2022年初中数学竞赛辅导资料正整数简单性质的复习含答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学竞赛辅导资料 18 正整数简洁性质的复习甲 . 连续正整数一 . n 位数的个数：一位正整数从 1 到 9,共 9 个,两位数从 10 到 99,共 90 个,三位数从 100 到 999 共 9 10 2个,那么 n 位数的个数共 _.n 是正整数 练习： 1. 一本书共 1989 页,用 0 到 9 的数码,给每一页编号,总共要用数码个 . 2. 由连续正整数写成的数 1234 9991000 是一个 _位数；100110021003 19881989 是_位数 . 3. 除以 3 余 1 的两位数有 _个,三位数

2、有 _个, n 位数有 _个. 4. 从 1 到 100 的正整数中,共有偶数 _个,含 3 的倍数 _个；从 50 到 1000 的正整数中,共有偶数_个,含 3 的倍数 _个 . 二 . 连续正整数的和：1+2+3+ +n=1+n n. . 2把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和练习： 5.运算 2+4+6+ +100=_. 6. 1+3+5+ +99=_. 7. 5+10+15+ +100=_. 8. 1+4+7+ +100=_. 9. 1+2+3+ +1989 其和是偶数或奇数？答 _ 10. 和等于 100 的连续正整数共有 _组,它们是 _. 11. 和等于

3、 100 的连续整数共有 _组,它们是 _. 三 . 由连续正整数连写的整数,各位上的数字和整数 123456789 各位上的数字和是：0+9+1+8+ +4+5=9 5=45；1234 99100 各位数字和是 0+99+1+98+ +49+50+1=18 50+1=901. 练习： 12. 整数 1234 9991000 各位上的数字和是 _. 13. 把由 1 开头的正整数依次写下去,直到第 198 位为止：1234567891 01112198 位这个数用 9 除的余数是 _. 1987 年全国中学数学联赛题 14.由 1 到 100 这 100 个正整数顺次写成的数1234 9910

4、0 中：剩下的数的前十它是一个 _位数；它的各位上的数字和等于_；从这一数中划去100 个数字,使剩下的数尽可能大,那么位是 _. 四.连续正整数的积：名师归纳总结 1 2 3 n 记作 n . 读作 n 的阶乘 . a 为整数 . 第 1 页,共 12 页 n 个连续正整数的积能被n.整除 . 如： 2.|aa+1, 3.|aa+1a+2, n .|aa+1a+2 a+n1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n. 中含有质因数m 的个数是学习必备n欢迎下载ni. n m+ +m2mx 表示不大于x 的最大正整数,i=1,2,3 mi n _ 个 如

5、： 1 2 3 10 的积中,含质因数3 的个数是：1010=3+1=4 332练习： 15. 在 100.的积中,含质因数5 的个数是： _ 16.一串数1,4, 7, 10, ,697, 700 相乘的积中,末尾共有零1988 年全国中学数学联赛题 17. 求证： 10 494 | 1989.18. 求证： 4. | aa 21a+2 a为整数五 . 两个连续正整数必互质练习： 19. 假如 n+1 个正整数都小于 2n, 那么必有两个是互质数,试证之 . 乙 . 正整数十进制的表示法一 . n+1 位的正整数记作：an 10 n+an 1 10 n1+ +a1 10+a0其中 n 是正整

6、数,且 0ai9 i=1,2,3, n的整数 , 最高位 an 0. 例如： 54321=5 104+4 10 3+3 10 2+2 10+1. 例题：从 12 到 33 共 22 个正整数连写成 A=121314 3233. 试证： A 能被 99 整除 . 证明： A=12 10 42+13 10 40+14 10 38+ +31 10 4+32 10 2+33 =12 100 21+13 100 100 的任何次幂除以20+14 10 19+ +31 100 2+32 100+33. 9 的余数都是 1,即 100 n=99+1 n 1 mod 9 A=99k+12+13+14+ +31

