2022年《高中数学竞赛》数列.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载竞赛辅导数列等差数列与等比数列 数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中常常显现的问题；数列最基本的是等差数列与等比数列；所谓数列,就是按肯定次序排列的一列数；假如数列 a n 的第 n 项an与项数 下标n 之间的函数关系可以用一个公式 an=fn来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式；从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N *或它的有限子集 1 ,2, n 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式；为明白数列竞赛题

2、, 第一要深刻懂得并娴熟把握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的 同构关系；一、 等差数列假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示； 等差数列 a n 的通项公式为：a n a 1 n 1 d 1 前 n 项和公式为：S n n a 1 a n na 1 n n 1 d 2 2 2从1式可以看出,a 是 n 的一次数函 d 0 或常数函数 d 0 , n, a n 排在一条直线上,由 2式知,S 是 n 的二次函数 d 0 或一次函数 d ,0 a 1 0 ,且常数项为 0；在等差数列

3、a n 中,等差中项：a n 1 a n a n 2 且任意两项 a , ma n 的关系为：a n a m n m d2它可以看作等差数列广义的通项公式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载从等差数列的定义、通项公式,前n 项和公式仍可推出：a1ana2a n1a3nan2akak1,k,12 ,3naq如m ,n ,p ,qN*,且mpq ,就有:a ma napS m1

4、2 n1a n,S 2n12 n1an1或等差数列 ,等等S k,S 2kS k,S 3kS 2k,S nkS n1k二、 等比数列假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示；等比数列 an的通项公式是：ana 1qn1前 n 项和公式是：na 1q1a1qn,q1nman2S na1 1qna11q1q在等比数列中,等比中项：an1a且任意两项a , man的关系为ana mqn假如等比数列的公比q 满意 0 q 1,这个数列就叫做无穷递缩等比数列,它的各项的和 又叫全部项的和 的公式为：S1a

5、 1q从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a1ana2an1优秀学习资料欢迎下载1,k,12 ,3,na3an2akank如m ,n,p,qa2N*,就有:apaq2naman,2n1,2n1an12n1记na1a3an,就有:1an另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C 为底,用一个等差数列的各项

6、做指数构造幂 C a n,就 C a n 是等比数列；在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是 “同构 ”的；重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式；而且包蕴于求和过程当中的数学思想方法和数学聪明,也是极其宝贵的,诸如 “倒排相加 ” 等差数列 ,“错位相减 ” 等比数列 ；数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公式,二是求数列的前 n 项和；三、 范例例1 设 ap,aq,am,an 是等比数列 an 中的第 p、q、m、n 项,如 p+q=m+n ,求证：apa qaman,a ,公比为 q,就2证明：设等比数列 a 的首项为apa 1qp1amana12qmnaqa 1q

7、q1ama 1qm1ana 1qn1所以:apaqa 12qpq2故:apaqaman说明：这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到；它说明等比数列中距离两端 于首末两项的乘积,即： a1+kan-k=a1an首末两项 距离等远的两项的乘积等细心整理归纳 精选学习资料 对于等差数列, 同样有： 在等差数列 an 中,距离两端等这的两 第 3 页,共 40 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载项之和等于首末两项之

8、和；即： a1+k+an-k=a1+an例 2在等差数列 a 中, a4+a6+a8+a10+a12=120,就 2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由 a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8 及已知或得5a8=120,a8=24 而 2a9-a10=2a1+8d-a1+9d=a1+7d=a8=24；应选 C 例 3已知等差数列 a n 满意 a1+a2+a3+ +a101=0,就有 A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第 13题 解：明显, a1+a2+a3+ +a101 S 101

9、1a1a 101010430a 1a 1010,2故a1a 1010 ,从而a2a100a3a99选C的前 n 项之各,S9=18,a nn9 ,Sn=336,例 4设 Sn 为等差数列an就 n 为 细心整理归纳 精选学习资料 A.16 B.21 C.9 D8 第 4 页,共 40 页 解:由于S 99a518 ,故a52所以a5an4a 1an23032,而S nna 1ann3216n33622故n21 ,选B - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

