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1、.必修五 数列知识梳理 1.数列的前 n项和与通项的公式 nnaaS21; )2(1nSn.例 1. 已知下列数列 的前 项和 ,分别求它们的通项公式 .n na Sn32; 13n.设数列 满足 ,则 na21*13.,.3naaNna数列 中, )(2321 Nna ,求 53a的值.na已知数列 na的首项 12,其前 n项和 21nSa求数列 na 的通项公式设 nS、 T分别是等差数列 、 的前 n项和, 327nTS,则 5ba .nab.2. 数列的单调性递增数列:对于任何 Nn,均有 na1.递减数列:对于任何 ,均有 .2010-2011海淀区高三年级期中已知数列 满足:na
2、123,(1,23)nnaa (I)求 的值;123,()求证:数列 是等比数列;1na()令 ( ) ,如果对任意 ,都有 ,求实数(2)1nnba,23.*nN214nbt的取值范围.t2.等差数列知识点通项公式与前 n项和公式通项公式 da)1(, 1a为首项, d为公差.前 项和公式 2nnS或 nS)1(21.等差中项:如果 bA,成等差数列,那么 A叫做 a与 b的等差中项.即: A是 a与 b的等差中项 baA2, A, b成等差数列.等差数列的判定方法定义法: dn1( N, d是常数) 是等差数列;na中项法: 22a( ) 是等差数列 .n ) 是等差数列(nab一n 是等
3、差数列2 )SAB数 项 为0n等差数列的常用性质数列 是等差数列,则数列 pan、 n( p是常数)都是等差数列;na等差数列 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 ,32knknaa为等差数列,公差为 kd. mnan)(;若 ),Nqp,则 qpnmaa;若等差数列 的前 n项和 nS,则 是等差数列;a例 2.已知 nS为等差数列 的前 项和, )(NnSbn.求证:数列 nb是等差数列.n等差数列的前 项和 的最值问题nnS若 nda,01有最大值,可由不等式组 01na来确定 n;若 nS,1有最小值,可由不等式组 1n来确定 .例 2.已知 nS为数列 的前 n项和, 31
4、a, )2(1aSnn.a.求数列 的通项公式;na数列 中是否存在正整数 k,使得不等式 1ka对任意不小于 k的正整数都成立?若存在,求最小的正整数 ,若不存在,说明理由.3.等比数列知识点通项公式与前 n项和公式通项公式: 1nqa, 为首项, q为公比 .前 项和公式: 当 时, 1naS当 1q时, qannn)(1.等比中项如果 bGa,成等比数列,那么 G叫做 a与 b的等比中项.即: G是 a与 b的等, , , ,中项 , , 成等差数列 2.等比数列的判定方法定义法: qan1( N, 0q是常数) 是等比数列;na中项法: 221n( )且 na是等比数列.n等比数列的常
5、用性质数列 是等比数列,则数列 np、 n( 0q是常数)都是等比数列;na在等比数列 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,32knkn为等比数列,公比为 k. )(Nmqa.若 ),(Nqpnm,则 qpnma;若等比数列 的前 项和 nS,则 k、 kS2、 k23、 kS34是等比数列.a例 3.已知 nS为等比数列 前 项和, 54, 60n,则 n .n4.数列的通项的求法利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项: )2(1nSan( ;应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项: )(1nfa; ).(1nfan构造等差、等比数列求通项: qpann1; nnqpa1; 1
6、nkb例 4.设数列 的前 项和为 nS,已知 )(3,11 NnSan,设 nnSb3,na求数列 b的通项公式.(宣武二模理 18)设 是正数组成的数列,其前 项和为 ,且对于所有的正整数 ,有nannSn12naS(I) 求 , 的值;2(II) 求数列 的通项公式;n(III)令 , , ( ) ,1bkka)1(2kab321,21求数列 的前 项和 nnT例 5. 已知数列 中, )2(1,211 nan,求数列 的通项公式;na na设 na是首项为 1 的正项数列,且 )(0)1(12Nnana,则数列 的通项 na .例 6. 已知数列 中, 23,1nnaa,求数列 的通项
7、公式;n na已知数列 中, nnaa3,1,求数列 的通项公式.n na例 7. 数列 na中, )(2,1Nnan,则 na的通项 n .数列 na中, )(,111Nnaan,则 na的通项 n .例 8.已知数列 中, naan2,1,求数列 的通项公式.n na.5.数列求和基本数列的前 n项和 等差数列 na的前 项和: nSnbadn21)( 等比数列 n的前 项和 n:当 1q时, 1aSn;当 q时, qaaSnnn1)(1;数列求和的常用方法:拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.例.等差数列 ,公差 21d,且 609531aa ,则 10321aa .na拆项
8、分组法求和求数列 , )21(83412n的前 项和 nS.裂项相消法求和数列 ,)1(432,4321, k的前 n项和 nS 求和: )2(1531421n ;. 求和: n13412312 .倒序相加法求和北京市宣武区 20092010学年度第一学期期末质量检测已知函数 , 为正整数5)(xfm()求 和 的值;01f)1()xf()若数列 的通项公式为 ( ) ,求数列 的前 项和 ;nanfam,21 namS()设数列 满足: , ,设 ,若nb21nnb21 1121nn bT()中的 满足对任意不小于 3 的正整数 n, 恒成立,试求 的最mS 574nmS大值.例 9.设 nS是数列 na的前 项和, 1a, )2(12nSan.求 n的通项;.设 12nSb,求数列 nb的前 项和 nT.错位相减法求和若数列 na的通项 nn3)12(,求此数列的前 n项和 nS.【解析】 S 3)12(5 , 14323 nn -,得1432 3)2(312 nnnS143 )2()( n 6.n)1n.例 10.已知 nS为数列 的前 n项和, 1a,S n+1=4an+2.a设数列 b中, 21,求证: b是等比数列;设数列 nc中, n,求证: nc是等差数列;