7、+32+33 k 为正整数 =99 k+12+33+13+32+ +22+23 =99k+45 11 =99k+99 5. A 能被 99 整除 . 练习：20. 把从 19 到 80 的连结两位数连写成19202222 7980.试证明这个数能被1980 整除二 . 常见的一些特例9999=10 n 1, 33333=110 n 1, 11111110 n1. 39n 个9n 个n 个例题：试证明12,1122,111222,11112222, 这些数中的任何一个,都是两个相邻的正整数的积 . 名师归纳总结 证明：第 n 个数是11111 22222=110n1 10 n+2 10n1第 2

8、 页,共 12 页99n 个n 个=1110 n+2 1 10n9310n1=10n33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =10n1学习必备1 欢迎下载10n133= 333 3333 3 4 . 证毕 . n 个 3 n 1 个 3练习： 21. 化简 999 9999 9 +1 999 9 =_. n 个 9 n 个 9 n 个 922. 化简 111 1-222 2 =_. 2 n 个 1 n 个 223. 求证 1 1 1 1 是合数 . 1 9 9 0 124. 已知：存在正整数 n,能使数 111 1 被 1987 整除 . n 个 1求证

9、：数 p= 111 1 999 9 888 8 777 7 和n 个 1 n 个 9 n 个 8 n 个 7数 q= 111 1 999 9 888 8 777 7 都能被 1987 整除 . n 1 个 1 n 1 个 9 n 1 个 8 n 1 个 71987 年全国中学数学联赛题 25. 证明：把一个大于 1000 的正整数分为末三位一组,其余部分一组,如这两组数的差,能被 7或 13整除,就这个正整数就能被 7或 13整除 . 26. 求证：111 1 1 000 0 5+1 是完全平方数 .n 个 1 n 1 个 0丙 . 末位数的性质.一.用 N a表示自然数的个位数 . 例如 a

10、=124 时, N a=4 ；1. N a 4k+r =N a r a 和 k 都是整数, r=1,2,3,4. a=3 时, N a=3. 特殊的：个位数为 0,1,5,6 的整数,它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4, 9 的正偶数次幂的个位数也是它本身. 2.N a=N bN ab=010 |ab. 3.如 N a=a 0, N b=b 0.就 N an=N a 0 n；N ab=N a 0b0. 例题 1：求 53100 ；和 77 的个位数 . 解： N 53100=N 3424+4=N 3 4=1 7 7 化为 4k+r 形式,设法显现4 的因数 . 先把幂的指数77=77

11、7+7=7761+4+3 =772174+72+1+4+3 =7 4 1274+72+1+4+3 =4k+3 名师归纳总结 练习： 27. N77 =N74k+3=N73=3. 第 3 页,共 12 页19891989 的个位数是 _,99 的个位数是 _. 28.求证： 10 | 1987 1989 1993 1991. 22 10 33 15 77 20 55 25 的个位数是 _. 29.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二. 自然数平方的末位数只有 0,1,4,5, 6,9；连续整数平方的个位数的和,有如下规律：1 2,2 2

12、,3 2, , 10 2 的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 1. 用这一性质运算连续整数平方的个位数的和例题 1. 填空： 1 2,2 2, 3 2, , 123456789 2 的和的个位数的数字是 _. 1991 年全国中学数学联赛题 解： 1 2,2 2,3 2, , 10 2 的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 11 到 20；21 到 30；31 到 40； 123456781 到 123456789,的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：1+4+9+6+5+5+9+4+0 12345678+1 的个位数 5.2.

13、为判定不是完全平方数供应了一种方法例题 2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 证明： 用反证法 设五个连续整数的平方和是完全平方数,那么可记作：n2 2+n1 2+n 2+n+1 2+n+2 2=k 2n, k 都是整数 5n 2+2=k 2 . k2是 5 的倍数, k 也是 5 的倍数 . 设 k=5m, 就 5n 2+2=25m 2. n 2+2=5m 2. n 2+2 是 5 的倍数,其个位数只能是 0 或 5,那么 n 2 的倍数是 8 或 3. 但任何自然数平方的末位数,都不行能是 8 或 3. 假设不能成立任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数 . 3.判定不

