2022年全等三角形经典题型——辅助线问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 全等三角形问题中常见的帮助线的作法 含答案 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线；角平分线平行线,等腰三角形来添；线段垂直平分线,常向两端把线连；三角形中两中点,连接就成中位线；1. 等腰三角形“ 三线合一” 法：合一” 的性质解题也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线加垂线,三线合一试试看；要证线段倍与半,延长缩短可试验；三角形中有中线,延长中线等中线；遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线2. 倍长中线： 倍长中线,使延长线段与原中

2、线长相等,构造全等三角形 3. 角平分线在三种添帮助线 4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“ 截长法” 或“ 补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成 30-60-90 的特别直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角；从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件；8. 运算数值法： 遇到等腰直角三角形,正方形时,或 30-60-9

3、0 的特别直角三角形,或40-60-80 的特别直角三角形 , 常运算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件；常见帮助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等；名师归纳总结 1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线合一” 的性质解题,思维模式是第 1 页,共 22 页2全等变换中的“ 对折” 法构造全等三角形遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利用的思维模式是全等变换中

4、的“ 旋转”法构造全等三角形3遇到角平分线在三种添帮助线的方法,（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”,所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理（ 2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形；4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“ 平移” 或“ 翻转折叠”5截长法与补短法, 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延

5、长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形；特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时,接起来,利用三角形面积的学问解答一、倍长中线（线段）造全等常把某点到原三角形各顶点的线段连例 1、已知,如图ABC中, AB=5,AC=3,就中线 AD的取值范畴是 _. 解：延长 AD至 E 使 AE 2AD,连 BE,由三角形性质知AAB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范畴是 1AD4 B D C例 2、如图,ABC中, E、F 分别

6、在 AB、AC上, DEDF,D是中点,试比较 BE+CF与 EF 的大小 . 解： 倍长中线 , 等腰三角形“ 三线合一” 法 延长 FD至 G使 FG2EF,连 BG,EG, AF明显 BGFC,E在 EFG中,留意到DEDF,由等腰三角形的三线合一知EG EF BDC在 BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故： EFBE+FC 例 3、如图,ABC中, BD=DC=AC,E 是 DC的中点,求证：AD平分 BAE. ABDEC解：延长 AE至 G使 AG 2AE,连 BG

7、,DG, 明显 DGAC,GDC=ACD 由于 DC=AC,故ADC=DAC 在 ADB与 ADG中, BDAC=DG,AD AD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADG 故 ADB ADG,故有 BAD=DAG,即 AD平分 BAE 应用：1、以 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等 ABC 腰 Rt ACE,BAD CAE 90 , 连接 DE,M、N分别是 BC、DE的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时,AM 与DE的位置关系是,线段 AM与DE的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方

8、向旋转 0 90 后,如图所示,（ 1）问中得到的两个结论是否发生转变？并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）ED2AM,AMED；证明：延长AM 到 G,使MGAM,连 BG,就 ABGC 是平行四边形FN C E ACBG,ABGBAC180D 又DAEBAC180N H ABGDAEE 再证：DAEABGA DE2AM,BAGEDA延长 MN 交 DE 于 H B M C BAGDAH90HDADAH90GAMED（2）结论仍旧成立D 证明：如图,延长CA 至 F,使ACFA,FA 交 DE

9、于点 P,并连接 BFP DABA,EAAFB A BAF90DAFEAD在FAB 和EAD 中M FAAEBAFEAD90BADAFABEAD（SAS）BFDE,FAENFPDFAPEAENFBDE又CAAF,CMMBAM /FB,且AM1FB2AMDE,AM1DE2二、截长补短1、如图,ABC 中, AB=2AC,AD平分 BAC ,且 AD=BD,求证： CDAC 解：（截长法）在 AB上取中点 F,连 FD ADB是等腰三角形,F 是底 AB中点,由三线合一知 DF AB,故 AFD90 ADF ADC（SAS）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资

10、料 - - - - - - - - - ACD AFD90 即： CDA 2、如图, AD BC,EA,EB分别平分 DAB,CBA,CD过点 E,求证 ;ABAD+BC 解：（截长法）在 AB上取点 F,使 AFAD,连 FE ADE AFE（SAS）A DEB CADE AFE,ADE+BCE180AFE+BFE180故 ECB EFB FBE CBE（AAS）故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC ABQPC3、如图,已知在ABC内,BAC600,C400,P,Q 分别在 BC,CA上,并且 AP,BQ分别是BAC ,ABC 的角平分线；求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法 , 运