10、 -例 5设等差数列 优秀学习资料13欢迎下载S 为其前 n 项之和,a 满意3 a85 a,且a 0,就SnnN*中最大的是 ； 1995 年全国高中联赛第1 题 AS 10 BS11 CS20 DS21 解:3 a85a133 a 17d5 a 112d 故ana 1n1da 12a1n1a1402n3939令an0,就:n20,当n20时an0所以 :S19=S20最大,选 C 注：也可用二次函数求最值例 6设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 和为 97 2,就这样的数列共有 3,且各项的A2 个B3 个C4 个D5 个1997 年全国高中数学联赛第3 题 解：设等差数列首项

11、为a ,公差为 d ,就依题意有：nann1 dn972972 * 22an1 d22 由于 n 是不小于 3 的自然数, 97 为素数,故数 n 的值必为 297 的约数 因数,它只能是 97,297,97 2,297 2 四者之一；如d0,就d1由* 式知 2972nn1 dnn1 故只可能有 第 5 页,共 40 页 n =97,* 式化为：a48d97,这时 * 有两组解：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -n97

12、优秀学习资料欢迎下载97n如d0d0an或972d2a97a1,就 * 式化为：,这时 * 也有两组解；n97n97d0或d2a97a1故符今题设条件的等差数列共4 个,分别为：49,50,51, ,145,共 97 项 1,3,5, ,193,共 97 项 97,97,97, ,97,共 97 项 1,1,1, ,1共 972=9409 项 应选 C 例 7将正奇数集合 1 ,3,5, 由小到大按第 n 组有 2n-1个奇数进行分组：1 ,3 ,5,7 ,9,11,13,15,17,第一组 其次组 第三组 就 1991 位于第 组中；1991 年全国高中数学联赛第 3 题 解：依题意,前 n

13、 组中共有奇数1+3+5+ +2n -1=n 2个而 1991=2 996-1,它是第 996 个正奇数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载由于:31 2=9619961024=32 2所以:1991 应在第 31+1=32 组中；故填 32 例 8一个正数,如其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,就该数为；1989 年全国高中联赛试题第4 题 解：设该数为 x,就其整数

14、部分为 x ,小数部分为 x-x ,由已知得：2 xx-x=x其中x 0,0x-x 1,解得：x125x,xx51x1,用 n 表示它的前n项2051x,1x,1x1252故应填x125例 9等比数列an的首项a 11536,公比q2之积,就 nnN *最大的是 A 9B 11C 12 D 131996 年全国高中数学联赛试题 解：等比数列an的通项公式为1 5 3 6n1n1前 n 项和 第 7 页,共 40 页 an1 5 3 61n139 222n1536n1nn13n29n1n1 由于:22221111 329915502细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

15、- - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -939281236优秀学习资料12欢迎下载26612 3242939245,12 3108 21313 32117278323912,故12最大选C 例 10设 x y,且两数列 x , a 1 , a 2 , a 3 , y 和 b 1 , x , b 2 , b 3 , y , b 4 均为等差数列,就 b 4 b 3 1988 年全国高中联赛试题 a 2 a 1解：依题意,有 y x 4 a 2 a 1 所以 : 1a 2 a 1 y x 4又

16、 y x 3 b 3 b 2 所以 :1b 3 b 2 y x 3b 4 b 3 8a 2 a 1 3例 11设 x , y , z 是实数,3 x , 4 y 5, z 成等比数列,且 1, 1, 1 成等差数列,x y z就 x z 的值是 1992 年全国高中数学联赛试题 z x解：由于 3 x , 4 y , 5 z 成等比数列,所以有3 x 5 z 4 y 2 即 : 16 y 215 xz 1又 1 , 1 , 1 成等差数列 , 所以有 :x y z1 1 z, 即 :x z yx z z , y 2 xz 2 xz y x z细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 40 页

17、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -将2 代入 1得优秀学习资料2欢迎下载:164x2z15 xzxz 2x 0 , y 0 , z 02 264 xz 15 x 2 xz z 15 x 2 z 2 34 xzx z 34z x 15例 12已知集合 M= x , xy , lg xy 及 N= ,0 x , y 并且 M=N ,那么 x 1 x 2 12 x 3 13 x 2 0 0 12 0 0 1 1 的 值 等 于 y y y y解：由 M

18、=N 知 M 中应有一元素为 0,任由 lg xy有意义知 xy 0,从而 x 0,且 y 0,故只有 lg xy=0, xy=1,M= x,1,0 ；如 y=1,就 x=1,M=N=0 ,1,1 与集合中元素互异性相连,故 y 1,从而 x =1,x= 1；由 x=1, y=1含,由 x=-1 y=-1,M=N=0,1,-1 此时 ,x12,x212,x2k1y112,x2k1k2yy22ky2从而x1x21x2001y12yy22001注：数列 x,x 2,x 3, ,x 2001；1,1,y1以及yy22001x1,x21,x31,x2001y1yy2y32001在 x=y=-1 的条件

