2022年全国高中数学联赛省级预赛模拟题及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第一卷（挑选题 共 60 分）参考公式1三角函数的积化和差公式sin . cos =cos . sin = cos . cos = sin . sin =1 sin 2 + +sin - , 1 sin 2 + -sin - , 1 cos + +cos - , 21 cos + -cos - . 22球的体积公式V 球=4 R 3（R为球的半径）；31 ；就集合 3一、挑选题（每道题5 分,共 60 分）1设在 xOy 平面上, 0yx2,0 x1 所围成图形的面积为M=x,y|x|y|,

2、 N=x,y|x y2| 的交集 MN所表示的图形面积为A2 B 31 C 3 1 D13；就四62在四周体ABCD中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB与直线 CD的距离为 2,夹角为面体 ABCD的体积等于A3 B 21 C 31 D 235 分,取 10 分且33有 10 个不同的球,其中,2 个红球、 5 个黄球、 3 个白球；如取到一个红球得到一个白球得2 分,取到一个黄球得1 分,那么,从中取出5 个球,使得总分大于小于 15 分的取法种数为A90 B100 C110 D120 4在 ABC中,如 sinA+sinBcosA+cosB=2sinC,就A ABC是等腰三角形,但不

3、肯定是直角三角形B ABC是直角三角形,但不肯定是等腰三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载C ABC既不是等腰三角形,也不是直角三角形D ABC既是等腰三角形,也是直角三角形5已知 fx=3x2-x+4, fgx=3x4+18x3+50x2+69x+48. 那么,整系数多项式函数gx 的各项系数和为A8 B 9 C10 D11 1 AB+ 52 AC；就 5ABP的面积与6设 0x0 ,且 a2022+b 2022=a 2006+b2006；就 a2+b 2 的最大值是A1 B 2 C20

4、06 D 2022 8如图 1 所示,设 P 为 ABC所在平面内一点,并且AP=ABC的面积之比等于A1 B 51 C 22 D 52成等差数列, b,c,d成等比数列；39已知 a,b,c,d是偶数,且0abc0,向量 m=0,a,n=1,0,经过定点 A0,-a 以 m+ n 为方向向量的直互与经过定点 B0,a 以 n+2+ m为方向向量的直线相交于点 P,其中, R；就点 P 的轨迹方程为 _. 三、解答题（共 74 分）17. （12 分）甲乙两位同学各有5 张卡片；现以投掷匀称硬币的形式进行嬉戏；当显现正面朝上时,甲赢得乙一张卡片；否就,乙赢得甲一张卡片,规定投掷硬币的次数达 9

5、 次或在此之前某人已赢得全部卡片时,嬉戏终止； 设 表示嬉戏终止时掷硬币的次数；求 取各值时的概率；18. （12 分）设 A, B, C是 ABC的三个内角；如向量m 1 cos A B , cos A B, n 5, cos A B,且 m.n= 9 . 2 8 2 81 求证： tanA .tanB= 1 ；92 求 2 ab sin2 C2 的最大值；a b c19. （12 分）如图 2, ABC的内切圆 I 分别切 BC, CA于点 D,E,直线 BI 交 DE于点 G；求证： AG BG. 20（12 分）设 fx 是定义在 R 上的以 2 为周期的函数,且是偶函数,在区间 2

6、,3 上,fx=-2x-3 2+4；矩形 ABCD的两个顶点 A,B 在 x 轴上, C,D在函数 y=fx0x2 的图象上；求矩形 ABCI面积的最大值；21. （12 分）如图 3 所示,已知椭圆长轴端点A,B,弦 EF 与 AB交于点 D,O为椭圆中心,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 且|OD|=1 ,2DE+DF=0,FDO优秀学习资料欢迎下载4；（1）求椭圆长轴长的取值范畴；（2）如 D为椭圆的焦点,求椭圆的方程；22（14 分）已知数列 xn 中, x1=a, an+1=2x n. fxy,1x n

7、2（1）设 a=tan 02,如x34,求 的取值范畴；5（2）定义在（ -1 ,1）内的函数fx,对任意x,y -1,1,有 fx-fy=1xy如fa1,试求数列 fxn 的通项公式；2答案：第一卷1B M Nd xOy 平面上的图形关于x 轴对称,由此, MN的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以 2 即可；由题意知 MN的图形在第一象限的面积为 1 1 1 .2 3 62C过点 D作 DF/ CB,过点 A作 AE/ BC,联结 CE,ED ,AF,BF,将棱锥补成棱柱；故所求棱锥面积为 1 1CE.CDsinECD .h= 1 .3 2 23C符合要求的取球情形共有四种：红红白黄黄

