高等代数Ⅰ期末试题（A卷）.doc

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1、广东商学院试题纸2007-2008学年第一学期检验时辰共120分钟课程名称_初等代数A卷_课程代码106043课程班号_062510011、062510012、062510021共2页-一填空题10个小题，每题2分，共20分?(f(x)+g(x)max(?(f(x),?(g(x)；设g(x)(g(x)?0)除f(x)所得的商跟余式分不为q(x)跟r(x)，h(x)为任意非零多项式，那么g(x)h(x)除f(x)h(x)所得的商跟余式分不是跟；设g(x)(g(x)?0)除f(x)所得的商跟余式分不为q(x)跟r(x)，那么(g(x),r(x)=；设f(x)=ap1k1(x)p2k2(x)Lptk

2、t(x)是f(x)的标准分析式，那么(f(x),f(x)=；摆设的逆序数是；当i=，k=时，a12ai3a24a4k在四阶行列式中取正号；矩阵的秩是指矩阵行列向量组的次第；齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的秩小于未知量的个数；假定矩阵A可逆，且l?0，那么(lA)-1=假定A可逆，那么A的伴随矩阵A*的行列式等于二揣摸题10个小题，每题2分，共20分两个数域P,Q的并集PUQ仍然一个数域；假定h(x)|f(x)，h(x)/|g(x)，那么h(x)/|(f(x)+g(x)；假定g(x)|f(x)，h(x)|f(x)，且(g(x),h(x)=1，那么g(x)h(x)|f(x)复系数多项

3、式f(x)不重因式的充分需要条件是f(x)不重根；有理系数多项式f(x)假定有重因式，那么肯定有重根；假定n阶行列式D中所有元素都不等于零，那么D?0；假定矩阵A有一个k级子式不为零，那么R(A)k；1假定a1,a2,ar线性有关,那么ar不克不迭由a1,a2,ar-1线性表出；设A跟B是同型矩阵，那么R(A+B)=R(A)+R(B)；初等变卦不修改矩阵的秩；三打算题4个小题，每题10分，共40分设f(x)=x4-6x2-8x-3，在实数域上求f(x)的重因式跟重根2打算行列式11An=11122L2123L3LLLLL123落阶，展开n解方程组?2x1-x2+3x3=1?2x1-x2+4x3

4、=-1增广矩阵，有无穷解?101?2?161?(A-E)X=A*A-EA-EX=A-EA+EA-E0，A-E可逆X=A+E四证明题个小题，每题10分，共20分证明：假定(f(x),g(x)=1且(f(x),h(x)=1，那么(f(x),g(x)h(x)=12曾经明白b1=a2+a3+L+ar，b2=a1+a3+L+ar，br=a1+a2+L+ar-1，证明向量组b1,b2,L,br与a1,a2,L,ar有一样的秩2?4x1-2x2+5x3=4?求解矩阵方程AX+E=A+X，其中A=?026?.?参考答案一填空题10个小题，每题2，共20分?q(x)r(x)h(x)(f(x),g(x)p1k1-

5、1(x)p2k2-1(x)Lptkt-1(x)矩阵行列向量组的次第或不为零的子式的最高阶数其系数矩阵的秩小于未知量的个数1lA-1An-1二揣摸题10个小题，每题2分，共20分1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、三打算题4个小题，每题10分，共40分设f(x)=x4-6x2-8x-3，在实数域上求f(x)的重因式跟重根解：由于f(x)=4x3-12x-81448332即f(x)有重因式x+1跟重根x=-12打算行列式分分分分分11An=11122L2123L3LLLLL123n解：把第行的-1倍分不加到其余各行，分101111LL11111212LL12An=012L2123L3LLLL

6、LL012Ln-1123Ln-1n-1=An-1=An-2=L=A1解方程组3分分分f(x)=(4x3-12x-8)?x-3(x2+2x+1)f(x)=-3(x2+2x+1)(-x+因而(f(x),f(x)=(x+2x+1)=(x+1)2?2x1-x2+3x3=1?2x1-x2+4x3=-1?2解：A=?4?2?-254?00-14-1?003-111?2?-2鼬分?0000007?1?2007?2?分?7因而方程组等价于?2镱x3=-212x2分?71?3?，k?P分?101?2?161?解：由于AX+E=A2+X，因而AX-X=A2-E即(A-E)X=(A-E)(A+E)由于001(A-E

7、)=016=-1?0160因而(A-E)可逆，从而?201?X=A+E=?036?162?四证明题个小题，每题10分，共20分证明：假定(f(x),g(x)=1且(f(x),h(x)=1，那么(f(x),g(x)h(x)=1(3分)(5分)(8分)(10分)证明：由于(f(x),g(x)=1，因而存在u1(x),v1(x)?Px，使得u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1又(f(x),h(x)=1，因而存在u2(x),v2(x)?Px，使得u2(x)f(x)+v2(x)h(x)=1因而4分分?4x1-2x2+5x3=4?-131?2-1?1-?2-10?1-2?0?0?0?0?1-2?0鼢

8、?x1=+?x1=2+2k所给方程组的解为?x2=k?x=-2?求解矩阵方程AX+E=A+X，其中A=?026?.?即u1(x)f(x)+v1(x)g(x)u2(x)f(x)+v2(x)h(x)=1u1(x)u2(x)f(x)+v1(x)u2(x)g(x)+u1(x)v2(x)h(x)f(x)+v1(x)v2(x)h(x)g(x)=1因而(f(x),g(x)h(x)=1分分10分2曾经明白b1=a2+a3+L+ar，b2=a1+a3+L+ar，br=a1+a2+L+ar-1，证明向量组b1,b2,L,br与a1,a2,L,ar有一样的秩证明：由于b1=a2+a3+L+arb2=a1+a3+L+arbr=a1+a2+L+ar-1因而向量组b1,b2,L,br可由a1,a2,L,ar线性表出又b1+b2+L+br=(r-1)(a1+a2+L+ar)因而3分分a1=(1r-1-1)b1+1r-1b2+L+1r-1bra2=1r-1b1+(1r-1-1)b2+L+1r-1brar=1r-1b1+1r-1b2+L+(1r-1-1)br即向量组a1,a2,L,ar可由b1,b2,L,br线性表出因而向量组b1,b2,L,br与a1,a2,L,ar等价，从而有一样的秩5分分