11、算数值法）延长AB至 D,使 BD BP,连 DP 名师归纳总结 在等腰BPD中,可得 BDP40第 5 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而 BDP 40 ACP ADP ACP（ASA）故 ADAC 又 QBC40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD,BD平分ABC ,AD求证：AC1800解：（补短法）延长BA至 F,使 BFBC,连 FD BDF BDC（SAS）故 DFB DCB ,FDDC 又 ADCD 故在等腰BFD中BCDFB DAF

12、 故有 BAD+BCD1805、如图在ABC中, ABAC, 1 2,P 为 AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC A1 2P解：（补短法）延长AC至 F,使 AFAB,连 PD BDC ABP AFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知PB PCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=例 2 如图,在ABC的边上取两点D、E,且 BD=CE,求证： AB+ACAD+AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMN EMASAS, DN=AE, 同理

13、BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,就 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE ；四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60 , ABC的角平分线AD,CE相交于点 O,求证： OE=OD,DC+AE =AC证明角平分线在三种添帮助线, 运算数值法 B=60 度, A就 BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , EO就 OAC+ OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. BDC又 AO=

14、AO; OAE= OAF .就OAE OAFSAS,OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 COF=AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF. 故 OCD OCFSAS,OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图,ABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC,DEAB于 E,DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）假如 AB=a ,AC=b ,求 AE、BE的长 . 解： 垂

15、直平分线联结线段两端 连接 BD,DC BEGACDG垂直平分 BC,故 BD DC 由于 AD平分 BAC, DE AB于 E,DFAC于 F,故有ED DF DF故 RT DBERT DFC（HL）故有 BECF；AB+AC2AE AE（ a+b） /2 BE=a-b/2 应用：1、如图, OP 是 MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形；请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：（1）如图, 在 ABC 中,ACB 是直角, B=60 ,AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线, AD、CE 相交于点 F；请你判定并写出FE 与 FD 之间的数量

16、关系；（2）如图,在ABC 中,假如 ACB 不是直角,而 1中的其它条件不变,请问,你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如不成立,请说明理由；B M B O P E F D E F D 图 N A 图 C A 图 C 第 23 题图 解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FEFD名师归纳总结 （2）答：（1）中的结论FEFD仍旧成立；第 9 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证法一： 如图 1,在 AC 上截取AGAE,连结 FG 12,AF 为公共边,BCB C AEFAGFAFEAFG,FEFGB60, AD、CE

17、 分别是BAC 、BCA 的平分线2360E F D AFECFDAFG60CFG6034及 FC 为公共边1 4 CFGCFD2 3 FGFDA G FEFD图 1 证法二： 如图 2,过点 F 分别作FGAB于点 G,FH于点 H B60, AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线A B 可得2360,F 是ABC 的内心E G F D GEF601,FHFGH 又HDFB11 4 GEFHDF2 3 可证EGFDHF图 2 C FEFD五、旋转例 1 正方形 ABCD中,E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF,求 EAF的度数 . 证明：将三角形 ADF 绕

18、点 A 顺时针旋转 90 度,至三角形ADABG F就 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ,AF=AG ,所以三角形 AEF 全等于 AEG BEC所以 EAF= GAE= BAE+GAB= BAE+ DAF 又 EAF+BAE+ DAF=90 所以 EAF=45 度名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点, DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F；1 当 MDN 绕点 D转动时,求证 DE=DF；2 如 AB=2,求四边形 DECF的面积

19、；解： 运算数值法 （1）连接 DC,D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点,故有 CDAB,CDDA CD平分 BCA 90 , ECD DCA 45由于 DMDN,有 EDN 90由于 CDAB,有 CDA 90从而 CDE FDA故有 CDE ADF（ASA）故有 DE=DF （2）S ABC=2, S 四 DECF= S ACD=10 例 3 如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且 BDC 120,0 以 D为顶点做一个 60 角,使其两边分别交 AB于点 M,交 AC于点 N,连接 MN,就 AMN的周长为；解： 图形补全法 , “ 截长法” 或“ 补短

