2022年实变函数期末考试卷A卷.docx

《2022年实变函数期末考试卷A卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年实变函数期末考试卷A卷.docx（14页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 实变函数一、 判定题（每题 2 分,共 20 分）1. 如 A 是 B 的真子集,就必有AB；（ ）2. 必有比 a 小的基数；（）3. 一个点不是 E 的聚点必不是 E 的内点；（）4. 无限个开集的交必是开集；（ ）5. 如 E,就 m * E 0；（ ）6. 任何集 E R n 都有外测度；（）7. 两集合的基数相等,就它们的外测度相等；（ ）8. 可测集的全部子集都可测；（ ）9. 如 f x 在可测集 E 上可测,就 f x 在 E 的任意子集上也可测；（ ）10. f x 在 E 上可积必积分存在；（ ）1. 设 E 为点集,P E

2、,就 P 是 E 的外点 . （ ）2. 不行数个闭集的交集仍是闭集 . （ ）3. 设 E n 是 一 列 可 测 集 , 且 E n 1 E n , n 1,2, , 就m E n lim m E n .（）nn 14. 单调集列肯定收敛 . （）5. 如 f x 在 E 上可测 , 就存在 F 型集 F E m E F 0 , f x 在 F上连续 . （）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题（每空 2 分,共 20 分）1. 设 B 是R 中无理数集,就 B 1c；A2. 设A,11,1,1,R1,

3、就A 0,23n0 ；A n3. 设Ann11,n11,n,1,02,就n0A n1,1 ,n10 ；f x 4. 有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集；5. 设 E 是0 1,上的 Cantor 集,就 mE0；6. 设 A 是闭集, B 是开集,就AB是闭集；7. 闭区间a,b上的有界函数f x Rimann 可积的充要条件是是a ,b上的几乎到处的连续函数；8. Rimann函数是Rimann可积也是 Lebesgue可积的；得分阅卷人三、运算题（每题10 分,共 20 分）11. 运算lim nR 11nx2x2sin3nx dx；（提示：使用 Lebesgue 掌握收敛定0n

4、2理）1解：设f nx 1nx2x2sin3nxn1 2,就n2（1）因f n x在0 1,上连续,所以是可测的；（2）lim nf nx 0 ,x1,0；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）由于1sin3nx11nx21nx2x2nx21xFx1n2x2n22 nx2明显Fx在0 1, 上可积；于是由 Lebesgue 掌握收敛定理,有lim nR 11nx1x2sin3nx dxlim nL11nx1x2sin3nx dx0220n20n2x ,x 为大于1 的无理数;2. 设fx x2,x 为小于1 的无理

5、数；试运算0,2fxdx；,0x 为有理数,解：由于有理数集的测度为零,所以fxx2a.e .于1,0 ,fxxa .e .于,12；于是,02fx dx0,1fx dx,12fxdx11 61x2dx2x dx130132四、证明题（每题8 分,共 40 分）1. 证明：AA nAA nn1n1名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：AA nAA ncn1=nAnn1c1A n1AA ncn 1AA n2. 设 M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M 是至多可列集；证明：由有理数集的稠密性可知,

6、 每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合 A；由于这些开区间是互不相交的,所以此有理数集 A 与开区间组成的集合 M是一一对应的；就 A 是有理数集的子集,故至多可列,所以 M也是至多可列集；3. 证明：如 m E 0,就 E 为可测集；证明：对任意点集 T ,明显成立着m T m T E m T E c ；另一方面,由于 m E 0,而 T E E,所以 m T E m E,于是 m T E 0 ；又由于 T T E c,所以 m T m T E c,从而cm T m T E m T E ；总之,m T m T E m T E c ；故 E 是可测集；4.

7、 可测集 E 上的函数 f x 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ,集合Efxr是可测集；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题（每道题2 分,共 10 分）（ D ）1、A B C A B C 成立的充分必要条件是（）A、 A B B、 B AC、 A C D、 C A（ A ）2、设 E 是闭区间 0,1 中的无理点集,就（）A . mE 1 B . mE 0C E 是不行测集 D E 是闭集（ C ）3、设 E 是可测集, A 是不行测集,mE 0,就 E A 是（ ）A 可测集且测度为零 C 不行

8、测集B 可测集但测度未必为零 D 以上都不对（ B ）4、设 mE,nf x 是 E 上几乎到处有限的可测函数列, f x 是 E 上几乎到处有限的可测函数,就 nf x 几乎到处收敛于 f x 是 nf x 依测度收敛于 f x 的（ ）A 必要条件 B 充分条件C 充分必要条件 D 无关条件（ D ）5、设 f x 是 E 上的可测函数,就（）A f x 是 E 上的连续函数B f x 是 E 上的勒贝格可积函数C f x 是 E 上的简洁函数D f x 可表示为一列简洁函数的极限设 f x 是 , 上 的 实 值 连 续 函 数 , 就 对 于 任 意 常 数 a ,E x | f x

9、a 是一开集,而 E x | f x a 总是一闭集；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：如x0E,就f x0a,由于f x 是连续的,所以存在0 ,使任意x , ,| x x 0 | 就有 f x a, 5 分 即 任 意 x U x 0 , , 就有 x E , 所以 U x 0 , E E 是 开集 （10 分）如 x n E , 且 x n x 0 n , 就 f x n a, 由 于 f x 连 续 ,f x 0 lim n f x n a ,即 x 0 E ,因此 E是闭集；（1）设 A 2 1 0,

10、 , 10, , A n 1,2 , n n 求出集列 A n 的上限集和下限n集证 明：ln A n i m（5 分）设 x 0, ,就存在 N,使 x N ,因此 n N 时,0 x n ,即 x A 2n,所以 x 属于下标比 N大的一切偶指标集,从而 x 属于无限多 A ,得 x lim n A ,又 显 然l n A n 所以n A n i m （ 7 分）lim nA n （ 12 分）如有xlimA ,就存在 N,使任意 nN ,有xA ,因此如 2 n1Nn时,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - xA 2n1,即0x1,令n得0x0, 此 不可 能 , 所 以nlim nA n （15 分）（2）可数点集的外测度为零 ；证明：证明：设Ex i|i1,2,对任意0 ,存在开区间iI ,使x iI ,且 |Ii|2i（ 8 分）1|Ii|,由的任意性得所以i1IiE,且i* m E0 （15名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页