正态样本统计量的抽样分布概述.pptx

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1、6.2 6.2 正态样本统计量的抽样分布正态样本统计量的抽样分布6.2.16.2.1 正态分布正态分布6.2.3 6.2.3 t t分布分布( (学生分布学生分布) )6.2.4 F6.2.4 F分布分布6.2.2 (6.2.2 (卡方卡方) )分布分布)(2n6.2.5 6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论正态总体抽样分布的某些结论6.2.6 Excel6.2.6 Excel实现实现 确定统计量的分布确定统计量的分布 抽样分布抽样分布, , 是数理统计是数理统计的基本问题之一的基本问题之一. . 采用求随机向量的函数的分布的方采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布法可得到抽样分布.

2、 .由于样本容量一般不止由于样本容量一般不止 2 2 或或 3 3 ( (甚至还可能是随机的甚至还可能是随机的), ), 故计算往往很复杂故计算往往很复杂, , 有时还有时还需要特殊技巧或特殊工具需要特殊技巧或特殊工具. . 由于正态总体是最常见的总体由于正态总体是最常见的总体, , 故本节介绍故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言的几个抽样分布均对正态总体而言. .6.2.1 6.2.1 正态分布正态分布(Normal distribution)(Normal distribution)则则niiiniiiniiiaaNXa12211,特别地特别地, ,nNXnXnii21,1则则nXXX

3、,21),(2NXi若若i.i.d.若若nXXX,21),(2iiNi.i.d.上上( (双双) )侧侧 分位数的概念分位数的概念 设设X 为连续型随机变量为连续型随机变量, ,其概率密度函数为其概率密度函数为f ( x ) , 为给定常数为给定常数, , 0 1 若若则称则称 x 为为X 所服从的分布的所服从的分布的上上 分位数分位数. .如果如果 X 的概率密度函数为偶函数的概率密度函数为偶函数, ,则对于满足则对于满足 0 0 时收敛时收敛，称为称为 函数，具有性质函数，具有性质)(!)1()2/1(, 1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函数的密度函数为为自由度为自由度为

4、n 的的5101520250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 分布分布密度函数图密度函数图)(2nnnDnnE2)(,)(122例如例如)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX则则相相互互独独立立，若若正正态态分分布布时时，)(32nn分分位位数数有有表表可可查查分分布布的的上上)(42n分布的性质分布的性质)(2n20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n = 1005. 0307.18)10(307.18)10(2205. 0PnXXX,21相互独立相互独立,证证 1 1 设设niiiniNXX

5、n122, 2 , 1) 1 , 0()(则则1)(, 1)(, 0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(1226.2.3 6.2.3 t t 分布分布 (Student (Student 分布分布) )定义定义则则T 所服从的分布称为自由度为所服从的分布称为自由度为 n 的的t 分分布其布其密度函数密度函数为为nYXT tntnnntfn2121221)(),(, ) 1 , 0(2nYNXX , Y 相互独立相互独立,设设t 分布的图形分布的图形( (红色的是标准正态分布红色的是标准

6、正态分布) )n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数是偶函数,2221)()(,tnettfn2t分布的上分布的上 分位数分位数 t 与双测与双测 分位数分位数 t/2 有表可有表可查查-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101tttTP8125. 1)10(05. 08125. 105. 0tTPt-t95. 08125. 105. 08125. 1TPTP8125. 1)10(95. 0t2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t

7、/2-t/205. 02281. 2025. 02281. 2TPTP/2/22281. 2)10(025. 0t 6.2.4 F6.2.4 F 分布分布(F distribution with n and m degrees)(F distribution with n and m degrees)则则F 所服从的分布称为所服从的分布称为第一自由度第一自由度为n ,第二自由度为第二自由度为m 的的F 分布分布, ,其密度函数为其密度函数为mYnXF/ 0,00,1222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn定义定义),(),(22mYnXX , Y 相互独立相互独立，设设令令

8、1234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15m = 4, n =10m = 10, n =10m = 15, n =10F 分布的性质分布的性质),(1, ),(1nmFFmnFF则则若若1234560.10.20.30.40.50.6例如例如),(1),(1nmFmnF事实上事实上, ,19. 51) 5 , 4(1)4 , 5(05. 095. 0FF故故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有有表表可可查查分分位位数数的的上上但但F(n,m)19. 5)5 , 4(05.