20、法”, 运算数值法 AC 的延长线与 BD 的延长线交 于点 F,在线段 CF 上取点 E,使 CEBM ABC 为等边三角形,BCD 为等腰三角形,且BDC=120, MBD= MBC+ DBC=60+30 =90 ,DCE=180-ACD=180-ABD=90,又 BM=CE ,BD=CD ,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - CDE BDM , CDE= BDM , DE=DM ,NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120-60 =60 ,在 DMN 和 DEN 中,DM=DE

21、 MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ,MN=NE 在 DMA 和 DEF 中,DM=DE MDA=60- MDB=60- CDE=EDF CDE= BDM DAM= DFE=30 DMN DEN AAS ,MA=FE AMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1 、 已 知 四 边 形 ABCD 中 , AB AD , BC CD , AB BC ,ABC 120 o,MBN 60 o,MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD,DC（或它们的延长线）于 E,F当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1）,易证 AE CF EF 当MBN

22、 绕 B 点旋转到 AE CF 时,在图 2 和图 3 这两种情形下,上述结论是否成立？如成立,请赐予证明；如不成立,线段 AE,CF, EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明名师归纳总结 AAMAECFADEM第 12 页,共 22 页BEMBEBCFNDCFNDFCN（图 1）（图 2）,（图 3）解：（1）ABAD,BCCD,ABBCABECBF（SAS）；ABECBF,BEBFABC120,MBN60ABECBF30,BEF 为等边三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BEEFBF,CFAE1BE2AECFBEEF（2）图 2 成

23、立,图 3 不成立；证明图 2,延长 DC 至点 K,使CKAE,连接 BKA 就BAEBCKBEBK,ABEKBCB E M FBE60,ABC120FBCABE60F N D FBCKBC60K C KBFFBE60图 2 ABCD,使 P、D 两点落在KBFEBFKFEFKCCFEF即AECFEF图 3 不成立, AE、CF、EF 的关系是AECFEF2、（西城 09 年一模） 已知 :PA=2 ,PB=4, 以 AB 为一边作正方形直线 AB的两侧 .1 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; 2 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相

24、应 APB的大小 . 名师归纳总结 分析：（1）作帮助线,过点 A 作AEPB于点 E,在RtPAEC 第 13 页,共 22 页中,已知APE, AP 的值,依据三角函数可将AE,PE 的值求出,由 PB 的值,可求BE 的值,在RtABE中,依据勾股定理可将 AB 的值求出； 求 PD 的值有两种解法, 解法一：可将PAD绕点 A 顺时针旋转 90 得到PAB,可得PADPAB,求 PD长即为求PB的长,在RtAP P中,可将PP的值求出,在RtP PB中,依据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点 P 作 AB 的平行线,与 DA 的延长线交于F,交 PB 于 G,在RtAEG中,可求出

25、AG,EG 的长,进而可知PG 的值,在RtPFG中,可求出PF,在RtPDF中,依据勾股定理可将PD 的值求出；（2）将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 ,得到PAB,PD 的最大值即为PB的最大值,故当 P 、P、B 三点共线时,PB取得最大值,依据PBP PPB可求PB的最大值,此时APB180AP P135解：（1）如图,作AEPB于点 E RtPAE中,APB45,PA2D AEPE221A 2PB4P E B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BEPBPE3到在RtABE中,AEB90ABCD 为正方形,可将将PAD 绕点 A 顺时针旋转

26、 90 得C ABAE2BE210解法一：如图,由于四边形PAB,可得PADPAB,PDPB,PAPAD PA P90,APP45,PPB90PPP2,PA2A PDPBP P2PB2224225；P E B F,设 DA 的延长线交PB解法二：如图,过点P 作 AB 的平行线,与DA 的延长线交于于 GPD在RtAEG中,可得AGcosAEcosAE10,EG1,PGPEEG D P2B C EAGABE333在RtPFG中,可得PFPGcosFPGPGcosABEB10,FG10515在RtPDF中,可得FG2102101010225P GE A PF2ADAG5153F （2）如下列图,

27、 将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 , 得到PAB,PD 的最大值, 即为的最大值P PB中,PBP PPB,P P2PA2,PB4且 P、D 两点落在直线AB 的两侧当 P 、 P、B 三点共线时,P B 取得最大值（如图）此时 P B P P PB 6,即 P B 的最大值为 6 名师归纳总结 此时APB180APP135第 14 页,共 22 页3、在等边ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N,D 为VABC外一点,且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q

