恒成立能成立问题总结分析(详细).doc

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1、.恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。1、函数法（1）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 有：,),0()(nmxkbxf0)(0)( ;0)()(nfxf ffff恒 成 立 或恒 成 立例 1 若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范 围。mx212mx解析：将不等式化为： ，0)1()(

2、2x构造一次型函数： )()()2mg原命题等价于对满足 的 ，使 恒成立。0)(g由函数图象是一条线段，知应 0)12()(0)2(2x.解得 ，所以 的范围是 。23127xx)231,7(小结：解题的关键是将看来是解关于 的不等式问题转化为以 为变量， 为参数mx的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习:(1)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。01ax2,a（2）对于 的一切实数，不等式 恒成立，求4p 342px的取值范围。（答案： 或 ）x（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数 有：)0()(2acbxaxf（1

3、） 上恒成立 ；Rf在0)( 且（2） 上恒成立xf在)( 0且a（3）当 时，若 上恒成立0a,0)(在f0)(20)(2fabfb或或若 上恒成立,)(在xf )(f（4）当 时，若 上恒成立0a,0)(在xf 0)(f.若 上恒成立,0)(在xf 0)(20)(2fabfab或或例 2 若关于 的二次不等式： 的解集为 ，求 的取值范围.x 12xaR解：由题意知，要使原不等式的解集为 ，即对一切实数 原不等式都成立。Rx只须 0a0)1(4)(2a0123a. 的取值范围是31a或 3,说明：1、本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑 的情况，但对本题讲0a时式子不恒成立。2、只有定义

4、在 R 上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，0a易造成失解。练习：1、 已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围。 862mxyRm（答案 ）10m2、已知函数 在 时 恒成立，求实数 的2)(2kxf ),1(kxf(k取值范围。（答案 ）提示：构造一个新函数 是解题的13 fF)(关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。（三） 、利用函数的最值-分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的

5、端点值能否取到需检验。类型一 ： “ ”型)(xfa.一、 （恒成立）（1） 恒成立 ；mxfD)(, mxfin)(（2） 恒成立 ；f)(, ax)(f二、 （能成立、有解）：（1） 能成立 ；mxfD)(, 内 有 解在 Dxf)(mxfa)(（2） 能成立 ；f)(, 内 有 解在f)(in)(f三、 （恰成立）（1）不等式 在区间 上恰成立 不等式 的解集为 ；AxfDAxfD（2）不等式 在区间 上恰成立 不等式 的解集为 .BB四、 （方程有解）方程 在某个区间上有解，只需求出 在区间上的值域 A 使 。()mfx()fxm例 3：设 其中 ，如果 时， 恒有意义，求124lg,

6、3xafR.1()fx的取值范围。a解：如果 时， 恒有意义 对(.)x()fx 042xa不 等 式恒 (,1)x成立 ， 恒成立。22()4xxa(.1)令 ， ，又 ，则xt2()gtt.,)2t对 恒成立，又 在 上为减函数，a1,()g.，max13()()24tga例 4：若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围。3xa解： 设 .则关于 的不等式 的解集不是空集f)( 32x在 R 上能成立 ,3)(xf )(minf即 ，解得342minaf 26a或例 5 不等式 有解，求 的取值范围。02kxk解：不等式 有解 能成立 能成立2)1(x12xk， 所以 。2)1

7、(max2k,k例 6（2008 年上海）已知函数 f(x)2 x 若不等式 2t f(2t)+m f(t)0 对于 t1,212|x|恒成立，求实数 m 的取值范围解：本题可通过变量分离来解决当 时，1,2t21()()02t ttt即 ， ，4()ttt 2(1)tm，,t 2(1)7,5t故 的取值范围是m,例 7（1990 年全国）设 ，其中 a 为实数，nfxnxxx()lg()231为任意给定的自然数，且 ，如果 当 时有意义，求 a 的取值范围nfx()(，解：本题即为对于 ，有 恒成立x(， 1210xxn )这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求 a 的范围

8、，可先将.a 分离出来，得 ，对于 恒成立annxxx()()()1212 x(， 1构造函数 ，则问题转化为求函数 在g gx)上的值域，由于函数 在x(， 1uxknnx()(1， ， ，上是单调增函数，则 在 上为单调增函数于是有 的最大值为 ，gx()， gx()g()()12从而可得 an12)如何在区间 D 上求函数 f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数 f（x）的最值类型二：“ ”型)(xgf恒 成 立 。恒 成 立 的 图

9、 象 的 上 方的 图 象 恒 在恒 成 立）（ 0)()()()(,1maxin xgfxhDxf ff例 8 已知 f(x)= lg(x+1)， g(x)=lg(2x+t)，若当 x0,1时，f(x)g(x)恒成立，求实数 t 的取值范围.解 f(x)g(x)在 x0,1恒成立，即 在 x0,1恒成立在0,1上的最大值小于或等于零.令 ，.x0,1，.F(x)0，即 F(x)在0,1上单调递减，F(0)是最大值.f(x)F(0)=1-t0，即 t1.类型三：“ ”型 （恒成立和能成立交叉）：)(21xgf（1） 成立)(, 2121fEDx)()(2min1xgf；minin12in1 )

10、()()()( xfxf例 9 已知两个函数 ，其中 为实数。xgkxf 45)(,68)( 232 k（1）对任意 ，都有 成立，求 的取值范围；3,x)(xfk（2）存在 ，使 成立，求 的取值范围；（3）对任意 ，都有 ，求 的取值范围。,21x)(21xgfk解析：（1）设 问题转化为 时，xgh13)( 3,x恒成立，故 。令 ，得 。0)(xh0min06)(2 xh 21或由 ，故9)(,45,2)(,7 kkk kxh45)(min由 。4545（2）据题意：存在 ，使 成立 在3,x)(xgf0)()(fg有解，故 ，由（1）知 ，于是得 。3,x0)(mah7makh7k（

11、3）分析：它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意，都有 成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，,2 )(21xgf的取值在 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：1x3,，,)()(minaxgf.由 ，得 ，易得 ，0416)(2 xxg 321x或 21)3()(mingx又 ， . kf8),故 ，令 。fx23()(ma 142k例 10：（2010 山东）已知函数 .()lnafxx()R()当 时，讨论 的单调性；12（）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使()4.gxb1a1(0,2)21,x，求实数 取值范围 .12()f解析：()当 时，函

12、数 在 单调递减， 单调递增；0a()fx0,(,)当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 在 12h0fx()fx单调递减；(,)当 时，函数 在 单调递减， 单调递增， 0a()fx0,11(,)a单调递减.1(,)（）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，4(fx所以对任意 ，有 ，1,)1()-2ff又已知存在 ，使 ，所以 ，2xxg21()gx， （）21,x又 2()4,1gb当 时， 与（）矛盾；min()50xb当 时， 也与（）矛盾；,22g当 时， .in 17()()84,8综上，实数 的取值范围是 .b17,.例 11 已知函数 ，若对任意 x1，x 2

13、-2,2，都有f(x1)g(x 2)，求 c 的范围.解 因为对任意的 x1，x 2-2,2，都有 f(x1)g(x 2)成立，f(x) maxg(x) min.f(x)=x 2-2x-3，令 f(x)0 得 x3 或 x-1；f(x)0 得-1x3.f(x)在-2,-1为增函数，在-1,2为减函数.f(-1)=3，f(2)=-6，f(x) max=3. .c-24.类型四： “ ”型 )()(21xfxf例 12：已知函数 ，若对任意 xR，都有 f(x1)f(x)f(x 2)成立，则|x 1-x2|的最小值为_.解 对任意 xR，不等式 f(x1)f(x)f(x 2)恒成立，f(x 1)，

14、f(x 2)分别是 f(x)的最小值和最大值.对于函数 y=sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期.又函数 的周期为 4，|x 1-x2|的最小值为 2.类型五：例 13 (2005 湖北)在 y=2x，y=log 2x，y=x 2，y=cosx 这四个函数中，当 0x 1x 21 时，使 恒成立的函数的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解 本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 的函数，应是凸函数的性质，画草图即知 y=log2x 符合题意.类型六：.“ 0”型 例 14 已知函数 f(x)定义域为-1,1，f(1)=1，若 m，n-1,1，m+n0 时，都有，若 f(x)t 2-2at+1 对所有 x-1,1，a-1,1恒成立，求实数 t 的取值范围.解 任取-1x 1x 21，则 .由已知 0，又 x1-x20，f(x 1)-f(x2)0，即 f(x)在-1,1上为增函数.f(1)=1，x-1,1，恒有 f(x)1.