8、,红红黄黄黄,红白白白黄,红白白黄黄；故不同的取法数为 C 3 1 C 5 2 C 5 3 C 12 C 3 3 C 15 C 12 C 3 2 C 5 2 110 .4A 左边 =sinA .cosA+sinA .cosB+sinB .cosA+sinB .cosB 1= sin2A+sin2B+sinA+B 2=sinA+B .cosA-B+sinA+B, 右边 =2sinA+B. 所以,已知等式可变形为 sinA+BcosA-B-1=0. 又由于 sinA+B0 ,所以 cosA-B=1. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - -

9、- - - - 优秀学习资料 欢迎下载故 A=B；另一方面, A= B=30 0, C=120 0 也符合已知条件；所以,ABC是等腰三角形,但不肯定是直角三角形；b2a21 .xxb2.1xxab2.5A设 gx 的各项系数和为s,就fg1=3s2-s+4=188.解得 s=8 或s23（舍去）；36Ba2b2xx1x a2b2xa2x1x1当xaab时,取得最小值a+b2. 2022, 7B由于 a2022+b2022 a 2006b 2+b 2006a 2, 又a2006+b 2006a2+b 2=a2022+b 2022+a 2006b2+b 2006a22a2022+b且 a 202

10、2+b 2022=a 2006+b 2006, 所以 a 2+b 22. 8C如图 4 所示,延长AP到 E,使得 AP= 1 AE；52AC,得 AC=CD；故四边形 ABED联结 BE,作 ED/BA 交 AC延长线于点D；由AP1AB55是平行四边形；名师归纳总结 所以SABP1.m30. 第 5 页,共 18 页SABE5又SABE1S ABED2,就SABP2.2 1SABCS ABEDSABC549D设 a,b,c,d分别为 b-m,b,b+m,bm2.b又bm 2bm90,就b3 m2m .b30因 a,b,c,d为偶数,且0abc1,故 10 （因 a2 +b2 1）.y 就

11、=4b4-4a2 +b2 b2 -a2 b2 =4a2 b由韦达定理知y 1y2a2 b22y 1,y 1y2b22a2b222 y 12bab2消去 y1 得b22a2b22a2b222,即 0b2=a2a221 a2.ab22b9a解得 1a25. 故 22a0,故全部 xn0. 又xn112xn1,所以 x n0,1 2220.1.xn由于 x32. 2sin又 x20,1,就 0x22007, 0p2,数列 a n 定义如下： a0=1, a 1=a, a n+1= a2 n2 a n,证明：对任何 kN,a n 1有 1 1 1 1 2 a a 24 ；a 0 a 1 a k 215

12、已知 a0, y0 ,且 00 且 m 1 ,解得 1b0, Pr1cos ,r1sin ,Q2rcos2, a2b22rsin2即 Q-r2sin ,r2cos ,由于 P,Q在椭圆上, 所以1111；2 r 1r2 2a2b2设 O到 PQ距离为 d. 就drr 1r2r2aabb2cca2b2,解得51e1.222124C记 2007=n,往证11.当 n=2 时,明显成立； 设当 n=k 时成立, 当 n=k+1 时,pq2取全部满意p+q=k, p,q=1的1 的和记为 S,全部形如 pq1 p-2 ；又当A=B=9,C7时,y323,且y=sin3A+sin3B+sin3C92co

13、s3Acos3 B2Csin3A2131sin3A1sin3A2323.32222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6.C 因 为a2akak1优秀学习资料a2欢迎下载ak12akak12, 所 以a21a221akkkkk22n2 2 n a k a k 1 na k a k a k 1 a k 1 a k .k 1 k 1 2 k 1又当 a1=a2= =an 时,“ =” 成立,所以 最大为 1；790 0延长 AD,BC交于 E,连结 PE,就 DE=DA,PA=PE= 2 ,AE=2,所以 PE PA,又 PD AB ,AB AD ,所以 AB 平面 PAE,所以 PE AB ,所以 PE 平面 PAB；所以 APBC 为直二面角；8由 an+1=n-1a n+an-1得 an+1-nan=-a n-n-1a n-1,所以 a n+1-nan 是首项为 a2-a1=1,公比为 -1的等比数列,名师归纳总结 所以 an+1-nan=-1n-1,所以an1an1 n111 21+ +-1n-2.第 14 页,共 18 页n .n1 .n .在中用2,3, , n-1 代替 n 并相加得a n1 .a21 1n.12 .3n11 .所以ann1 .11 1 11211n2n11 .；.1.2.3xx 1tc