14、是完全平方数的其他方法例题 3. 已知： a 是正整数 . 求证：aa+1+1 不是完全平方数证明： aa+1+1=a 2+a+1,且 a 是正整数 a 2 aa+1+1=a2+a+11 的正整数 不是完全平方数第 4 页,共 12 页n 个1证明：依据奇数的平方数除以4 必余 1,即 2k+12=4k+1+1. 但1 1 11 =1111 0011=4k+11=4k+4 2+3=4k+2+3 n 个1n- 个1即1111 除以 4 余数为 3,而不是 1,n 个1它不是完全平方数. 例题 5. 求证：任意两个奇数的平方和,都不是完全平方数. 证明：设 2a+1,2b+1a,b 是整数 是任意

15、的两个奇数. 2a+12+2b+12=4a2+4a+1+4b2+4b+1 =4a2+b2+a+b+2. 这说明其和是偶数,但不是4 的倍数,故任意两个奇数的平方和,都不行能是完全平方数. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三. 魔术数：将自然数学习必备欢迎下载NN 接写在每一个自然数的右面,假如所得到的新数,都能被a b整除,那么N 称为魔术数 .常见的魔术数有：能被末位数整除的自然数,其末位数是1,2,5即 10 的一位正约数是魔术数 能被末两位数整除的自然数,其末两位数是10,20, 25,50即 100 的两位正约数也是魔术数 c能被末三位数整除

16、的自然数,其三末位数是 100,125,200, 250,500即 1000 的三位正约数也是魔术数 练习： 30. 在小于 130 的自然数中魔术数的个数为 _. 1986 年全国中学数学联赛题 四. 两个连续自然数,积的个位数只有 0,2, 6；和的个位数只有 1,3,5,7,9. 练习： 31. 已知： n 是自然数,且 9n 2+5n+26 的值是两个相邻自然数的积,那么 n 的值是：_. 1985 年上海中学数学竞赛题 丁. 质数、合数1；1. 正整数的一种分类：质数 除 1 和本身外不能被其他自 然数整除 ；.合数 除 1 和本身外仍能被其他自 然数整除 .2. 质数中,偶数只有一

17、个是 2,它也是最小的质数 . 3. 互质数：是指公约数只有 1 的两个正整数 . 相邻的两个正整数都是互质数 . 例题：试写出 10 个连续自然数,个个都是合数 . 解：答案不是唯独的,其中的一种解法是：令 A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 那么 A+2 ,A+3 , A+4 ,A+5 ,A+6 ,A+7 ,A+8 ,A+9 ,A+10 ,A+11 就是 10 个连续数,且个个都是合数 . 一般地,要写出n 个连续自然数,个个是合数,可用令 m=n+1, 那么 m.+2, m.+3, m.+4, + + m.+n+1 就是所求的合数 . m.+i 2i n+1 有公约数 i

18、. 练习： 32. 已知质数 a, 与奇数 b 的和等于 11,那么 a=_,b=_. 33. 两个互质数的最小公倍数是 72,如这两个数都是合数,那么它们分别等于_,_. 34.写出 10 个连续正奇数,个个都是合数,可设m=10+1 2, m.=22. 那么所求的合数是22.+3,_,_,_, 35.写出 10 个连续自然数,个个都是合数,仍可令N=2 3 5 7 11. 这里 11=10+1,即 N 是不大于 11 的质数的积 .那么 N+2 ,N+3 ,N+4, 36.N+11 就是所求的合数.这是为什么？假如要写 15 个呢？4m+2+x 4n 是合数 . 已知： x,m,n 都是正

19、整数. 求证： 2戊. 奇数和偶数名师归纳总结 1.整数的一种分类：偶数：能被2 整除的整数； 即除以2,余数为0 第 5 页,共 12 页奇数：不能被2 整除的整数. 即除以2,余数为1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 运算性质：奇数+奇数 =偶数,学习必备欢迎下载奇数 +偶数 =奇数 . 偶数 +偶数 =偶数,奇数 奇数 =奇数,偶数 偶数 =偶数,奇数 偶数 =偶数 . 奇数 正整数=奇数 ,偶数 正整数 =偶数 . 4. 其他性质： 两个连续整数必一奇一偶,其和是奇数,其积是偶数 . 奇数的平方被 4 除余 1；偶数的平方能被 4 整除；

