2022年恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxminA,即f x的下界大于 A（2）如不等式fx B在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxmaxB, 即fx的上界小于 B例 1设fxxx2x2axx2, 当x1 ,1时,都有fx a恒成立,求 a 的取值范畴例 2已知f22a对任意x,fx0恒成立 , 试求实数 a 的取值范畴x例3 R 上 的 函 数fx既 是 奇 函 数 , 又 是 减 函 数

2、 , 且 当0 ,2时 , 有fcos22msinf2m240恒成立,求实数m 的取值范畴 . c,其中a、b为1处取得极值3例 4已知函数fxax4lnxbxc x0 在x常数 . 名师归纳总结 （1）试确定a、b的值；x-2 c2恒成立,求 c的取值范畴 . 第 1 页,共 14 页（2）争论函数f x的单调区间；（3）如对任意x0,不等式f- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2、主参换位法例 5. 如不等式ax10对x,12恒成立,求实数a 的取值范畴 . x 的取值范畴 . x2a4x42a0恒成立,求实数例 6. 如对于任意a

3、1,不等式例7. 已 知 函 数fxax33x2 a1x1, 其 中 a 为 实 数 如 不 等 式32fxx2xa1对任意a0,都成立,求实数x 的取值范畴3、分别参数法（1）将参数与变量分别,即化为g fx（或gfx）恒成立的形式；xmin（2）求f x在xD上的最大（或最小）值； ,得的取值范畴（3）解不等式gfxmax 或g f适用题型：（1）参数与变量能分别； （2）函数的最值易求出；名师归纳总结 例 8当x,12 时,不等式x2mx40恒成立,求 m 的取值范畴 . 第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9已知函数f

4、x1ax32 bx精品资料欢迎下载0x3, 其中a3（1）当a、b满意什么条件时,fx取得极值 . 0, 且f x在区间01,上单调递增 , 试用 a 表示出 b 的取值范畴 . （2）已知a4、数形结合例 10如对任意xR, 不等式xax恒成立,就实数a 的取值范畴是 _例 11当x ,1logax恒成立,求 a 的取值范畴2时,不等式x1 2二、不等式能成立问题的处理方法如在区间 D 上存在实数 x 使不等式fxA成立 , 就等价于在区间D上fxmaxA；如在区间 D 上存在实数 x 使不等式fxB成立 , 就等价于在区间D 上的fxminB. 例 12已知不等式x4x3a在实数集 R 上

5、的解集不是空集,求实数a 的取值范畴例 13如关于 x 的不等式x2axa3的解集不是空集,求实数a 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 14已知函数fxlnx1ax2精品资料（a欢迎下载a 的取值范畴2x0）存在单调递减区间,求2三、不等式恰好成立问题的处理方法例 15不等式ax2bx1x0的解集为x1xx1就 ab_3例 16已知fxx22a当x1 ,f的值域是0, 试求实数 a 的值 . x例 17已知两函数fx8x216xk,g x2x35x24x,其中 k 为实数名师归纳总结 （1）对任意x3

6、 ,3,都有fxxg x成立,求 k 的取值范畴；第 4 页,共 14 页（2）存在x3,3,使fxg 成立,求 k 的取值范畴；（3）对任意x1x23 3,都有fx1g x2,求 k 的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1如不等式m1x2m1 x3 m1 0对任意实数x 恒成立,求实数m 取值范畴2已知不等式2kx2xR恒成立,求实数k 的取值范畴kx6对任意的x2x23设函数fx x39x26xa对于任意实数x ,fxm恒成立,求 m 的最大2值4对于满意a2的全部实数 a , 求使

7、不等式x2ax1a2x恒成立的 x 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5已知不等式x22xa0精品资料x欢迎下载a 的取值范畴对任意实数2 ,3恒成立,求实数6对任意的a2 ,2,函数fxx2a4 x42 a的值总是正数,求x 的取值范围7如不等式x2logmx0在,01内恒成立,就实数m 的取值范畴 _28不等式axx 4x在x03,内恒成立,求实数a 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9不等式kx2k20精品资料

8、欢迎下载有解,求 k 的取值范畴10对于不等式x2x1a,存在实数 x ,使此不等式成立的实数a 的集合是 M ；对于任意x05,使此不等式恒成立的实数2a 的集合为 N ,求集合 M , N 11对一切实数x , 不等式x3xa恒成立,求实数a 的范畴如不等式x3x22aa有解,求实数a 的范畴yc0恒成立,求实数c 的范畴如方程xy3xx2有解,求实数a 的范畴12如x,y1 21,不等式x满意方程名师归纳总结 如x,y满意方程x2y1 21,xyc0,求实数 c 的范畴第 7 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13设函数fxx4a

9、x32x2精品资料R欢迎下载a,bR如对于任意的a2 ,2,b,（x）,其中不等式f x1在x1,1上恒成立,求 b 的取值范畴a1,如当x0时,f x014设函数fx1x31a x24 ax24 a,其中常数3恒成立,求 a 的取值范畴15已知向量ax2,x1 ,b1x,t；如函数fx ab在区间1,1 上是增函数,求 t 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例 1、解： a 的取值范畴为 -3 ,1 名师归纳总结 例 2、解：等价于xx22xa

