《复数》知识点总结.pdf

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1、复数知识点总结1、复数的概念形如( ,)abi a bR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足21i，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. (1) 纯虚数：对于复数zabi，当00ab且时，叫做纯虚数. (2) 两个复数相等：,()abi cdi abcdR、 、 、相等的充要条件是=acb d且. (3) 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4) 复数的模：复数zabi可以用复平面内的点Z( , )a b表示，向量OZ的模叫做复数zabi的模，表示为：22| |zabiab（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共

2、轭复数. 2、复数的四则运算（ 1）加减运算：()()()()abicdiacbd i；（ 2）乘法运算：() ()()()abicdiacbdadbc i；（ 3）除法运算：2222()()()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd；（ 4）i的幂运算：41ni，41nii，421ni，43nii.()nZ（ 5）22|zzzz3、 规律方法总结（ 1）对于复数( ,)zabi a bR必须强调,a b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b（ 2）复数( ,)zabi a bR是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复

3、数( ,)zabi a bR，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识（ 3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分. （ 4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 1 、基本概念计算类例 1若,43,221iziaz且21zz为纯虚数，则实数a 的值为 _ 解：因为，21zz25)46(83258463)43)(43()43)(2(432iaaiaiaiiiiaiia，又21zz为纯虚数，所以，3

4、a80，且 64a0。38a2、复数方程问题例 2证明：在复数范围内，方程iiziz255)1(|2（i 为虚数单位）无解证明：原方程化简为,31)1 ()1 (|iziziz设 zxyi(x、yR) ，代入上述方程得3221.31222222yxyxiyixiyx整理得051282xx.016方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3、综合类例 3设 z 是虚数，zz1是实数，且12 （1）求|z| 的值及 z 的实部的取值范围；（2）设zzM11，求证： M为纯虚数；（3）求2M的最小值。解：（ 1）设 zabi （a，b0,bR）,)()(12222ibabbbaaabiabia因为，

5、是实数，0b所以，122ba，即 |z| 1， 因为2a， 10， 所以2M223 1，当 a111a，即 a0 时上式取等号，所以，2M的最小值是1。4、创新类例 4对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz2121222111,(,) 定义运算“”为1z2z2121yyxx， 设非零复数21,在复平面内对应的点分别为21,PP, 点 O为坐标原点，若120，则在21OPP中，21OPP的大小为 _. 解法一： （解析法） 设)0,(,21222111aaibaiba， 故得点),(111baP，),(222baP，且2121bbaa0，即12211abab从而有2121OPOPkk12211abab故21OPOP, 也即02190OPP解法二：（用复数的模）同法一的假设，知2121ba2222ba2（2121bbaa）2121ba2222ba20 2121ba2222ba21|OP22|OP由勾股定理的逆定理知02190OPP解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),(222111baOPbaOP，则有0cos22222121212121bababbaaOPOP故02190OPP