20、除以 4 余 2 或 3 的整数不是平方数 . a 2 n n 为正整数 不含大 于 1 的奇因数 . b 如两个整数的和 差 是奇数,就它们必一奇一偶 . c 如 n 个整数的积是奇数,就它们都是奇数 . 例 1. 设 m 与 n 都是正整数,试证明 m 3n 3 为偶数的充分必要条件是 mn 为偶数 . 证明： m 3 n 3（ mn）m 2+mn+n 2. 当 m n 为偶数时,不论 m 2+mn+n 2 是奇数或偶数,m 3n 3 都是偶数；mn 为偶数是 m 3n 3 为偶数的充分条件 . 当 m n 为奇数时, m, n 必一奇一偶, m2,mn,n2三个数中只有一个奇数,m 2+

21、mn+n 2 是奇数,从而 m 3n 3 也是奇数 . mn 为偶数,是 m 3n 3 为偶数的必要条件 . 综上所述 m 3n 3为偶数的充分必要条件是 mn 为偶数 . 例 2. 求方程 x 2 y 2=1990 的整数解 . 解： x+yx y=2 5 199. 如 x, y 同是奇数或同是偶数,就 x+y,x y 都是偶数, 其积是 4 的倍数, 但 1990不含 4 的因数,方程左、右两边不能相等 . 如 x, y 为一奇一偶,就 xy,x+y 都是奇数,其积是奇数,但 1990 不是奇数,方程两边也不能相等 . 综上所述,不论 x, y 取什么整数值,方程两边都不能相等 . 所以

22、原方程没有整数解此题是依据整数的一种分类：奇数和偶数,详尽地争论了方程的解的可能性 . 练习： 37. 设 n 为整数,试判定 n 2n+1 是奇数或偶数 . 38. 1001+1002+1003+ +1989 其和是偶数或奇数,为什么？39. 有四个正整数的和是奇数,那么它们的立方和,不行能是偶数,试说明理由 . 40. 求证：方程 x 2+1989x+9891=0 没有整数根 . x 1 x 2 x 3 x n 0；41. 已知：求证： n 是 4 的倍数 . x 1 x 2 x 3 x n n .n1 1 42. 如 n 是大于 1 的整数, p=n+n 21 2 试判定 p 是奇数或偶

23、数,或奇偶数都有可能 . 1985 年全国中学数学联赛题 已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除,按它的余数可分为 m 类,称按模 m 分类 . 如：模 m=2,可把整数分为 2 类:2k, 2k+1 k 为整数,下同模 m=3,可把整数分为 3 类:3k, 3k+1,3k+2. 名师归纳总结 模 m=9,可把整数分为9 类:9k,9k+1,9k+2. 9k+8. 第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.学习必备欢迎下载9 的余数相同 . 整数除以 9 的余数,与这个整数各位上的数字和除以如： 6372,5273, 4785

24、各位数字和除以9 的余数分别是0,8,6. 那么这三个数除以9 的余数也分别是0,8,6. . 3.按模 m 分类时,它们的余数有可加,可乘,可乘方的性质如：如 a=5k1+1,b=5k 2+2. 就 a+b 除以 5 余数 是 3 1+2 ；ab 除以 5 余 2 b 2 除以 5 余 4 1 2；22. 例 1. 求 19891989除以 7 的余数 . 解： 1989 1989=7 284+1 1989, 1989 1989 1 1989 1 mod 7. 即 1989 1989 除以 7 的余数是 1. 练习： 43. 今日是星期一,9 9 天之后是星期 _. 44. n 个整数都除以

25、n1, 至少有两个是同余数,这是为什么？45. a 是整数,最简分数a 化为小数时,如为循环小数,那么一个循环节最多有几 7位？4.运用余数性质和整数除以9 的余数特点,可对四就运算进行检验例 2. 以下演算是否正确？ 12625+9568=21193 ； 2473 429=1060927. 解：用各位数字和除以 9,得到余数：12625,9568,21193 除以 9 的余数分别是 7,1,7. 7+1 7, 演算必有错 . 2473,429,1060927 除以 9 的余数分别是 7,6,7. 而 7 6=42,它除以 9 余数为 6,不是 7,故演算也有错 . 留意：发觉差错是精确的,但

