03第3章--高等数学模型.docx

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1、第3章 高等数学模型本章介绍一些针对高等数学知识点的数学模型。本章的案例对训练有素的建模者而言不算困难，但对于初学者来说并非易事，因此建议初学者采取循序渐进的学习方式。在开始阶段不要急于去尝试复杂的建模问题，现实生活中有许多值得我们思考的问题，其中不少既简单又实用，不需要具备过多的数学方法和知识就可以去尝试去做，它们可以让你体会到建模艺术的概貌，体会到建模的魅力。3.1 函数3.1.1 加油站的竞争1.问题提出甲乙两个加油站位于同一条公理旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此激烈竞争。一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的盈利。乙站为挽回损失，必须采取

2、降价销售这一对策来争取顾客。那么，乙站如何决定汽油的价格才能既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润？2.问题分析在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策。因此，需要构建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。为了描述汽油价格和销售量之间的关系，引入以下指标：（1）价格战前，甲乙两站汽油的正常销售价格为（元/L）；（2）降价前乙站的销售量为（L）；（3）汽油的成本价格为（元/L）；（4）降价后乙站的销售价格为（元/L）；（5）降价后甲站的销售价格为（元/L）。3.模型假设影响乙站汽油销售量的因素主要有以下几个：（1）甲站汽油降价的幅度；

3、（2）乙站汽油降价的幅度；（3）甲乙两站之间汽油销售价格之差。我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减少；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随着增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差的增加，乙站汽油销售量也随之减少。假设1 在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变。假设2 以上各因素对乙站汽油销售量的影响是线性的，比例系数分别为（均为正常数）。4.模型建立根据假设2，乙站的汽油销量为，所以乙站的利润函数为.(3.1)5.模型求解当确定时，利润函数是关于的二次函数，求出的最大值点为.也就是说，当甲站把汽油的价格降到元，乙站把它的汽油价格定位时，可以使得乙站获得

4、更高利润。计算的MATLAB程序如下：clc, clearsyms a b c p w x y z %定义符号变量R=(x-w)*(z-a*(p-y)+b*(p-x)-c*(x-y);dr=diff(R,x), d2r=diff(R,x,2) %求关于x的一、二阶导数xs=solve(dr,x) %求驻点6.思考价格差对销售量的线性影响的假设是否恰当？可以修正吗？3.1.2 交通信号灯的管理 1.问题提出某学校旁边有一个十字路口，学生希望通过对十字路口红绿灯开设时间及车流量的调查来分析十字路口红灯和绿灯点亮的时间是否合理。调查数据如下：南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为49s，东西方向绿灯即南

5、北方向红灯的时间为39s，所以红绿灯变换一个周期的时间为88s。在红绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：南北方向平均为30辆，东西方向平均为24辆。2.问题分析这里所谓的合理，就是从整体上看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间最少。引入以下指标：（1）红绿灯变换的周期为；（2）从南北方向到达十字路口的车辆数为；（3）从东西方向到达十字路口的车辆数为。3.模型假设假设1 黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，不考虑人流量及非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。假设2 车流量均匀。假设3 一个周期内，南北向绿灯，东西向红灯时间相等；东西向绿灯与南北向红灯周期相同。4.模型建

6、立设南北方向绿灯时间（即东西方向红灯时间）为秒，则南北方向红灯时间（即东西方向绿灯时间）为秒。设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为秒。根据假设，一个周期内车辆在此路口的滞留总时间分成两部分，一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间，另一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间。下面计算东西方向车辆在此路口滞留的时间。在一个周期中，从东西方向到达路口的车辆数为，该周期中东西方向亮红灯的比率是，需停车等待的车辆数是。这些车辆等待时间最短为0（刚停下，红灯就转换为绿灯），最长为（到达路口时，绿灯刚转换为红灯），由假设2“车流量均匀”可知，它们的平均等待时间是。由此可知，东西方向车辆在此路口滞留的时间为.