19、下都是周期为2 的循环数列, S2n-1=-2,S2n=0,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载故 2001 并不行怕；例 13已知数列 a 满意 3an+1+an=4n1且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,就满意不等式Sn-n-6 1 的最小整数 n 是 1994 年全国125高中数学联赛试题 A5 B6 C7 D8 解：由 3an+1+an=4n13an+1-3=1-

20、an an111an1 ,a1183故数列 an-1 是以 8 为首项,以an181n13an181n131 为公比的等比数列,所以 3细心整理归纳 精选学习资料 S nS nn811n1 3n661 3n1 第 10 页,共 40 页 3113nn663nSnn661n61n331 2 51352 5 02 4 3n156n7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载当 n=7 时满意要求,应选 C 注：数列 an 既不是等差数列

21、,也不是等比数列,而是由两个项数相等的等差数列： 1,1, ,1 和等比数列：8 , 8, 8, , 8 1 n 的对3 9 3应项的和构成的数列, 故其前 n 项和 Sn 可转化为相应的两个已知数列的和,这里,观看通项结构,利用化归思想把未知转化为已知；例 14设数列 an 的前 n 项和 Sn=2an-1n=1,2, ,数列 bn 满意 b1=3, bk+1=ak+bkk=1,2, 求数列 b n 的前 n 项和；1996 年全国高中数学联赛其次试第一题 解：由 Sn=2an-1,令 n=1,得 S1=a1=2a1-1,a11 1 1 2112 an2 an1又S n2anSn12an11

22、 3 23 得SnS nan2 an2an1n2n1,aan2aa n所以:数列 an是以 a1=1为首项,以 q=2为公比的等比数列, 故 an=2 n-14 由b k1a kb k,b k11b kak22k1 5 b 11b kb k12k2,b kb k2k3b 2以上诸式相加,得由于表中均为正数,故q0,q1,从而a 111,22因此,对于任意 1kn,有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

23、- -akka1 kqk1优秀学习资料1 欢迎下载a 11kdqk11 k 1 1 1 k 1k 1k2 2 2 2记 S a 11 a 22 a 33 a nn1 1 1 12 2 3 3 n n 5 2 2 2 2就有 : 12 S2 12 22 13 n 12 1n n2 1n 1 6 5 6 得 :1 1 1 1 1 1S 2 3 n n n 1 ,2 2 2 2 2 21 n所以 : S 1 12 2 122 132 1n 12 nn 11 21 2 nn21 n2 n 1 n2 2即 : a 11 a 22 a 33 a nn 2 1n 1 nn 2 nn 22 2 2评注：此题中

24、求和 S 1 12 12 3 13 n 1n , 实为等差数2 2 2 2列 an=n 与等比数列 b n 1 的对应项乘积构成的新数列的前 n n 项的和,2将5式两边同乘以公比 1 ,再错项相减,化归为等比数列求各；这种方2法本是求等比数列前 n 项和的基本方法, 它在解决此类问题中特别有用,应予把握；课本 P137 复习参 考题三 B 组题第 6 题为： 求 和：S=1+2x+3x 2+ +nx n-1；2003 年北京高考理工类第 16题：已知数列 an是等差数列,且 a1=2,a1+a 2+a 3=12, I 求数列 an 的通项公式； II 令nbn=anx x R ,求数列 bn

25、 的前 n 项和公式；都贯穿了 “错项相减 ”方法的应用；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、基本学问优秀学习资料欢迎下载高阶等差数列1. 定义：对于一个给定的数列 an ,把它的连结两项 an+1与 an 的差 an+1-an记为 bn,得到一个新数列 b n ,把数列 bn 你为原数列 an的一阶差数列,假如 cn=bn+1- bn,就数列 cn 是 an 的二阶差数列依此类推,可得出数