9、0F?)4, 5(95.0F),(1mnFFP),(111mnFFP故故),(1nmFF由由于于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因因而而),(111mnFFP例例1 1 证明证明),(1),(1nmFmnF证证证证) 1 , 0(,)(, )(2NGnnGXnTX2XY)(|)(|(221ntXPntXP因因而而例例2 2), 1()(212nFnt 证明：证明：)()(212222ntYPntXP), 1 ()(212nFnt即即设设令令nnnnG)(1) 1 ()(2222), 1 (nF6.2.5 6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论正态总体抽样分布的某些结论()

10、 () 一个正态总体一个正态总体) 1() 1(22122nXXSnnii22) 1(Sn 与与X相互独立相互独立设设22)(,)(),(XDXENXnXXX,21总体的样本为总体的样本为( )，则则),(2nNX) 1 , 0( NnX) 1(nTnSXSnX(1)(2)( II ) 两个正态总体两个正态总体设设nXXX,21是来自正态总体是来自正态总体的一个简单随机样本的一个简单随机样本),(211NXmYYY,21是来自正态总体是来自正态总体),(222NY的一个简单随机样本的一个简单随机样本它们相互独立它们相互独立. . niiniiXXnSXnX12211)(111令令mjjmjjY

11、YmSYmY12221)(111则则) 1() 1() 1() 1(2222222121mSmnSn) 1, 1(22222121mnFSS若若21则则) 1, 1(2221 mnFSS(3)设设nXXX,21是来自正态总体是来自正态总体的一个简单随机样本的一个简单随机样本),(21NXmYYY,21是来自正态总体是来自正态总体),(22NY的一个简单随机样本的一个简单随机样本 ,它们相互独立它们相互独立. . 则则),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii) 1 , 0()()(2221NmnYX),(2221mnNYX) 1() 1(, ) 1() 1(22222221m

12、SmnSn222221) 1() 1(SmSn)2(2 mnYX 与与222221) 1() 1(SmSn相互独立相互独立2) 1() 1()()(2222212221mnSmSnmnYX2) 1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt(4)例例3 3 设总体设总体)100,72( NX大于大于70 的概率不小于的概率不小于 90% , ,则样本容量则样本容量 , ,为使样本均值为使样本均值解解 设样本容量为设样本容量为 n , 则则)100,72(nNX故故)70(1)70(XPXPn2 . 0令令9 .02 .0n查表得查表得29.12.0n即即6025.41n

13、所以取所以取42n .n42例例4 4 从正态总体从正态总体),(2NX中，抽取了中，抽取了 n = 20 的样本的样本2021,XXX(1) 求求22012276. 120137. 0iiXXP(2) 求求22012276. 120137. 0iiXP解解 (1)(1)19(11922012222iiXXS即即22012276. 120137. 0iiXXP故故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表(P.386) 1() 1(222nSn(2) (2) )20(22012iiX22012276.