7、同理，南北方向车辆在此路口滞留的时间为.所以.5.模型求解函数是关于的二次函数，容易求得当时，取得最小值。6.结果分析取学生的调查数据，即，则，当时，。计算的MATLAB程序如下：clc, clearsyms a b t Ty=b*t2/(2*T)+a*(T-t)2/(2*T);dy=diff(y,t), d2y=diff(y,t,2) %求关于t的一阶、二阶导数t01=solve(dy,t) %求驻点t02=subs(t01,a,b,T,30,24,88) %代入具体数值t0=double(t02) %符号数转化为数值数y0=subs(y,a,b,T,t,30,24,88,t02)y0=do

8、uble(y0)由此可见，计算所得结果和学生们实际观测到的数据是比较接近的，这也说明此路口红灯与绿灯设置的时间比较合理。7.思考上面这个模型涉及的变量只有一个（车流量），若再将停车后汽车延迟发动达到正常车速所用的时间考虑在内，又该如何求解呢？3.2 导数3.2.1 飞机的降落曲线问题1.问题提出一完成任务的战斗机正在准则返航降落，你知道它的降落曲线有什么特点吗？在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。你能确定这条三次抛物线吗？2.问题分析只需设出三次抛物线的函数，利用飞行曲线的连续性、光滑性确定其中的待定系数即可。图

9、3.1 飞机降落曲线3.模型建立与求解如图3.1所示，设飞机的飞行高度为，从处开始下降，飞机的着陆点为原点，求。利用飞行曲线的连续性、光滑性，得到4个方程，联立解之即可。由条件知，由曲线的光滑性，得，代入三次抛物线，得方程组解此方程组，得，飞机的降落曲线为。计算的MATLAB程序如下：clc, clear, syms x a b c d h x0y=a*x3+b*x2+c*x+d; dy=diff(y)eq1=subs(y,x,0); eq2=subs(dy,x,0);eq3=subs(y,x,x0)-h; eq4=subs(dy,x,x0);a0,b0,c0,d0=solve(eq1,eq2

10、,eq3,eq4,a,b,c,d)y2=subs(y,a,b,c,d,a0,b0,c0,d0)y3=subs(y2,x0,h,10000,1000) %取x0=10000,h=1000ezplot(y3,0,10000), title()xlabel($x$,Interpreter,Latex)4.结果分析从结论可知，飞机的降落曲线为立方抛物线的一个部分，从降落点开始观测时，曲线是先上凸后下凸。5.拓展应用若设在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大值不得超过，是重力加速度，那么开始下降点所能允许的最大值是多少？由于飞机的垂直速度是关于时间的导数，故有

11、，其中，是飞机的水平速度，代入条件即得，垂直加速度为.由，得，即飞机降落所需的水平距离不得小于。例如，当飞机以水平速度540km/h，高度1000m飞临机场上空时，有（m），即飞机降落所需的水平距离不得小于11737m。3.2.2 飞行员对座椅的压力问题1.问题提出飞机在做表演或向地面某目标实施攻击时，往往会做俯冲拉起的飞行，这时飞行员处于超重状态，即飞行员对座椅的压力大于他所受的重力，这种现象称为过荷。过荷会给飞行员的身体造成一定的损伤，如大脑贫血、四肢沉重等。过荷过大时，会使飞行员暂时失明甚至昏厥。通常飞行员可以通过强化训练来提升自己的抗荷能力，受过专门训练的空军飞行员最多可以承受9倍于自

12、己重力的压力。如何计算飞行员对座椅的反作用力呢？2.问题分析设飞机沿抛物线路径做俯冲飞行，问题转化为求飞机俯冲至最低点处时，座椅对飞行员的压力。飞行员对座椅的压力等于飞行员的离心力与飞行员本身的重力之和。3.模型建立设飞机沿抛物线路径做俯冲飞行，在坐标原点处飞机的速度为,飞行员体重,飞行员对座椅的压力等于飞行员的离心力与飞行员的重力之和。4.模型求解先求离心力，再求飞行员本身的重力，相加即可。因为，抛物线在坐标原点的曲率半径为，故离心力为（N），座椅对飞行员的反作用力（N）. 计算的MATLAB程序如下：clc, clear, syms y(x)m=70; v=200; g=9.8;y=x2/