26、列 an 的 p 阶差数列, 其中 p.N2. 假如某数列的 p 阶差数列是一非零常数列,就称此数列为 p 阶等差数列3. 高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称4. 高阶等差数列的性质：1 假如数列 an 是 p 阶等差数列,就它的一阶差数列是p-1 阶等差数列2 数列 an 是 p 阶等差数列的充要条件是：数列 an的通项是关于 n 的 p次多项式3 假如数列 an 是 p 阶等差数列,就其前 n 项和 Sn是关于 n 的 p+1 次多项式5. 高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前 差分方程的求解,解决问题的基本方法有：1 逐差法：其动身点是ana1n1a k1akk12 待

27、定系数法：在已知阶数的等差数列中,其通项n 项和,更深层次的问题是an与前 n 项和 Sn是确定次数的多项式 关于 n 的 ,先设出多项式的系数,再代入已知条件解方程组即得3 裂项相消法：其动身点是an 能写成 an=f n+1- f n 4 化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的 问题,达到简化的目的二、例题精讲例 1. 数列 an 的二阶差数列的各项均为16,且 a63=a89=10,求 a51解：法一： 明显 an 的二阶差数列 bn 是公差为 16 的等差数列, 设其首项 为 a, 就 bn=a+ n- 1 16, 于是细心整理归纳 精选学习资料 - -

28、- - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ana 1n1优秀学习资料a 1欢迎下载a 1aan2 16n1 n1b kk1a k1a k2k1这是一个关于a 1n1 a8 n1 n 2 n 2 的系数为 8,由于 a63=a89=10, 所以n 的二次多项式,其中an=8 n-63 n-89+10 ,从而 a51=851-6351-89+10=3658 解：法二： 由题意, 数列 an 是二阶等差数列, 故其通项是 又 a63=a89=

29、10,故可设 an=An-63 n-89+10 n 的二次多项式,由于 an 是二阶差数列的各项均为 即 a3-2 a2+a1=16,所以16,所以 a3- a2- a2- a1=16 A3-633-89+10-2A2-632-89+10+A1-63 1 -89+10=16 解得： A=8 an=8 n-63 n-89+10 ,从而 a51=851-6351-89+10=3658 例 2. 一个三阶等差数列 an 的前 4 项依次为 30,72,140,240,求其通项公式解：由性质 2 ,an 是 n 的三次多项式,可设 an=An 3+Bn 2+Cn+D 由 a1=30、a2=72、a3=

30、140、a4=240 得解得：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以 an=n 3+7n2+14n+8 优秀学习资料欢迎下载例 3. 已知整数列 an 适合条件：1 an+2=3an+1-3 an+an-1, n=2,3,4, 22 a2=a1+a3-2 3 a5- a4=9, a1=1 求数列 an 的前 n 项和 Sn 解：设 bn=an +1- an,C n=bn+1- bnCn=bn+

31、1- bn= an+2- an+1- a n+1- an =an+2-2 an+1+an=3 an+1-3 an+an-1 -2 an+1+an=an+1-2 an+an-1 =Cn-1 n=2,3,4, 所以 Cn 是常数列 由条件 2 得 C1=2, 就 an 是二阶等差数列因此a na 1kn1b ka 1 n1b 1n1 n2 22 21 n1b 1n1 n2 由条件 3 知 b4=9,从而 b1=3,于是 an=n例 4. 求证：二阶等差数列的通项公式为证明： 设 an 的一阶差数列为 列,故 cn 为常数列 bn ,二阶差数列为 cn ,由于 an 是二阶等差数细心整理归纳 精选学

32、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 40 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载又 c1=b2- b1=a3-2 a2+a1所以例 5. 求数列 1,3+5+7,9+11+13+15+17, 的通项解：问题等价于：将正奇数 1,3,5, 依据“ 第 n 个组含有 2n-1 个数” 的规章分组： 1 、 3,5,7、9,11,13,15,17,然后求第 n 组中各数之和 an依分组规章, 第 n 组中的数恰好构成以 2 为公差的项数为 2

33、n-1 的等差数列,因而确定了第 n 组中正中心这一项,然后乘以 2 n-1 即得 an将每一组的正中心一项依次写出得数列：1,5,13,25, 这个数列恰为一个二阶等差数列,不难求其通项为 2n 2-2 n+1,故第 n 组正中心的那一项为2n 2-2 n+1,从而 an=2n-2 n+12 n-1 例 6. 数列 an 的二阶差数列是等比数列,且 通项公式a1=5, a2=6, a3=9, a4=16, 求 an 的解：易算出 an 的二阶差数列 cn 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 , 就 cn=2 n, an 的一阶差数列设为 bn ,就 b1=1 且从而细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -