板块二 专题四 第3讲.docx

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1、第3讲函数与导数的综合咨询题考情考向分析函数跟导数的综合咨询题，要紧是运用导数证明不等式咨询题、函数零点咨询题、函数的理论运用咨询题等，一般需要研究函数的单调性跟最值咨询题，注重数学思想的考察B级恳求，题目难度较大年夜抢手一运用导数研究不等式咨询题例1(2019淮安调研)已经清楚函数f(x)(1x2)ex，e是自然对数的底数(1)证明：任意xR，f(x)(1x2)(x1)恒成破；(2)假设存在x0时，y0，函数y单调递增；当x0时，y0，函数y单调递减，可得在x0处函数y获得极小值，且为最小值0，可得exx1，即(1x2)ex(1x2)(x1)，即任意xR，f(x)(1x2)(x1)恒成破(2

2、)解存在x0，使得f(x)x22xa成破，即为a(1x2)exx22x，令g(x)(1x2)exx22x，x0，可得g(x)ex(x1)22(x1)(x1)(xexex2)，由yxexex2的导数为y(x2)ex，当2x0时，函数y单调递增，当x2时，函数y单调递减，可得在x2处y获得极小值，且小于0；x0时，y10，x2时，y0，可得y0在(，0)上恒成破，即有1x0时，g(x)单调递减；x1时，g(x)单调递增，可得在x1处g(x)获得极大年夜值，且为最大年夜值12e1，即有a12e1.例2已经清楚函数f(x)exax2.(1)假设函数f(x)在(2，)上单调递增，务实数a的取值范围；(2

3、)设x12(1)解由题可知f(x)ex2ax.令f(x)0，即ex2ax0，当x(2，)时有2a.令m(x)，那么m(x).因此当x(2，)时，m(x)0，因此m(x)在(2，)上单调递增因此2a，即a，故实数a的取值范围为.(2)证明令t，那么t1.故(x2x1)f(x1)axf(x2)ax2x2x1lnt.构造函数s(t)lnt，那么s(t)0.因此s(t)在(1，)上单调递增，因此s(t)s(1)0，因此当t1时，lnt，故(x2x1)f(x1)axf(x2)ax2思想升华运用导数研究不等式恒成破咨询题或证明不等式咨询题，能够构造函数，运用导数研究函数的最值，进而证明不等式，或求出参数的

4、取值范围；恒成破咨询题也能够不离变量单刀直入转化为求函数的最值咨询题跟踪练习练习1已经清楚函数f(x)lnxax2x，aR.(1)假设f(1)0，求函数f(x)的单调减区间；(2)假设关于x的不等式f(x)ax1恒成破，求整数a的最小值解(1)因为f(1)10，因此a2，如今f(x)lnxx2x(x0)，f(x)2x1(x0)由f(x)0，解得x1.又因为x0，因此x1.因此f(x)的单调减区间为(1，)(2)方法一由f(x)ax1恒成破，得lnxax2xax1在(0，)上恒成破，咨询题等价于a在(0，)上恒成破令g(x)(x0)，只需ag(x)max即可又g(x)，令g(x)0，得xlnx0

5、.设h(x)xlnx(x0)，因为h(x)0；当x(x0，)时，g(x)0，h(1)0，因此x01，如今10，因此g(x)0，因此g(x)在(0，)上是增函数又因为g(1)ln1a(1a)1a20，因此关于x的不等式f(x)ax1不克不迭恒成破当a0时，g(x).令g(x)0，得x.因此当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，h(2)ln20，又h(a)在(0，)上是减函数，因此当a2时，h(a)x；(2)讨论函数f(x)零点的个数(1)证明当a0时，f(x)exx.令g(x)f(x)xexxxex2x，那么g(x)ex2，当g(x)0时，xln2，当xln2时，g(x)ln2时，g(x)0，

6、因此g(x)在(，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增，因此xln2是g(x)的极小值点，也是最小值点，即g(x)ming(ln2)eln22ln22ln0，故当a0时，f(x)x成破.(2)解f(x)ex1，由f(x)0得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0，因此f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，因此x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x)minf(0)1a.当1a0，即a1时，f(x)不零点，当1a0，即a1时，f(x)只需一个零点，当1a1时，因为f(a)ea(a)aea0，因此f(x)在(a,0)上只需一个零点；由(1)，得ex2x，令xa，