26、这种检验并不能确定演算是确定正确 . 练习： 46. 检验以下运算有无差错：37285483275=289679 ；23366292 6236=3748. 5. 整数按模分类,在证明题中的应用例 3. 求证：任意两个整数 a 和 b,它们的和、差、积中,至少有一个是 3 的倍数 . 证明：把整数 a 和 b 按模 3 分类,再详尽地争论 . 假如 a, b 除以 3,有同余数包括同余 0、1、2,那么 a, b的差是 3 的倍数；假如 a, b 除以 3,余数不同,但有一个余数是 0,那么 a, b 的积是 3 的倍数；假如 a, b 除以 3,余数分别是1 和 2,那么 a, b 的和是 3

27、 的倍数 . 综上所述任意两个整数 a,b,它们的和、差、积中,至少有一个是 3 的倍数 . 分类争论时,要求做到既不重复又不违漏 例 4. 已知：p5,且 p 和 2p+1 都是质数 . 求证： 4p+1 是合数 . 名师归纳总结 证明：把整数按模3 分类 . 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 k 为整数 三类争论p 3k+1；第 7 页,共 12 页p 是质数,不能是3 的倍数,即p 3k；当 p=3k+1 时 , 2p+1=23k+1+1=32k+1. 2p+1 不是质数,即只有当质数p=3k+2 时, 2p+1=23k+2+1=6k+5. 2 p+1 也是质数,符合题设 . 这时,

28、 4p+1=43k+2+1=34k+3 是合数 . 证毕- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习： 47. 已知：整数学习必备欢迎下载a 不能被 2 和 3 整除. 求证： a 2+23 能被 24 整除 . 48. 求证：任何两个整数的平方和除以 8,余数不行能为 6. 49. 如正整数 a 不是 5 的倍数 . 就 a 8+3a 44 能被 100 整除 . 50. 已知：自然数 n2 求证： 2 n 1 和 2 n+1 中,假如 有一个是质数,就另一个必是合数 . 51.设 a,b,c 是三个互不相等的正整数,求证 a 3bab 3,b 3cbc

29、3,c 3aca 3 三个数中,至少有一个能被 10 整除 . 1986 年全国中学数学联赛题 庚. 整数解名师归纳总结 1.二元一次方程ax+by=c 的整数解：当a,b互质时,如有一个整数的特解xx 0那么第 8 页,共 12 页yy 0可写出它的通解xx 0bk k 为整数yy0ak34,小2.运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数 整数 =整数,整数 整数 =整数,整数这整数的约数=整数,自然数 整数 =整数3.一元二次方程,用求根公式,根的判别式,韦达定理争论整数解. 4.依据已知条件争论整数解. 例 1. 小军和小红的生日.都在 10 月份,且星期几也相同,他们生日的日期的和等

30、于军比小红早诞生,求小军的生日. 解：设小军和小红的生日分别为x, y,依据题意,得yx7 kk=1,2,3,4 2x=34 7k x=177kyx34试求符合条2k=1, 3 时,x 没有整数解；当 k=2 时,x10,y24 .当 k=4 时,x3 y,10 月份没有 31 日,舍去 31 .y小军的生日在10 月 10 日例 2. 假如一个三位数除以11 所得的商, 是这个三位数的各位上的数的平方和,件的全部三位数. 1988 年泉州市初二数学双基赛题解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数, 0a9,0b, c9. 那么100 a10 bc9 ababc,且 8a

31、b+c0, 以 c=0, 1, 2, 3, 4 逐一争论 a 的解 . 当 c=2, 4 时,无实数根；当 c=1, 3 时,无整数解；只有当 c=0 时, a=5；或 a=0. a=0 不合题意,舍去 只有 c=0, a=5, b=5 适合所求的三位数是 550；2当 ab+c=11 时,得 9a+b+1=a 2+b 2+c 2. 以 b=a+c 代入,并整理为关于 a 的二次方程,得2a 2+2c16a+2c 223c+131=0. 仿1通过韦达定理,由 c 的值逐一以争论 a 的解 . 只有当 c=3 时, a=8, b=0 适合全部条件 .即所求三位数为 803. 综上所述,符合条件的