10、0对任意x,1恒第 9 页,共 14 页成立 , 又等价于x1时,x 的最小值0 成立 . t=m gt 由于xx12a1在,1上为增函数 , 就minxf1a3, 所以a3,0ma23得到：o t 例 3、解：由cos22msinf20图 1 1 fcos22 msinf2m2由于fx为奇函数,故有f2 cos2msinf2m2恒成立,又由于fx为 R减函数, 从而有cos22msin2 m2对gt ,02恒成立t=m 设sint,就t22mt2 m10对于t0 1,恒成立,o t 在设函数gtt22mt2 m1, 对称轴为tm. 1 图 2 当tm0时,g02m10,gt t=m 即m1,

11、又m01m0 如图 1 22当tmm0 1,即0m1时, 2m10, o t 424 m2 m10, 即m21 12m12, 又m0 1, 0m1 如图 2 图 3 当tm1时,g112m2 m120恒成立 . m1 如图 3 故由可知：m1. 2例 4、解：（1）（2）略（ 3）由（ 2）知,fx在x1 处取得微小值f 1 3c,此微小- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 值也是最小值 . 要使fx2c2 x精品资料欢迎下载3c2 c2. 即2 c2c30,0 恒成立,只需名师归纳总结 从而2 c3c1 0. 解得c3或c1. c 的取值范畴为,13,.

12、 第 10 页,共 14 页22例 5、解：a1例 6、解：x,13,2例7、解析：由题设知“ax23xa1x2xa1对a0,都成立,即a x22x22x0对a0,都成立；设g a x22ax22x （ aR ）,就g a 是一个以 a 为自变量的一次函数；x220恒成立,就对xR,g a 为 R 上的单调递增函数；所以对a0,g a 0恒成立的充分必要条件是g00,x22x0,2x0,于是x的取值范畴是x|2x0；例 8、解析 : 当x1,2时,由x2mx40得mx2x4. 令f x x2x4x4x ,就易知f x 在 1,2 上是减函数, 所以x1,2时f x maxf15,就x2x4 m

13、in5m5. 例 9、解析：（1）a2 b （2）fx在区间0,1上单调递增f ax22 bx10在0,1上恒成立bax1 , 2 xx0,1恒成立bax1max,x0,1；222x设g x ax1g a1a x21,a22x ,222 x22 x令g 0得x1x1a 或a 舍去 ,当a1时,011,当x0,1时g 0,g x ax1aa22x 单调增函数；当x1,1时g 0,g x ax1a22x 单调减函数 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - g x maxg1a；b精品资料欢迎下载aa ；当0 a 1 时,1a 1,此时 g x 0 在区间0,

14、1恒成立,所以 g x ax2 2 1x 在区间a 1 a 10,1 上单调递增,g x max g 12,b2；综上,当 a 1 时, b a ；当0 a 1 时,b a2 1；y | x | y y | x |y ax y ax例 10、解析：对 x R, 不等式| x | ax 恒成立x就由一次函数性质及图像知 1 a 1,即 1 a 1；O 例 11、解： 10,设 fp= x-1p+x2-2x+1,就 fp 在-2,2上恒大于 0,故有：f2 a0即x24x030解得：x3 或x1x3. 3 yaxx f 2 x21x1 或x15、解：0 6 、解：x,0 4 , 7 、解：11,

15、y 160 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、解：画出两个凼数yax和y精品资料x欢迎下载3 x 4在x0 ,名师归纳总结 上的图象如图知当x3时y3,a3有 解第 13 页,共 14 页3当a3x0 ,3 时总有axx 4x所以a3339 、 解 ： 不 等 式kx2k20有 解k x21 有 解 2kx221k21ma x2,所以k, ；3,x 22x1x1,f x x2x13 1x2,10、解：由2x1x2.又af x 有解af x min所以Maa3 令g x x2x,x,05 恒 g成 x 立 a

16、gm xax g5所以 Na a9211、解：a5a5a5 5, 12 、解：c21c12,113、解：f 4x33ax24xx4x23 ax4由条件a2 2, 可知0时,9a2640,从而4x23 ax40 恒成立当x0时,f 0；当xf 0因此函数f x 在11, 上的最大值是f1与f 1两者中的较大者为使对任意a2 2, ,不等式f x 1在11, 上恒成立,当且仅当f max1,f11b2ab 2a min即f 11,即b2a 在a2 2, 上恒成立即b 2a min,a2 2所以b4,因此满意条件的b 的取值范畴是,414、解：（II ）由（ I ）知,当x0时,fx在x2a或x0处

17、取得最小值；f2a12a 31a2a24 a2 a24a4a34a224 a；f0 24a33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就由题意得a10,0即a,1精品资料a6欢迎下载1a6a1,6；4aa3 ,0f2 a3f0 ,.0解得24a名师归纳总结 15、解：依定义fxx21xtx1 x3x2txt；就fx 3x22x1t,gx y 如fx在（ -1 ,1）上是增函数,就在（-1 ,1）上可设fx0恒成立；fx0t3x22x在（ -1 ,1）上恒成立；x考虑函数gx3x22x,（如图）3由于gx 的图象是对称轴为x1,开口向上的抛物线,3,即t5；o x 故要使t3x22x在（ -1 ,1）上恒成立tg1 而当t5时,fx在（ -1 ,1）上满意fx0,5. -1 1 第 14 页,共 14 页即fx在（ -1 ,1）上是增函数；故t 的取值范畴是t- - - - - - -