7、那么得ea2a，因此f(a)eaaaea2a0，因此f(x)在(0，a)上有一个零点；因此，当a1时，f(x)有两个零点综上，当a1时，f(x)有两个零点思想升华(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根终究依然研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等(2)由函数零点求参数范围，一般要依照函数零点的个数，结合函数图象，构造称心咨询题的不等式求解跟踪练习练习2已经清楚函数f(x)2lnxx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)假设函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，务实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2lnxx22x(x0)，f(x

8、)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的歪率kf(1)2，那么切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2lnxx2m，那么g(x)2x.因为x，因此当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处获得极大年夜值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，那么g(e)g，因此g(x)在上的最小值是g(e)因此g(x)在上有两个零点的条件是解得1f(x)1；(2)假设f(x)g(x)h(x)恒成破，务实数k的取值范围(1)证明设F(x)lnx(x0)，可得F(x)，当x1时，ex1，F(x)0，F(x)单调递增；当0x1，F(x)0，即有lnx

9、0，即为xlnx1f(x)1.(2)解f(x)g(x)h(x)恒成破k恒成破，令m(x)，m(x)，令r(x)exlnxe1，r(x)，设G(x)exx1，可得G(x)ex1，当x0时，G(x)单调递增，可得G(x)G(0)2，即有exx1，即有r(x)0，r(x)在(0，)上单调递增，r(1)0，而在(0,1)上，r(x)0，m(x)在(1，)上单调递增，可得m(x)的最小值为m(1)，即k，综上可得k的取值范围是.2(2018江苏，19)记f(x)，g(x)分不为函数f(x)，g(x)的导函数假设存在x0R，称心f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，那么称x0为函数f(x)与g(x)

10、的一个“S点(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点；(2)假设函数f(x)ax21与g(x)lnx存在“S点，务实数a的值；(3)已经清楚函数f(x)x2a，g(x).对任意a0，揣摸是否存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点，并说明因由(1)证明函数f(x)x，g(x)x22x2，那么f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S点(2)解函数f(x)ax21，g(x)lnx，那么f(x)2ax，g(x).设x0为f(x)与g(x)的“S点，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x

11、0)，得即(*)得lnx0，即x0，那么a.当a时，x0称心方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点因此，a的值为.(3)解对任意a0，设h(x)x33x2axa.因为h(0)a0，h(1)13aa20，且h(x)的图象是不连续的，因此存在x0(0,1)，使得h(x0)0.令b，那么b0.函数f(x)x2a，g(x)，那么f(x)2x，g(x).由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得即(*)如今，x0称心方程组(*)，即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点因此，对任意a0，存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点.A组专题通关1(2019扬州

12、调研)已经清楚可导函数f(x)的定义域为R，f(1)2，其导函数f(x)称心f(x)3x2，那么不等式f(2x)0，函数F(x)在R上是单调递增函数，f(2x)8x31，f(2x)8x310，即F(2x)F(1)，依照函数F(x)在R上单调递增得，2x1，x，不等式f(2x)0)恒成破设f(x)2lnxx，那么f(x)(x0)当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，因此f(x)minf(1)4.因此a4.3关于x的方程x33x2a0有三个差异的实数解，那么实数a的取值范围是_答案(4,0)分析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大

13、年夜值大年夜于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，因此当x0时，f(x)获得极大年夜值，即f(x)极大年夜值f(0)a；当x2时，f(x)获得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，因此解得4a0)只需一个零点，且那个零点为正数，那么实数a的取值范围是_答案(1,2)分析令f(x)3x23a23(xa)(xa)0，解得x1a，x2a，其中a0，因此函数的单调性跟单调区间如下：x(，a)，f(x)单调递增；x(a，a)，f(x)单调递减；x(a，)，f(x)单调递增因此，f(x)在xa处获得极大年夜值

14、，在xa处获得极小值，结合函数图象(图略)，要使f(x)只需一个零点x0，且x00，只需称心：f(x)极大年夜值f(a)0，即a33a36a24a0，拾掇得a(a1)(a2)0，解得a(1,2)5假设曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex在(0，)上存在大年夜众点，那么a的取值范围为_答案分析由题意知方程ax2ex(a0)在(0，)上有解，那么a，x(0，)，令f(x)，x(0，)，那么f(x)，x(0，)，由f(x)0得x2，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，因此当x2时，函数f(x)在(0，)上有最小值f(2)，且当x0时，f(x)，当x时，

