )( )2F f tf tF wF w= l 1212( )( )( )( )L f tf tF sF s= 八、几个积分公式 l ( ) ( )(0)f tt dtf+= 15l 00( ) ()( )f ttt dtf t+= l 000( ) ( )( )f tdtL f t dsF s dst+= l 0( ) ( )kts kf t edtL f t+=