28、 与等边ABC的周长 L 的关系- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1,当点 M 、N 边 AB 、AC 上,且 DM=DN时, BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时Q；DN 时,猜想（ I）问的两个结论仍L（II）如图 2,点 M 、N 边 AB 、AC 上,且当 DM成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3,当 M 、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时,如 AN= x ,就 Q= （用 x 、L 表示）分 析 ：（ 1 ） 如 果 DM DN,DMN DNM, 因 为 BD DC,

29、那 么DBC DCB 30,也就有 MBD NCD 60 30 90,直角三角形 MBD 、NCD中,由于 BD DC,DM DN,依据 HL 定理,两三角形全等；那么 BM NC,BMD DNC 60,三角形 NCD 中,NDC 30,DN 2 NC,在三角形 DNM 中,DM DN,MDN 60, 因 此 三 角 形 DMN 是 个 等 边 三 角 形 , 因 此MN DN 2 NC NC BM,三角形 AMN 的周长 Q AM AN MNAM AN MB NC AB AC 2 AB,三角形 ABC 的周长 L 3 AB,因此 Q : L 2 : 3（2）假如 DM DN,我们可通过构建全

30、等三角形来实现线段的转换；延长 AC 至 E,使 CE BM,连接 DE（1）中我们已经得出,MBD NCD 90,那么三角形 MBD 和ECD 中,有了一组直角,MB CE,BD DC,因此两三角形全等,那么 DM DE,BDM CDE,EDN BDC MDN 60三角形 MDN 和 EDN 中,有 DM DE,EDN MDN 60,有一条公共边, 因此两三角形全等,MN NE,至此我们把 BM 转换成了 CE,把 MN 转换成了 NE,由于 NE CN CE,因此 MN BM CNQ 与 L 的关系的求法同（ 1）,得出的结果是一样的；名师归纳总结 （3）我们可通过构建全等三角形来实现线段

31、的转换,思路同（2）过 D作CDHMDB,第 15 页,共 22 页三角 形BDM和CDH中,由 （ 1）中已 经得出的DCHMB90, 我们做的角BDMCDH,BDCD,因此两三角形全等（ASA）那么BMCH,DMDH,三角形 MDN 和 NDH 中,已知的条件有MDDH,一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道MDNHDN,由于CDHMDB,因此MDHBDC120,由于MDN60,那么NDH1206060 ,因此MDNNDH,这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN 和 DNH就全等了那么NMNHANACBM,三 角形AMN的周长QANAMMNANABBM- - - - - - -

32、精选学习资料 - - - - - - - - - ANACBM2AN2AB 因 为ANx,AB1L, 因 此 三 角 形AMN的 周 长3Q2x2LMN；此时Q2H C 3解：（1）如图 1,BM 、NC、MN 之间的数量关系：BMNCL3（2）猜想：结论仍旧成立A 证明：如图2,延长 AC 至 E,使CEBM,连接 DEM N BDCD,且BDC120DBCDCB30又ABC 是等边三角形B C MBDNCD90N D 在MBD 与ECD 中图 1 BMCEECDA N MBDBDDCMBDECD（SAS）CDEM B D 图 2 DMDE,BDMC EDNBDCMDN60E A 在MDN

33、与EDN 中B DMDEMDNEDNDNDNMDNEDN（SAS）M D 图 3 MNNENCBM故AMN 的周长QAMANMNAMBMANNCABAC2AB而等边ABC的周长L3ABQ2AB2L3AB3x,就Q2x2L（用（3）如图 3,当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时,如AN3x、L 表示）点评：此题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是依据全等三角形来实现的, 当题中没有明显的全等三角形时,我们要依据条件通过作帮助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - D D C C PA B PA P B P 【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图 1 所示的四块 （即图中标有 1、2、3、4 的四块）,你认为将其中的哪一些块带去玻璃店,就能配一块与原先一样大小的三角形？应当带（）A第 1 块 B第 2 块 C第 3 块 D第 4 块第 4 题图23.（8 分）已知,在ABC中, ACB= 90,AC =BC,点 D 是 AB 边上的中点,点E在 AC 边上,点 F 在 BC 边上,且AE =CF；摸索究