14、120137. 0iiXP故故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0例例5 设设X 与与Y 相互独立相互独立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与 Y1, Y2 , Y16 分别是取自分别是取自 X 与与 Y 的简单随机样本的简单随机样本, 求统求统 计量计量2162221921YYYXXX所服从的分布所服从的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16,2, 1,)1 ,0(31iNYi)16(3122161iiY163143116129

15、21iiYXXX)16(t2162221921YYYXXX从而从而例例6 6 设总体设总体) 1 , 0( NX的样本的样本,26542321)()(XXXXXXY621,XXX为总体为总体 X试确定常数试确定常数c 使使cY 服从服从2分布分布.解解) 3 , 0(, ) 3 , 0(654321NXXXNXXX) 1 , 0(31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故故因此因此31c)2(312YX例例7 7 设设nXXX,21是来自正态总体是来自正态总体N ( , 2 )的简单随机样本的简单随机样本, , 是样本均值是样本均值,)(111221niiXXn

16、S,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为则服从自由度为n - 1的的t 分布的随机变量为分布的随机变量为: :1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D( ) 1 , 0( NnX ) 1()(12122nXXnii1)(1122nXXnXnii ) 1(ntniiXXXnn12)()( ) 1(故应选故应选(B)解解例例8 8 在总体在总体XN(12,4)中抽取容量为中抽取容量为5的样本的样本X1,X2,X5,求求下列概率下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1

17、 (5151XXPXXPXP (1)因为因为),54,12( NX），（所以所以105412NX ) 1|12(|XP5415412XP=2(1.118)-1=0.7364解解解解)15),(max()2(51XXP)15),(max(151XXP)15,15(151XXP)15()15(151XPXP5)15(1XP5)21215(15)5 . 1 (1=0.2923例例8 8 在总体在总体XN(12,4)中抽取容量为中抽取容量为5的样本的样本X1,X2,X5,求求下列概率下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXPXXPXP

18、解解)10),(min()3(51XXP)10()10(51XPXP5)10(XP5)10(1 XP5)1(1 =0.42155)1 (例例8 8 在总体在总体XN(12,4)中抽取容量为中抽取容量为5的样本的样本X1,X2,X5,求求下列概率下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXPXXPXPStep1 在数据编辑窗口中，建立数据文件在数据编辑窗口中，建立数据文件; ; Step2 计算样本均值计算样本均值调用调用Average 函数：函数：Step3 计算样本方差计算样本方差调用调用Var 函数函数 ; ;Step4 计算

19、样本标准差计算样本标准差调用调用Stdev 函数函数. (1) 利用利用Excel计算样本均值、样本方差、样本标准差计算样本均值、样本方差、样本标准差 6.2.6 Excel实现)1 ( NORMSINVz),()(2nCHIINVn )n ,2(TINV)n(t)n ,n ,(FINV)n ,n(F2121Step1 计算标准正态分布的上侧计算标准正态分布的上侧分位数分位数 Step2 计算计算 的上侧的上侧分位数分位数 分布分布)(2n Step3 计算计算 的上侧的上侧分位数分位数 分分布布)(ntStep4 计算计算 的上侧的上侧分位数分位数 分布分布),(21nnF(2) 利用Exc

20、el计算四大分布的分位数内容小结内容小结：1.1. 正态分布正态分布3. 3. t t分布分布( (学生分布学生分布) )4. F4. F分布分布2. (2. (卡方卡方) )分布分布)(2n6. Excel6. Excel实现实现5. 5. 正态总体抽样分布的某些结论正态总体抽样分布的某些结论思考题思考题: (非正态总体的样本均值分布问题非正态总体的样本均值分布问题)设设总体总体X 的的分布未知，其期望分布未知，其期望nXXX,21为来自总体为来自总体X 的样本的样本，则当则当n充分充分),(121nNXnXnii) 1 , 0( NnX0)(,)(2XDXE均均已知，已知，大时，其样本均值服从什么分布？大时，其样本均值服从什么分布？答案：答案：即即思考题2(2003年数学一考研试题选择题) 设随机变量Xt(n)，n1， ，则( )A. Y (n). B. Y (n-1).B. C. YF(n，1). D. YF(1，n).2/1 XY 22思考题3.(2001年数学一考研试题十二题) 设总体X服从正态分布 ，(0)，从该总体中抽取简单随机样本 ，其样本均值 )(2，N)2(221nXXXn，niiXnX2121，求统计量niiniXXXY12)2(的数学期望。