32、三位数有 550 和 803. 练习： 52. 正整数 x1, x2, x 3, x n满意等式x 1x 2x 3x 4+x 5=x 1x 2x 3x4x 4x 5 那么 x 5的最大值是 _.（1988 年全国中学数学联赛题）2 p 1 2 q 153. 假如 p, q, , 都是整数, .且 p1, q1, 试求 p+q 的值 . q p（1988 年全国中学数学联赛题）54. 能否找到这样的两个正整数 m 和 n,使得等式 m 2+1986=n 2 成立 . 试说出你的猜想,并加以证明 . （ 1986 年泉州市初二数学双基赛题）55. 当 m 取何整数时,关于 x 的二次方程 m 2x

33、 218mx+72=x 26x 的根是正整数,并求出它的根 . （1988 年泉州市初二数学双基赛题）56.如关于 x 的二次方程 （1+a）x2+2x+1 a=0 的两个实数根都是整数,那么 a 的取值是 _. （1989 年泉州市初二数学双基赛题）57.不等边三角形的三条边都是整数,周长的值是28,最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1,适合条件的三角形共有_个,它们的边长分别是：_. 58.直角三角形三边长都是整数,且周长的数值恰好等于面积的数值,求各边长. 59.鸡翁一,值钱； ,鸡母一,值钱三；鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？60.甲买铅笔 4 支,笔记本1

34、0 本,文具盒1 个共付 1.69 元,乙买铅笔3 支,笔记本 7 本,文具盒 1 个共付 1.26 元,丙买铅笔、 笔记本、 文具盒各 1,应对几元？名师归纳总结 如 1 2 3 4 99 100=12 n M ,其中 M 为自然数, n 为使得等式成立第 9 页,共 12 页的最大自然数,就M 是 B. 能被 3 整除,但不能被2 整除 . A. 能被 2 整除,不能被3 整除 . C.被 4 整除,不能被3 整除 . D. 不能被 3 整除,也不能被2 整除 . 1991 年全国中学数学联赛题 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载

35、参考答案1.9+90 2+900 3+990 4=6849 476,317 . 5.2550 6.2500.7. 1050 2.2893 7956 3.30, 300,3 10n14. 50,33,1.1717.9.奇数1+19891989. 210 有两组： 18, 19,20,21,22；9,10,11,12,13,14,15, 16. 11.有四组：除上题中的两组外,尚有8 到 16； 17 到 22 =24 12.13501. 13. 余数是 6由 1 到 102 刚好是 198 位. 14. 1192 2901 39999978596 15.100+10052516.60 个 .运算

36、积中含质因数5 的个数是：从 10,25,40,55, 700 这组数中含质因数5 的共有 70010 15+1=47；17. 18.而 25,100,175, 700 含有 52因数,应各加 1 个 5,共有 10025 75+1=10 ；且 250,625,含有 5 3 因数,应再各加 1 个 5,共有 2 个；625 含有 5 4 因数,再加 1 个 5. 总共是 47+10+2+1=60. 1989198919891989=379+79+15+3=494 525125625把 aa 213a+2 化为 aa+1a12a+4+a 2=2a 1aa+1a+2+a 2a1aa+1. 19. 依据两个连续整数必互质,把 n+1 个正整数按非连续数单独分组,由于它们都小于 2n,所以最多分为 n 组,那么 n+1 个正整数至少有一个不能单独分组,即与 n 组中的一个互质 . 20. 易证能被 20 整除,再证能被99 整除n12=33n33221. 原数 =10n12+1 10n+10n1=102n22. 原数 =1 10 92n121 10 9n1= =103个23. 原数 =1 10 919901= 1 10 995+1 10 9951 9= 1 10 995+1 101 N 9N 为整数 24. p=1111 103n+9 10 2n+8 10