13、10000; dy=diff(y); d2y=diff(y,2);rho=(1+dy2)(3/2)/d2yrho0=subs(rho,x,0)F1=m*v2/rho0, F=F1+m*g5.结果分析这个力接近于飞行员体重的2倍，还是比较大的。从结果中可以看出，若俯冲飞行的抛物线平缓些，飞行员受到的过荷会小一些，若飞机的速度小一些，飞行员受到的过荷也会小一些。6.拓展应用曲率、曲率半径的计算在铁路修建、桥梁建筑等问题中都有应用。一辆军车连同载重共10t，在抛物线拱桥上行驶，速度为26km/h，桥的跨度为10m，拱高为0.25m，求汽车越过桥顶时对桥的压力。图3.2 拱桥建立如图3.2所示的直角坐

14、标系。设抛物线拱桥方程为，由于抛物线过点，代入方程，得，则，。顶点的曲率半径，军车越过桥顶时对桥的压力为（N）。3.3 定积分3.3.1 火箭飞出地球问题1.问题提出2013年12月2日，“嫦娥”三号成功发射。这体现了中国强大的综合国力，是中国发展软实力的又一象征。我们期盼着有朝一日能坐上宇宙飞船去遨游太空，这是多么令人兴奋的事！为此，需要考虑的一个基本问题是，飞船要用多大的初速度才能摆脱地球的引力呢？2.问题分析地球的半径为6378km，其表面的重力加速度是9.8m/s2。火箭在上升过程中，主要是在克服地球引力做功。如果能把火箭摆脱地球引力所需要的总功求出，而这一总功是由火箭所获得的动能转化

15、而得，便可进一步求出所需要的初速度。3.模型的建立与求解利用定积分的概念，并结合物理学知识，计算出火箭摆脱地球引力所做的功，然后利用动能公式求出所需的初速度。设地球的半径为，质量为，火箭的质量为，根据万有引力定律，当火箭离开地球表面距离为时，它所受地球的引力为。当时，故.由于引力随着火箭上升高度的变化而变化，因此，如果假设火箭上升高度为，那么在整个高度上火箭所需要的总功就不能直接由公式求得。但是，可以按定积分的定义计算总功。当火箭再上升时，需要做的功为.所以当火箭自地球表面达到高度时，所要做的功总共为.火箭要摆脱地球的引力，意味着，此时，所以初速度必须使动能，得，代入数据，得.这就是第二宇宙速

16、度。4.结果分析火星的直径是6860km，其表面的重力加速度是3.92m/s2。有人说：如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游要比地球上容易。请说明此人的观点是否正确?3.3.2 侦察卫星覆盖面积问题1.问题提出侦察卫星主要用于对其他国家或地区进行情报搜集，其携带的广角高分辨率摄像机能监视“视线”所及地球表面的每一处景象并进行摄像。利用卫星搜集情报既可避免侵犯领空的纠纷，又因操作高度较高，可避免受到攻击。具有侦察面积大、速度快、效果好、可长期或连续监视以及不受国界和地理条件限制等优点。现有一颗地球同步轨道侦察卫星在位于地球赤道平面的轨道上运行，试测算卫星距离地面的高度以

17、及侦察卫星的覆盖面积。2.问题分析一颗地球同步轨道侦察卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆形轨道。侦察卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，即人们看到它在天空不动。则卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律，即可确定卫星的高度；当卫星距离地面高度已知时，其覆盖面积可用球冠面积来确定或者利用曲面积分计算。3.模型建立及求解已知地球半径为km，重力加速度，卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同。问卫星距地面的高度应为多少？并计算该卫星的覆盖面积。记地球的质量为，通信卫星的质量为，万有引力常数为，通信卫星运行的角速度为。卫星所受的万有引力为，卫星所受离心力为。根据牛顿

18、第二定律，得，(3.2)若把卫星放在地球表面，则卫星所受的万有引力就是卫星所受的重力，即有，(3.3)消去式和中的万有引力常数，得.(3.4)将，km，代入式，得（m）即卫星距地面的高度为35865km。取地心为坐标原点，地心与卫星中心的连线为轴建立三维右手直角坐标系，其平面图如图3.3所示。图3.3 平面图卫星的覆盖面积为，其中为球面的上半部被圆锥角所限定的部分曲面。所以卫星的覆盖面积为，其中，积分区域为平面上的区域，这里，利用极坐标得.代入，计算得m2，即km2。计算的MATLAB程序如下：clc, clearg=9.8; R0=6378000; omiga=2*pi/(24*3600);

19、h0=(g*R02/omiga2)(1/3)-R0syms z(x,y) R r t h a bassume(R,positive); assume(b,positive); assume(h,positive)z=sqrt(R2-x2-y2)ds=sqrt(1+diff(z,x)2+diff(z,y)2)f=subs(ds,x,y,r*cos(t),r*sin(t)*r,f=simplify(f)S=2*pi*int(f,r,0,R*sin(b), S=simplify(S)S=subs(S,cos(b),R/(R+h)S=double(subs(S,R,h,R0,h0)TS=4*pi*R0

20、2 %计算地球的表面积rate=S/TS %计算同步卫星覆盖的比率4.结果分析地球表面的总面积为，一颗通信卫星覆盖地球表面的比率为42.45%，即一颗通信卫星覆盖了地球表面的以上的面积，故使用3颗相间的通信卫星就可以覆盖整个地球表面。3.4 多元函数微分学3.4.1 竞争性产品生产中的利润最大化1.问题的提出一家制造计算机的公司计划生产两种产品：一种使用27英寸（in，1in=0.0254m）显示器的计算机，而另一种使用31英寸显示器的计算机。除了400000美元的固定费用外，每台27英寸显示器的计算机成本为1950美元，而31英寸的计算机成本为2250美元。制造商建议每台27英寸显示器的计算

21、机零售价格为3390美元，而31英寸的零售价格为3990美元。营销人员估计，在销售这些计算机的竞争市场上，一种类型的计算机每多卖出一台，它的价格就下降0.1美元。此外，一种类型的计算机的销售也会影响另一种类型的销售：每销售一台31英寸显示器的计算机，估计27英寸显示器的计算机零售价格下降0.03美元；每销售一台27英寸显示器的计算机，估计31英寸显示器的计算机零售价格下降0.04美元。那么该公司应该生产每种计算机多少台，才能使利润最大？2.模型假设及符号说明制造的所有计算机都可以售出。分别表示27英寸和31英寸的计算机；为生产的第种计算机的数量；是第种计算机的零售价格；为计算机零售收入；为计算

22、机的制造成本；为计算机零售的总利润。3.模型建立由题意可知，且，.则利润函数为.(3.5)4.模型求解该模型式是一个多元函数，目的是求该函数的最大值。根据多元函数极值的必要条件，有解方程组得到.根据实际，该函数存在最大值，因为，就是其最大值点。也就是说，公司应该制造4735台27英寸显示器的计算机和7043台31英寸显示器的计算机，总利润为美元。计算的MATLAB程序如下：clc, clear, syms x1 x2p1=3390-0.1*x1-0.03*x2; p2=3990-0.04*x1-0.1*x2;R=p1*x1+p2*x2; C=400000+1950*x1+2250*x2;L=R

23、-C, L=simplify(L)dL1=diff(L,x1) %求关于x1的一阶导数dL2=diff(L,x2) %求关于x2的一阶导数x10,x20=solve(dL1,dL2) %求代数方程组的符号解x10=double(x10), x20=double(x20) %把符号数化成双精度浮点型数x10=round(x10), x20=round(x20) %四舍五入取整数L0=subs(L,x1,x2,x10,x20) %代入具体的数值计算L0=vpa(L0,10) %把符号数显示为小数格式实际该问题是一个简单的非线性规划问题，表示如下：(3.6)利用LINGO软件求解的程序如下：max=

24、-0.1*x12-0.1*x22-0.07*x1*x2+1440*x1+1740*x2-400000;gin(x1); gin(x2); !x1,x2为整型变量;也可以利用MATLAB软件求模型的松弛问题（去掉为整数的约束）的解，计算的MATLAB程序如下：clc, clear, format long gf=(x)-0.1*x(1)2-0.1*x(2)2-0.07*x(1)*x(2)+1440*x(1)+. 1740*x(2)-400000; %定义目标函数的匿名函数%MATLAB只能求极小值x=fmincon(x)-f(x),rand(1,2),zeros(1,2) y=f(round(x

25、), format3.4.2 航天飞机的水箱1.问题的提出考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体，如图3.4所示。如果球体的半径限定为正好英尺，设计的水箱表面积为450平方英尺，为直圆锥的高，为球冠的高，请确定的尺寸，使水箱容积最大。图3.4 水箱的形状2.模型假设影响水箱设计的因素很多。在模型中，考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积以及球体的半径。3.模型建立定义如下变量：直圆锥底面半径，为锥顶的体积，则.为被锥所截后球体部分的体积，则.为水箱的体积，则.为锥的表面积，则.为被锥所截后球体部分的表面积，则.水箱的表面积为.人们希望最大化水箱的体积，而

26、总的表面积限制了水箱的体积，所以问题归结为在条件下，求的最大值。4.模型求解用Lagrange乘子法来求解这个具有等式约束的优化问题。定义函数将，代入上式，化简表达式得到(3.7)将对变量分别求偏导数，并令它们为0，求解得，所求的最大体积为（平方英尺）.实际上我们可以使用LINGO软件求解上述非线性规划问题，计算的LINGO程序如下：max=3.14159/3*(4*r3+x23-3*r*x22+2*r*x1*x2-x1*x22);3.14159*(4*r2-2*r*x2+sqrt(2*r*x2-x22)*(2*r*x2-x22+x12)=450;r=6;3.4.3 价格和收入变化对需求的影响

27、1.问题的提出当一个消费者用一定数额的钱去购买两种（或多种）商品时应作怎样的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种（或多种）商品？2.模型分析记甲乙两种商品的数量分别是和，当消费者占有它们时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，是的函数，记作，经济学中称为效用函数。（常数）的图形是无差别曲线族（是一族单调降、下凸、互不相交的曲线），如图3.5所示。在每一条曲线上（如），对于不同的点（即不同），效用函数的值不变。而随着曲线向右上方移动，的值增加（图中上的值高于上的值、上的值高于上的值）。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假定消费者的效用函数，即它的无差别曲线族已经完

28、全确定了。图3.5 无差别曲线族的图形设甲乙两种商品的单价分别是和（元），消费者有元。当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，应该使效用函数达到最大，即得到最大的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者均衡。因为消费者对两种商品的购买量分别为和时，他用的钱分别为和，于是问题归结为在条件下求，使效用函数达到最大。这是二元函数的条件极值问题，当效用函数给定后，用Lagrange乘子法不难得到最优解。3.模型建立模型一 设消费者对两种商品的效用函数为.又已知甲、乙两种商品的单价分别是和（元），消费者有元。当消费者用这些钱买这两种商品时，如何选择（即分别用多少钱买甲和乙）才能使

29、效用函数达到最大？由Lagrange乘子法可得，令解之得需求函数.从上式可以看出与（与）之间的关系，而参数分别表示消费者对甲、乙两种商品的偏爱程度。模型二 设消费者对种商品的效用函数为，其中，（1），且；（2）是非负常数，且满足，可看成对第种商品的最低限度消费量。又已知第种商品的单价为元，消费者有元。当消费者用这些钱买这种商品时，如何选择（即分别用多少钱买第种商品）才能使效用函数达到最大？效用函数，或等价地，.由Lagrange乘子法可得.令(3.8)从而由，由此得，代入式，即得需求函数，或 ，其中是用于购买第种商品的支出。这个式子表明该项支出是收入和价格的线性函数，同时也是超出最低支出的收入

30、部分的线性函数，故称它为线性支出系统，它在计量经济学中有广泛的应用。3.4.4 经济增长模型1.问题提出发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等），二是雇佣更多的工人。本例寻找一个描述生产量、劳动力和投资之间变化规律的模型。2.模型建立用和分别表示某一地区、部门或企业在时刻的产量、劳动力和资金，时间以年为单位。因为人们关心的是它们的增长量而不是绝对量，所以定义(3.9)分别为产量指数、劳动力指数和投资指数。它们的初始值（）为1。在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，而的增长又取决于和的增长速度。但是它们之间的关系难以从机理分析得到，只能求助于统

31、计数据。表3.1是美国马萨诸塞州从1890年到1926年上述三个指数的数据（以1899年为）。表3.1 美国马萨诸塞州18901926年的数据-90.950.780.72102.051.431.60-80.960.810.78112.511.581.69-70.990.850.84122.631.591.81-60.960.770.73132.741.661.93-50.930.720.72142.821.681.95-40.860.840.83153.241.652.01-30.820.810.81163.241.622.00-20.920.890.93173.611.862.09-10.9

32、20.910.96184.101.931.9601.001.001.00194.361.962.2011.041.051.05204.771.952.1221.061.081.18214.751.902.1631.161.181.29224.541.582.0841.221.221.30234.541.672.2451.271.171.30244.581.822.5661.371.301.42254.581.602.3471.441.391.50264.581.612.4581.531.471.52274.541.642.5891.571.311.46为了从数量关系上分析这些数据，定义新变量.

33、(3.10)按照表3.1中数据算出后，在平面直角坐标系上作图，如图3.6所示。可以发现大多数点靠近一条过原点的直线，这提示应设和的关系为，(3.11)且直线斜率通常有。将式代入式，得.(3.12)再记，则由式、式可以写出.(3.13)这就是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数；记作，它表明了产量与劳动力和投资间的关系。图3.6 的散点图表3.1中总共有37个观测点，我们可以使用最小二乘法拟合式中的参数，即求使得达到最小值。的拟合结果为。画图3.6及拟合参数的MATLAB程序如下：clc, clear, close alla=textread(gtable3_1.txt); %把表3.

34、1中的数据原样贴到文本文件中ik=a(:,2);a(1:end-1,6);il=a(:,3);a(1:end-1,7);iq=a(:,4);a(1:end-1,8);xi=log(il./ik); psi=log(iq./ik);plot(xi,psi,.,MarkerSize,10)xlabel($xi$,Interpreter,Latex)ylabel($psi$,Interpreter,Latex,Rotation,0)hold on, plot(-1.1,0.1,-1.1,0.1,k-)f=fittype(k*x) %定义拟合的函数类sf=fit(xi,psi,f,start,rand

35、) %拟合函数有了式，还可以得到进一步的结果。将式对求导，得.(3.14)式表示了年相对增长量、和之间的线性关系，显然(3.15)表示产量增长中取决于劳动力部分的比值，称为产量对劳动力的弹性系数。说明产量增长主要靠劳动力的增长；说明产量增长主要靠投资的增长。3.5 微分方程 在实际问题中，建立数学模型绝大多数情况都是想得到变量之间的函数关系。然而，由于实际问题的复杂性，往往直接建立函数关系并不容易，特别是含有变化率和改变量的问题，而这样的问题建立未知函数所满足的微分方程却常常比较容易。3.5.1 暴雨中的飞行路线问题1.问题提出飞机在战场上执行任务时，会遇到各种各样复杂的气候条件，这些恶劣的气

36、候条件对战机的安全带来了很大的隐患。比如，据统计，每架飞机一年至少遭雷击一次，那么在雷雨天气中执行任务时，作为经验丰富的飞行员，应该如何制定战机的规避路线以保证战机的安全呢？2.问题分析雷暴区气压很低，执行任务战机要避开雷暴区就是要以最快的速度离开雷暴区，即由气压低的地方尽快向气压高的地方飞行，根据梯度与方向导数的关系知，沿梯度方向导数值最大，所以战机在雷暴区中每一点都应该按梯度方向飞行。在发生雷暴时，假设战机的飞行高度不变，则战机应该沿气压上升最快的方向飞行，即在每一点都将按方向导数增加最快的方向飞行，若已知气压函数为，则气压函数偏导数构成的向量的方向就是梯度方向，也就是飞机沿梯度方向飞行时

37、，就能够最快飞离雷暴区。3.模型建立与求解一战机要去执行任务，途中遇到雷暴区，假设战机飞行高度不变，若已知雷暴区的气压函数为，战机现位于点，如何制定战机的规避路线？方向导数是函数沿着指定方向的变化率，有.梯度.方向导数与梯度具有如下关系：函数沿着梯度方向的变化率最大。因为战机始终朝气压上升最快的方向飞行，所以在每一点都将按梯度方向运动，气压函数是，战机在雷暴区中每一点都应该按方向导数增加最快，即梯度方向运动。设战机的飞行路线函数为，沿的任一点的切向量为，因为战机的运动方向与飞行路线的切线方向平行，有，故战机的飞行路线函数满足解方程得，则战机在点处应该沿着曲线飞行，就能以最快的速度离开雷暴区。4

38、.拓展应用热锅上的蚂蚁。在锅底处有一个火焰，它使金属板受热，假定热锅的温度分布函数为，在处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即负梯度方向）爬行。因为，所以，.故方向导数，其中为与单位向量的夹角，显然时，有取最小值。故蚂蚁的逃跑方向为负梯度方向，故，且，解微分方程得。3.5.2 警犬缉毒最佳搜索路线问题1.问题提出在电影、电视剧中经常看到缉毒军警在警犬的帮助下，追踪毒贩或者毒品的画面，我缉毒大队截获情报通常只是知道毒贩躲藏在某一个区域，或者有一批毒品存放在某地区，具体地点并不确定，缉毒警察只好利用警犬搜索，要想尽快找到毒品，

39、警犬是沿什么方向进行搜索呢？2.问题分析毒品在大气中散发着特有的气味，警犬可以根据毒品的气味去搜索，要想尽快找到毒品，一条警犬在某点处嗅到气味后，应该沿着气味最浓的方向搜索，也就是气味变化最大的方向搜索，这问题可以利用梯度与方向导数的知识来解决，因为梯度方向就是方向导数变化最大的方向。3.模型建立与求解地面上某处藏有毒品，以该处为坐标原点建立笛卡尔坐标系，已知毒品在大气中散发着特有的气味，设气味浓度在地表平面上的分布为，一条警犬在点处嗅到气味后，沿着气味最浓的方向搜索，求警犬搜索的路线。先求函数的梯度，即.设警犬的搜索路线函数为，沿的任一点的切向量为.一条警犬沿着气味最浓的方向搜索，就是要沿着

40、气味浓度变化最大的方向搜索，根据方向导数与梯度的关系，即警犬沿着梯度方向去搜索，因此警犬的运动方向与警犬搜索路线的切线方向平行，即，因而，化简为，故警犬的搜索路线函数满足解之得，所以警犬在点处只需要沿着曲线搜索，就能以最快的速度找到毒品。4.拓展应用攀岩运动是一项惊险刺激的运动，同时也是一项锻炼人的意志品质的运动，它要求每一个参加者必须按最陡峭的路线攀登，以尽可能快地升高其高度。现有一个攀岩爱好者，要攀登一个表面曲面方程为的山岩，已知他的出发地点是山岩脚下的点，请求出其攀岩路线。因为已知在曲面上，所以只要求出在坐标面上的投影曲线的方程就可以了。由于攀岩的方向在坐标面上的投影向量就是函数的梯度向

41、量，即.这一方向也就是曲线的切线方向，所以曲线必须满足，这是一个可分离变量方程，两边积分可得，即，根据时有，所以，从而得到的方程为。于是得到的方程为3.5.3 战斗机安全降落跑道的长度问题1.问题提出当机场跑道不足时，常常使用减速伞作为飞机的减速装置。在飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾部张开一副减速伞，利用空气对伞的阻力缩短飞机的滑跑距离，保障飞机在较短的跑道上安全着陆。那么，当减速伞的阻力系数确定后，如何判断飞机能否安全着陆呢？2.问题分析在战斗机着陆滑跑过程中，对其进行受力分析，根据牛顿第二定律可以得到数量关系式。对关系式进行分析可以进一步得到战斗机安全着陆的条件。3.模型建立与求解将阻力

42、系数为的减速伞装备在9t的战斗机上。现已知机场跑道长1500m，若飞机着陆速度为，并忽略飞机所受的其他外力。问跑道长度能否保障飞机安全着陆？对于此问题，可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析。设飞机质量为，着陆速度为，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为，飞机的速度为，减速伞的阻力为，其中为阻力系数。根据牛顿第二定律有，其中是飞机滑跑时所受到的合力，是飞机滑跑时的加速度，可以表示成。依题意，飞机在滑跑过程中只受到减速伞所带来的阻力，这样便可建立运动方程.又由于，可以得到如下常微分方程解之，得.因子飞机的滑跑距离，将数据代入公式有。所以，飞机能安全着陆。计算的MATLAB程序如下：clc,

43、clear, syms x(t) m k v0assume(k0); assume(m0);dx=diff(x); %求x的1阶导数，为了下面赋初值x=dsolve(m*diff(x,2)+k*diff(x),x(0)=0,dx(0)=v0)xx=limit(x,t,+inf)x0=subs(xx,m,v0,k,9000,700000,4500000)4.拓展应用对飞机减速伞的设计与应用问题进行了分析与计算，在考虑飞机只受到减速伞所带来阻力的情况下得到了结果，而在实际问题中，飞机还受到地面的摩擦力，在这种情况下，结果又怎样呢？请同学们思考。若飞机除受减速伞的阻力外，还受到跑道的恒定摩擦力的影响

44、，试写出相应的微分方程，求出飞机滑跑速度的表达式。你能求出滑跑距离的表达式吗？3.5.4 油罐车排油问题1.问题提出在部队的后勤保障中，油料保障是重中之重。油料保障中涉及很多环节，包括储存、运输、加注等。现考虑运油车加注过程中，如果运油车缺失了额外动力，需要将车内的油料通过自流方式全部排出。在此情况下，问整个自流排油需要多少时间？2.问题分析本问题在不考虑其他动力情况下，仅根据流体自身重力将油罐内的液体流出，来计算全部排完液体需要时间，这就需要获得流体流量与时间的函数关系。因此，必须根据流体力学的规律建立方程模型。3.模型建立与求解假设运油车的罐体是长为的椭圆柱体，截面椭圆方程为，罐体自流阀位于罐体底部，其孔口半径为0.04m。若罐体中还剩50%的油料，且只有一个自流阀能用的情况下，问能否按要求在5min内将油料全部排出？首先，为了简化计算，这里考虑运油车罐体为椭圆柱体。其次，由于油料是通过自流方式流出，需要考虑影响油料单位时间内流量的因素，根据流体力学规律建立微分方程。最后，通过微分方程的相关解