15、f(x)，因此a.6假设函数f(x)x3x在(t,8t2)上有最大年夜值，那么实数t的取值范围是_答案(3，分析因为f(x)x21，因此当x(，1)跟(1，)时，f(x)单调递增，当x(1,1)时，f(x)单调递减，故x1是函数f(x)的极大年夜值点又函数f(x)在(t,8t2)上有最大年夜值，因此t18t2，又f(1)f(2)，且f(x)在(1，)上单调递增，因此f(8t2)f(2)，从而t18t22，得3t.7已经清楚不等式exxax的解集为P，假设0,2P，那么实数a的取值范围是_答案(，e1)分析由题意知不等式exxax在x0,2上恒成破当x0时，显然对任意实数a，该不等式都成破当x(

16、0,2时，原不等式即a1，令g(x)1，x，那么g(x)，当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当1x2时，g(x)0，g(x)单调递增，故g(x)在(0,2上的最小值为g(1)e1，故a的取值范围为(，e1)8假设函数f(x)xlnxa有两个零点，那么实数a的取值范围为_答案分析令g(x)xlnx，h(x)a，那么咨询题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点，g(x)lnx1，令g(x)0，即lnx1，可得0x0，即lnx1，可得x，因此，当0x时，函数g(x)单调递增，由此可知当x时，g(x)min，且当x0时，g(x)0，当x时，g(x)，在一致坐标系中作出函数g(x)跟h(

17、x)的简图如以下图，据图可得a0，当x时，f(x)0，因此在(0,1)上，f(x)maxf35ln2.又g(x)在1,2上的最大年夜值为maxg(1)，g(2)，因此有即解得解得m85ln2，因此实数m的取值范围是85ln2，)B组才能进步11(2019扬州模拟)假设存在正实数x，y，z称心3y23z210yz，且lnxlnz，那么的最小值为_答案e2分析正实数x，y，z称心3y23z210yz，lnxlnz，lne，lnlnlnlneln，令t，t，那么lnelnetlnt，t，设f(t)etlnt，令f(t)e0，那么t，可得f(t)在上单调递减，在上单调递增，f(t)minf1(1)2，

18、即min2，的最小值为e2.12已经清楚函数f(x)，g(x)x2mx2，假设方程g(f(x)0有四个差异的实数解，那么实数m的取值范围是_答案(2，3)分析f(x)，当x1或1x0时，f(x)0时，f(x)0，那么f(x)在(，1)，(1,0)上为减函数，在(0，)上为增函数，设tf(x)，其图象如以下图：设t1，t2是方程t2mt20的两个差异的根，方程g(f(x)0有四个差异的实数解等价于tf(x)图象与直线tt1，tt2分不有两个交点，由图可知：方程t2mt20有两个大年夜于1的不等实根，即解得2m0时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x1时，函

19、数f(x)获得极小值f(1)e，当x0时，f(x)0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设tf(x)，当te时，tf(x)有3个实根，当te时，tf(x)有2个实根，当0te，t20，因此方程组无解综上，a的取值范围是.14(2019连云港模拟)已经清楚f(x)，g(x)ax1(其中a0)(1)求f(x)的单调减区间；(2)当x0时，f(x)g(x)恒成破，求a的取值范围；解(1)f(x)的定义域为x|x0，f(x)0，解得x1，因此f(x)的单调减区间为(，0)跟(0,1)(2)当x0时，f(x)g(x)恒成破等价于当x0时，exax2x1恒成破，其中a0.设p(x)exax2x1，那么p

20、(x)ex2ax1.记q(x)ex2ax1，那么q(x)ex2a.(i)假设00在(0，)上恒成破，q(x)在(0，)上单调递增，因此当x0时，有q(x)q(0)0，即p(x)0，因此p(x)在(0，)上单调递增，因此当x0时，有p(x)p(0)0，即exax2x10，故exax2x1恒成破，符合题意(ii)假设a，那么q(x)ex2a0在(0，ln(2a)上恒成破，因此q(x)在(0，ln(2a)上单调递减，因此当0xln(2a)时，有q(x)q(0)0，即p(x)0，因此p(x)在(0，ln(2a)上单调递减，因此0xln(2a)时，有p(x)p(0)0，即exax2x1对任意x0不恒成破，不符合题意综上所述，a的取值范围是.