线性代数第5讲.ppt

《线性代数第5讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第5讲.ppt（39页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线性代数第线性代数第5讲讲例例一、逐次降阶计算低阶行列式利用性质利用性质8把行列式的某一行（列）尽可能多的把行列式的某一行（列）尽可能多的元素化为零，再按该行（列）展开为低的行列式。元素化为零，再按该行（列）展开为低的行列式。从而算得行列式的值从而算得行列式的值解法解法1观察哪行（列）有正负1，或有简单的比例关系，数值较小，则化这一行（列）。再给第3列乘以负2加到第5列上。按第2行展开再把第1列加到第2列上再把第2行加到第3行上按第2列展开给第1列乘以3加到第3列按第3列展开2阶行列式按对角线法则计算=-12(-16+15)=12评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将

2、所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用解法解法2二、化成三角形行列式计算：二、化成三角形行列式计算：行列式也可以利用性质化成三角形行列式来计算。例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得化成三

3、角形行列式的方法常用来计算有一定规律的字母行列式例例3计算计算解解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充

4、分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的三、用递推法计算三、用递推法计算例例4计算计算解解由此递推，得由此递推，得如此继续下去，可得如此继续下去，可得评注评注用数学归纳法用数学归纳法例例5证明证明证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法 证证用数学归纳法用数学归纳法例例6证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式评注评注利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例7计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙

5、行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解解上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德

6、蒙行列式列式化成范德蒙行列式计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结 计算行列式方法灵活多样，要根据行列式的特点选择合适的计算方法三、小结对于低阶行列式可采用逐次降阶计算；对于元素有一定规律的可化成三角形行列式计算；如果元素和阶数n有关，可利用递推公式或数学归纳法计算；和范德蒙行列式相关可利用范德蒙行列式公式计算。